Последовательность q сходится к точке q, из последовательности glt 2,. .. можно выбрать сходящуюся к некоторому вектору g подпоследовательность (чтобы не осложнять обозначений, будем считать g -> ) Переходя к пределу по г -> со, получим для каждой точки q( Q неравенство [c.372]
Теорема. Для того чтобы метрическое пространство z было вполне ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы из любой последовательности его элементов можно было выбрать сходящуюся в себе подпоследовательность. [c.108]
Таким образом, по любому е > О можно из заданной последовательности выделить соответствующую этому е подпоследовательность, для которой имеет место (7.1). Чтобы получить подпоследовательность, которая подходила бы к любому е > О, воспользуемся приемом, известным под названием диагонального процесса. [c.108]
Доказанная теорема выявляет однотипность понятия полной ограниченности пространства и его компактности в компактном пространстве из любой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, а во вполне ограниченном пространстве — лишь сходящуюся в себе подпоследовательность. Очевидно, всякое компактное пространство является вполне ограниченным. [c.109]
Но множество всех таких смешанных стратегий составляет компакт (он является подмножеством компакта Х"+1). Поэтому из последовательности Х1, Х2,. . . можно выделить сходящуюся подпоследовательность с пределом Х0. [c.139]
Исследование существования минимизирующего элемента. Теоремы существования представляют обобщения на бесконечномерный случай теоремы о том, что непрерывная на замкнутом ограниченном множестве М функция достигает на нем своих нижней и верхней граней. Анализ этой теоремы показывает, что основные заложенные в ней конструкции — это понятие сходимости элементов в Л, понятие непрерывности функции (функционала) на М и структура множества М множество JH должно обладать следующим свойством - из любой бесконечной последовательности элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу из Л. [c.80]
Л ) существует подпоследовательность мер, скажем (Рп)п ъ из С5) слабо сходящаяся к мере Р , сосредоточенной в двух точках а и Ь. [c.27]
Af) существует подпоследовательность мер, скажем, Pn n>i из слабо сходящаяся к мере Р , сосредоточенной в одной точке г. [c.30]
Предел этой последовательности равен +оо или —оо, поскольку, если это не так, то можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, и минимум будет достигаться в конечной точке, что несовместимо с предположением 2). [c.48]
Если пользоваться введенными обозначениями и понятиями, то можно сказать (несколько обобщая рассмотрения в 2d, гл. II), что асимптотический арбитраж в АР Т имеет место тог да, когда найдутся подпоследовательность (п ) С (п) и последовательность стратегий (тг(п )) такие, что [c.205]
Переходя, если это необходимо, к подпоследовательности, предположим, что множества Ап б к(п) таковы что [c.229]
Можно показать, что из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности, а из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению. Кроме того, доказывается, что из последовательности, сходящейся по вероятности, можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся почти наверное. [c.529]
Например, можно взять и = тт] ж/ь - 2s и м = тах] ж/ь + 2s. Как нетрудно заметить, по строгой монотонности мы имеем и<и(у) < и. Для любой сходящейся подпоследовательности из хп п=1 найдется достаточно большое число N, такое, что при п > N имеем хп -х < s, т.е. последовательность, начиная с номера N+1, попадает в s-окрестность точки ж. Тогда, как мы показали выше, и(хп) попадает в интервал [и, и]. [c.36]
Покажем теперь, что любая сходящаяся подпоследовательность из последовательности u(xn) n=N+l сходится к одному и тому же числу и(х). (Отметим, что, так как бесконечная [c.36]
Рассмотрим теперь некоторую сходящуюся подпоследовательность M nJ k=1 из [c.36]
Без ограничения общности можно считать, что уг 0. Рассмотрим последовательность J/i/ j/i . Эта последовательность ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность. Обозначим эту подпоследовательность через уг , а ее предел через у. По- [c.128]
Предположим противное. Пусть спрос потребителя на все товары, ограничен, т.е. существует некоторое число К, такое, что 0 < х(рУ К. В силу того, что бесконечная последовательность на компакте имеет точки сгущения, найдется некоторая подпоследовательность р , такая, что [c.174]
Выделим из последовательности pi возрастающую подпоследовательность pi . На основании подпоследовательности цен pi построим соответствующую ей последовательность объемов спроса хл по правилу [c.224]
Поскольку yk = I V/ , то существует подпоследовательность yks , сходящаяся к некоторому у е X, и для этого у предельным переходом в (2.9) получаем неравенство d y < 0. По первой части доказываемой теоремы это и означает, что d — граничная точка X. [c.40]
Таким образом, последовательность (ж(7) , где 7 - +0, является ограниченной и имеет предельные точки. Последние являются решением VI(X, F), в чем легко убедиться путем перехода в соотношениях (3.2) к пределу по сходящимся подпоследовательностям. Но, в силу (3.4) и единственности минимального элемента ж, все такие предельные точки совпадают и равны этому элементу. [c.48]
Неравенство (5.3) устанавливает монотонное убывание х — х по k и сходимость к нулю F(xk) + hk , т. е. xk — xk+1 - 0. Ограниченность последовательности xk влечет существование хотя бы одной ее предельной точки х е X. Предельным переходом по сходящейся подпоследовательности в (5.1) получаем, что [c.56]
Воспользуемся теперь свойством непрерывности отображений F и Я, а также функции М0 и отображения, ставящего каждой паре (ж, d) величину шага t по правилу (6.13). Для сходящейся к х подпоследовательности xks имеем [c.62]
Если s является подпоследовательностью t (не обязательно начальной), мы говорим, что s находится в f, это можно определить так [c.25]
Последовательность s является чередованием последовательностей t и и, если ее можно разбить на серию подпоследовательностей, которые, чередуясь, представляют собой подпоследовательности из t и и. Например, [c.31]
Теорема 4.1. Последовательность Q(Xh) сходится к оптимальному значению целевой функции детерминированной задачи, эквивалентной двухэтапной стохастической задаче линейного программирования. Последовательность лг/J содержит сходящуюся подпоследовательность. Каждая сходящаяся подпоследовательность из Xh сходится к оптимальному предварительному плану х двухэташюй стохастической задачи. [c.190]
Все эти последовательности в силу условия (б) ограничены постоянными, не зависящими от s. Согласно теореме Больцано — Вейерштрас-са из них можно выбрать сходящиеся подпоследовательности. Будем для простоты обозначать их теми же индексами [c.320]
Ограниченные множества в гильбертовом пространстве слабокомпактны. Отображение Р— > не меняет нормы. Это значит, что в силу допущения (б) последовательности P(s) (t), z=l,..., п ограничены вместе с последовательностями
Используя теорему Больцано — Вейерштрасса, можно выделить из последовательностей С01 подпоследовательности С , для которых по- [c.326]
Естественно возникает вопрос нельзя ли из последовательности траекторий (и( с) ( ), o (f ) ( ) выделить сходящуюся в том илияном смысле подпоследовательность, и предел последней и ( ),, ж ) считать решением вариационной задачи Ответ оказывается разным для и (t) и для фазовой траектории х (t). [c.82]
Этот факт устанавливается при весьма общих предположениях, выполняющихся в большинстве прикладных задач пусть для любого управления и (t) U, t [О, Т], определяемая краевой задачей фазовая траектория ограничена х (I) . С пусть при этом все возможные значения f (х, и) it т. е. dxjdt Сг. Множество таких функций x(k) ( ) удовлетворяет условиям известной теоремы Арцела (критерий компактности в С° [а, ]), и из любой бесконечной совокупности таких функций можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность, причем предельная функция х (t) будет ограниченной, почти всюду дифференцируемой, и [c.82]
По теореме Арцела из такой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, и предельный комплекс ( ), / <>, / ,.. ., , ) считать решением вариационной задачи. Однако этим дело не кончается неясен вопрос о необходимых условиях типа принципа максимума для этого решения ведь все выкладки 5 были проведены на некоторой обычной траектории (и(-), ( ) Это очень неприятное обстоятельство прежде всего для тех численных методов, которые основаны на прямом использовании принципа максимума. На первый взгляд оно не очень существенно для большинства приближенных методов решения вариационных задач, которые принципа максимума не используют (точнее, используют его негативную формулировку), а состоят в построении минимизирующей последовательности управлений. Однако это не так, и позже мы дадим более подробные разъяснения по этому поводу (см. стр. 197). [c.85]
Доказательство. Рассмотрим последовательность полученных описанной выше процедурой точек х°, х1,. . ., xk,. . . . Пусть сходимости з к х нет. Тогда из я можно выделить сходящуюся к некоторой точке х= =х подпоследовательность. Рассмотрим шаг процесса, начинающийся в точке х х -ь-х1, причем в силу ограниченности вторых производных и невырожденности отображения при малых s, [c.380]
Достаточность. Пусть пространство z не является вполне ограниченным, т.е. при некотором е > 0 в нем не найдется конечной е-сети. Будем индуктивно строить последовательность элементов z следующим образом. Возьмем zl е z произвольно. Пусть элементы zl, . . . , zk уже построены. Обозначим через zk объединение их е-ок-рестностей zk Ф г (ибо иначе точки zx, . . . , zk составили бы конечную е-сеть в z), и мы можем взять z k+i е z zk. В построенной последовательности z t, z 2, . . . каждый член отстоит от любого из остальных более чем на е, так что никакой сходящейся в себе подпоследовательности из нее выделить не удастся. D [c.109]
Поэтому в компактной игре из каждой последовательности смешанных стратегий моркно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу, также являющемуся смешанной стратегией. [c.114]
С этой целью, считая, для простоты рассмотрений, Bf = 1, Bt = 1, i 1, n 1, отметим, прежде всего, что из слабой сходимости законов Law(5" Р") даже в предположении контигуальности (Рп) < (Рп), вообще говоря, не следует слабая сходимость Law(5n P"), хотя, тем не менее, последовательность (Law(5" Pn))n i будет плотной (см. подробнее раздел 3 в гл. X монографии [250]), и, следовательно, в принципе может иметь несколько предельных мер (по разным подпоследовательностям). [c.240]
Подпоследовательность. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Число е. [c.13]