Ситуации равновесия в смешанных стратегиях

В той же работе Нэш доказал теорему существования ситуаций равновесия в смешанных стратегиях (задаваемых вероятностями использования первоначальных стратегий) при конечном числе игроков и конечном числе первоначальных стратегий у каждого игрока.  [c.374]


Нашей ближайшей задачей является доказательство существования в матричных играх ситуации равновесия в смешанных стратегиях. Согласно теореме п. 6.1 для этого необходимо и достаточно установить существование и равенство минимаксов  [c.49]

Определение. Пусть Г = < х, у, Я > - антагонистическая игра, а (X, Y ) — некоторая ситуация в смешанных стратегиях в ней. Она называется ситуацией равновесия в смешанных стратегиях (или, синонимично, седловой точкой в смешанных стратегиях), если для любых смешанных стратегий X и Y соответственно игроков 1 и 2 выполняется неравенство Н(Х, Y )<>H(X, Г ) <ьН(Х Y).  [c.98]

Теорема. Для того чтобы ситуация (Х 9 У ) была ситуацией равновесия в смешанных стратегиях в антагонистической игре Г = <х,у,Я>, необходимо и достаточно, чтобы при всех х х и у у имело место неравенство  [c.98]


СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ  [c.170]

Таким образом, ситуация X является ситуацией равновесия в смешанных стратегиях в игре Г, если для любого игрока / и любой его смешанной стратегии А/ имеет место неравенство  [c.170]

Как и в случае антагонистических игр, вместо смешанных стратегий игроков часто говорят просто об их стратегиях, оговаривая, напротив, чистоту появляющихся стратегий во всех тех случаях, когда это необходимо, Это соглашение распространяется также на ситуации в смешанных стратегиях и, в частности, на ситуации равновесия в смешанных стратегиях.  [c.170]

Дж. Нэшем было доказано существование ситуации равновесия в смешанных стратегиях для любой конечной бескоалиционной игры. Теорема. В каждой бескоалиционной игре  [c.171]

Если игра может повторяться достаточно большое количество раз (не менее 25—30), а шкала оценочной функции v(a, Ъ) Достаточно близка к количественной, то для получения равновесной ситуации первому игроку следует прибегнуть к применению не чистых, а так называемых смешанных стратегий. Ситуация равновесия в смешанных стратегиях существует всегда, это доказано строго математически. Что такое смешанная стратегия Чтобы ввести это определение, вспомним, что для матричной игры множества стратегий игроков дискретны. Но раз это так, то все стратегии у каждого из игроков можно пронумеровать и ссылаться на них не по их наименованиям, а по их номерам. Пусть для определенности у первого игрока во множестве А имеется m чистых стратегий, а у второго игрока во множестве В имеется п чистых стратегий. Тогда смешанной стратегией первого игрока на множестве чистых стратегий 1, 2,...,тп называется ве-  [c.243]


Доказательство. Пусть Г = < х, у, Н > — компактная игра. Она является вполне ограниченной, и потому, на основании сказанного в п. 8.1, при любом б > 0 в ней имеются ситуации е-равновесия в смешанных стратегиях. В частности, отсюда следует, что игра Г имеет значение 1>г.  [c.115]

Нетрудно проверить, что в игре в "орлянку" из п. 2.3 ситуация равновесия (в данном случае ее можно называть седловой точкой) в смешанных стратегиях существует. Она составлена из смешанных стратегий игроков, состоящих в выборе каждым из них обоих своих чистых стратегий с половинными вероятностями. Как легко подсчитать, значение получившегося смешанного расширения игры равно нулю (см., например, 18 гл. 1).  [c.17]

Уже рассмотрение антагонистических игр показывает, что большое число таких игр, и в том числе конечных, матричных игр имеет ситуации равновесия не в исходных, чистых стратегиях, а лишь в обобщенных, смешанных стратегиях. Поэтому и для общих, неантагонистических бескоалиционных игр естественно искать ситуации равновесия именно в смешанных стратегиях.  [c.168]

Теорема. Для того чтобы ситуация X в игре Г была ситуацией равновесия этой игры (в смешанных стратегиях), необходимо и достаточно,  [c.170]

Очевидно, что ситуации (А,А) и (В,В) являются равновесными по Нэшу (в чистых стратегиях). Найдем равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях. Предположим, что в таком равновесии игрок 1 играет смешанную стратегию (р, 1 — р], а второй — (д, 1 — q), причем 0 < р, q < 1.  [c.46]

Принцип осуществимости цели, подобно принципам оптимальности в нестратегических конфликтах, страдает неполнотой соответствующие ему решения конфликта (т.е. ситуации равновесия) для многих игр не существуют вместе с тем многие игры имеют и более одного решения. Отсутствие у конфликта решений достаточно успешно Преодолевается введением так называемых смешанных стратегий , преодоление же множественности решений является важной и нерешенной пока проблемой.  [c.434]

Сравнение этих выражений с формулами (18.12) и (18.18) из гл. 1 показывает, что в рассматриваемой биматричной игре в условиях ситуации равновесия во вполне смешанных стратегиях поведение игрока 2 совпадает с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей А, а поведение игрока 1 - с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей В.  [c.181]

Однако в нашем случае имеется еще третья ситуация равновесия, состоящая в выборе игроками некоторых вполне определенных смешанных стратегий. Формально ее можно считать основой возможного договора в не меньшей степени, чем первые две. Она даже "более справедлива", чем они, поскольку в ней оба игрока получают одинаковые выигрыши  [c.184]

При этом,очевидно, в каждой такой игре будут три ситуации равновесия две в чистых стратегиях, соответственно с выигрышами игроков а и с или Ъ и d, и одна - в смешанных ( , т ), где = d/( + d),r = b/(a + b).  [c.185]

Отметим, однако, специально тот частный случай, когда А = В, т.е.а = с иЬ =d. Тогда в игре Г(А, В) интересы игроков полностью совпадают. Тем не менее теоретико-игровая природа этого явления сохраняется в такой игре по-прежнему имеются три ситуации равновесия две в чистых стратегиях и одна —в смешанных.  [c.185]

Изменение знака частей первого из этих равенств превращает эту систему равенств в условие равновесности вполне смешанной ситуации в игре из предыдущего параграфа. Поэтому в единственной вполне смешанной ситуации равновесия каждый из игроков выбирает свою первую чистую стратегию с вероятностью =2 — >/2 являющейся иррациональным числом.  [c.201]

Разумеется, идеальным было бы указание такого дележа, который не только не доминировался бы какими-либо другими дележами, но сам доминировал бы любой другой дележ. К сожалению, ни в одной существенной кооперативной игре такого дележа не может быть. Не удается найти и дележей, обладающих в разумной степени ослабленными свойствами такого рода. Поэтому решение данной проблемы следует. искать на пути расширения класса тех объектов, которые подлежат сравнению в кооперативных играх —-на пути некоторого расширения класса дележей. Этот путь, как мы видели, уже оправдал себя в бескоалиционных играх введение смешанных стратегий позволило решить проблему существования ситуаций равновесия для произвольных конечных (а в действительности также и для многих бесконечных ) бескоалиционных игр. В кооперативном случае мы будем искать решения не в виде единственных дележей, а в виде множеств дележей.  [c.241]

Легко видеть, что в этой игре нет равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, так как в любой ситуации одному из игроков выгодно отклониться от выбранной стратегии. Однако, как мы увидим, пара смешанных стратегий а = ( ,  [c.44]

Определение 1.7.1 Ситуация (набор смешанных стратегий) а = (<тг-,.. ., <тп) является равновесием по Нэшу в игре Г = /, Ег- , иг- если для любого i = 1,...,п  [c.45]

Три равновесия по Нэшу — два в чистых стратегиях и одно — в смешанных. Такая ситуация образуется, когда накладываются два "возрастающих" или два "убывающих зигзага", например, рис. 33 и рис. 46. Такого типа ситуация возникает в игре "Семейный спор" (см. рис.59).  [c.76]

Однако ситуация равновесия в чистых стратегиях здесь уже имеется, так что введение смешанных стратегий в данном случае делу не поможет, и приходится искать новое обобщение понятия стратегии. Таким обобщением может служить понятие условной стратегии, называемой также метастратегией, состоящей в том, что игрок выбирает свою исходную стратегию не априори, а в зависимости от того, какую стратегию выбирают другие участники игры. 2.Н.Н. Воробьев 17  [c.17]

Однако ни одна из этих двух ситуаций равновесия в чистых стратегиях не является справедливой в одной из них больший выигрыш получает игрок 1, а в другой — игрок 2. Вместе с тем оба игрока входят в данную игру симметрично (если переменить имена игроков и названия их стратегий, то игра перейдет сама в себя). Значит, рассматриваемая игра в смысле своих правил является справедливой, и естественно потребовать, чтобы оптимальный ее исход также был справедливым, т.е. чтобы оба игрока получали в нем одинаковые выигрыши. Правда, в смешанных стратегиях здесь удается найти еще и третью, справедливую ситуацию равновесия (см. п. 13.1 гл. 3), но она оказывается менее выгодной, чем каждая из указанных чистых стратегий. Тем самым возникает противоречие между выгодностью и устойчивостью, с одной стороны, и справедливостью — с другой. Это противоречие может быть разрешено путем выбора одной из выгодных (и желательно — равновесных), хотя и несправедливых ситуаций с последующей компенсацией, которую оказывшийся привилегированным в этой ситуации игрок выплачивает своему ущемленному партнеру. Развитие этой стороны вопроса приводит к построению так называемой кооперативной теории бескоалиционных игр.  [c.18]

Ситуация равновесия (седдовая точка) в игре называется вполне смешанной, если она состоит из вполне смешанных стратегий игроков.  [c.79]

Доказанную теорему можно сформулировать и в несколько измененной ("контрапозитарной") форме если равновесная стратегия Хг игрока / входит в ситуацию равновесия X и чистая стратегия ° принадлежит спектру смешанной стратегии X,-, то  [c.174]

Пример. Вернемся к примеру, касавшемуся рационализуемости (рис. 16). В нем существует единственная (даже если разрешены смешанные стратегии) ситуация равновесия по Нэшу — (а2, 62)-  [c.42]

Для описания такой согласованности рассмотрим специальный случай, когда равновесная стратегия каждого игрока приписывает строго положительную вероятность каждому возможному действию в каждом из его информационных множеств (так называемая вполне смешанная стратегия). В этом случае каждое информационное множество достигается с положительной вероятностью. Естественное понятие согласованности представлений с такой ситуацией равновесия а выглядит так для каждой вершины х в данном информационном множестве Н, игрок должен вычислить вероятность достижения этой вершины при данном разыгрывании набора стратегий а, Prob(z <т), а затем, используя формулу Байеса, приписать условную вероятность нахождения в каждой из этих вершин, при условии, что при разыгрывании достигнуто это информационное множество  [c.146]