ЗЬ. Задачи об оптимальной остановке и задача Стефана.......960 [c.416]
Зс. Задача Стефана для стандартных опционов покупателя [c.416]
Как и в 2а, Ь, неизвестный дорог ф и [/"(V") определяются из решения задачи Стефана [c.461]
Это, разумеется, не исключает интереса к нахождению точных (или близких к ним) решений, в связи с чем следует прежде всего остановиться на некоторых вопросах теории соответствующих задач об оптимальной остановке на конечных временных интервалах и, в частности, на одном весьма распространенном приеме, основанном на редукции таких задач к задачам Стефана, или, как еще говорят, к задачам с подвижными (свободными) границами для уравнений с частными производными. [c.467]
О связи между задачами об оптимальной остановке и задачами Стефана уже говорилось в разделе 5, гл. VI, при рассмотрении опционов Американского типа на биномиальном (В, 5)-рьшке. В случае непрерывного времени эта связь, видимо, впервые была обнаружена в статистическом последовательном анализе при рассмотрении вопросов различения статистических гипотез относительно сноса винеровского процесса ([349], [67], [300], [440] см. также историк - библиографическую справку в [116] и в [441]). [c.472]
В финансовой литературе одной из первых работ, где рассматривалась задача Стефана, или задача со свободной границей, была статья Г. Мак-кина [340], посвященная расчетам рациональной стоимости варрантов Американского типа. [c.472]
В математической физике задача Стефана возникает при изучении физических процессов, связанных с фазовым превращением вещества ([413], [463]). Простейшим примером такой двухфазной задачи Стефана является, например, следующая задача. [c.472]
При сформулированных условиях задача Стефана состоит в том, чтобы найти функцию и = u(t,x), описывающую температурный режим фаз, и границу х = x(t), t 0, разделения этих фаз. [c.473]
Мы привели пример двухфазной задачи Стефана из математической физики с тем, чтобы подчеркнуть как их общность, так и отличие от тех задач Стефана, которые возникают в связи с отысканием оптимальных правил остановки и, в частности, в связи с опционами Американского типа. [c.473]
Зс. Задача Стефана для стандартных опционов покупателя и продавца [c.474]
Функция У = Y (t,x), t Е [О, Т], х Е Е, и пограничная функция х = x (t), 0 t < Т, являются решением следующей "двухфазной" задачи Стефана, или задачи с подвижной (свободной) границей [c.475]
По поводу разрешимости задачи Стефана (8)-(11) и свойств граничной функциях = x (t) см. [467], [363] (и комментарий к этой работе). [c.476]
Задача Стефана для Y (t, x) и x (t) формулируется аналогичным образом. При этом условия (8), (9) и (10) сохраняются, а условие (11) для О t < Т принимает следующий вид [c.477]
При этом Y = Y (t, г) и пограничная функция г =r (t) являются решениями следующей задачи Стефана [c.492]
Григелионис Б. И., Ширяев А. Н. О задаче Стефана и оптимальных правилах остановки марковских процессов // Теория вероятностей и ее применения. 1966. Т. 11. №4. С. 612-631. [c.466]
Если проанализировать рассуждения, проведенные в п. 6, 5Ь, гл. VI, при решении соответствующей задачи в случае дискретного времени, то станет вполне естественной идея о том, что требуемое значение х и V (х) - наименьшая (А+г)-экснессивная мажоранта функции д(х), должны быть решениями следующей задачи Стефана, или задачи со свободной границей (см. [441 3.8]) [c.440]
Как и в 2а, Ь, приведем два доказательства - первое ( "марковское" ), основанное на решении задачи Стефана, и второе, опирающееся на "мар-тингальные" соображения. [c.461]
В следующем параграфе приводятся точные формулировки соответствующих задач Стефана для этих двух опционов и описываютсякачественные свойства соответствующих решений У — У (t, х)кх = x (t). [c.473]
Полезно подчеркнуть, что если в рассмотренной в предыдущем параграфе типичной задаче Стефана из математической физики в ка ждой фазе действует "свое" уравнение, то в задачах об оптимальной остановке диф--ференциальные уравнения для У (t, х) возникают лишь только в одной фазе (в области продолжения наблюдений), тогда как в другой фазе (в области остановки) искомая функция У (t, x) совпадает с заранее известной функцией д(х). [c.476]
Ранее отмечалось, что на практике опционы Американского типа встречаются значительно чаще, нежели опционы Европейского типа. Однако, если для последних имеются такие замечательные результаты, как, скажем, формула Блжа и Шоулса, то расчеты для опционов Американского типа в задачах с конечным временным горизонтом наталкиваются на большие аналитические трудности, что, в конечном счете, связано со сложностями решения соответствующих задач Стефана. [c.477]
Иногда рассматриваются односторонние производные или производные по направлению. Различные варианты условий "гладкого склеивания" есть, например, в Ширяев (1969), Oksendal (1998). Такого рода граничные задачи для дифференциальных уравнений с неизвестной границей называют задачами Стефана [c.74]
Смотреть страницы где упоминается термин Задача Стефана
: [c.482] [c.452] [c.470] [c.520]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.0 ]