В дальнейшем разные исследователи выявили и другие особенности описанного подхода. Было показано, что недостатком оригинальной схемы Хопфилда и Танка является то, что простейшая сеть Хопфилда имеет тенденцию включать в маршрут ближайшие друг к другу города. Это происходит из-за того, что в определяющую длину маршрута часть функции Ляпунова входят парные произведения состояний нейронов сети. В результате, с увеличением числа городов маршрут, предлагаемый сетью, как правило, распадается на локально оптимальные участки, соединение которых, однако, далеко от оптимального. Ситуацию можно улучшить, если стимулировать сеть находить, например, локально наилучшие тройки городов. Для этого основная часть функции Ляпунова может быть представлена в виде [c.113]
Однако, сети, динамика которых направляется такой функцией Ляпунова, должны состоять из более сложных нейронов, нелинейно суммирующих внешние воздействия - нейронов высокого порядка ( в данном случае - второго) [c.113]
Васильев С.Н. Метод векторных функций Ляпунова в задачах быстродействия // Доклады АН СССР, 1986. Т. 287, № 1. с. 29-32. [c.415]
Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А.А. Воронова и В.М. Матросова. — М. Наука, 1987. [c.424]
При п= выпуклость S(,bi) следует из теоремы Ляпунова о векторных мерах [189] таким же образом, например, как в [137]. Для справедливости утверждения при п=1 нет необходимости в допущении о выпуклости г 50 и — i >i. При п>1 обеспечение выпуклости 5( п(сои 1)) требует некоторых предположений о структуре целевой функции и ограничений задачи, например выпуклости tyo и — 1 )ь, k 1,. . . , п. [c.209]
Последовательность un аналогична функции Ляпунова в прямом методе Ляпунова, а последовательность ип аналогична производной функции Ляпунова. [c.355]
Условия сходимости этого процесса вытекают из теоремы 3.4 [9]. Мы не приводим здесь эти отнюдь не жесткие условия, формулируемые в терминах функции Ляпунова процесса, поскольку они требуют ввода ряда промежуточных понятий. [c.376]
Последнее требование означает, что решение уравнения ( 1 6) должно совпадать с функцией Беллмана У(1,хаа) = 8(1,хая), а опорный функционал должен являться оптимальной функцией Ляпунова на заданном отрезке времени при любом допустимом векторе управления. Поэтому поиск ОУ, определяемого через решение задачи Коши (16)-(17), должен исключать непосредственное использование процедуры типа и -и [c.101]
Выявим условия, при которых гарантируется существование опорного функционала в виде оптимальной функции Ляпунова и единственность решения задачи Кош и (16)-(17). Ключевой вопрос, на который здесь предстоит ответить, сводится к следующему при каких условиях скалярная функция, удовлетворяющая определенным условиям оптимальности, совпадает с ценой (значениями опорного функционала в произвольный текущий момент времени из заданного отрезка) или, другими словами, в каких случаях локально-оптимальное управление является оптимальным в указанном смысле [c.102]
В вырожденной задаче требуется определить такую скалярную функцию L(t,u,ur n), для которой уравнение Ляпунова (16) справедливо при любом допустимом векторе управления и. Это требование равносильно введению в левую часть соотношения (25) добавочного члена -0.5(м0 -иап) К и0 -м ). Так как вектор- [c.103]
В правой задаче (7) необходимо по заданному векторному полю и динамической системы построить метрику q = qu я функцию Ляпунова П = Vu, определяющую устойчивость иди неустойчивость положения равновесия этой системы (задача устойчивости). [c.129]
Перейдем теперь к задаче устойчивости. Приведенные конструкции позволяют ввести понятие идеальной функции Ляпунова для заданной динамической системы [c.133]
Идеальную функцию Ляпунова можно определить и не используя метрические понятия. [c.133]
Пусть задана пара (V,tt), определенная в окрестности П(зго) особой точки векторного поля и, и пусть в этой окрестности функция V положительно определена, a LVV < 0. Пару (V, и) всегда можно выбрать такой, что она, по каким-то критериям, будет идеальной, эталонной (например, для движения х — х в Я" идеальной может быть функция Ляпунова 2V = (х,х)). Такую пару будем называть системой Ляпунова. [c.133]
Таким образом, задача построения функции Ляпунова для заданной динамической системы (15) сводится к нахождению (взаимно-однозначного) отображения фазового потока о системы Ляпунова (VJj, щ) (выбранной по каким-то "внешним" критериям) в фазовый поток системы (15), образ функции Ляпунова VQ -> V = V/ при этом отображении и будет определять (идеальную) функцию Ляпунова для исследуемой системы (15). [c.133]
Можно показать, что для любой системы Ляпунова (V, и) существует метрика q такая, что (0,П,и), где П = V (или П = a(V), а > 0) - идеальная тройка. В этом смысле определения 2 и 3 эквивалентны. Однако методы построения функции Ляпунова для заданной динамической системы будут, естественно, разными. [c.133]
При появлении модели Хопфилдэ многие нейрофизиологи были смущены подобным примением понятия энергии к моделям нейронных сетей. Поэтому, иногда можно встретить более нейтральный термин - функция Ляпунова. В математике так называют функцию состояния динамической системы, которая меняется монета но (не убывает или, напротив, не возрастает) в процессе эволюции системы [c.94]
ЛЯПУНОВА МЕТОДЫ [Liapunov s methods] — разработанные русским математиком А.М.Ляпуновым приемы исследования устойчивости процессов, описываемых дифференциальными и конечно-разностными уравнениями. Один из Л.м. основан на отыскании и исследовании решений уравнений т.н. "возмущенного" движения, которое вследствие каких-то внешних воздействий отклоняется от невозмущенного другой метод состоит в исследовании устойчивости процесса с помощью специально вводимых функций, называемых функциями Ляпунова. [c.177]
Стабильность динамики вооружений многополюсного мира . Количества СВ сторон и их ТТХ изменяются в мирное время в силу модернизации, появления новых типов, реализации сокращений в соответствии с договорными ограничениями и т.п. При этом каждая из сторон применяет собственную стратегию управления уровнями вооружений и возникает проблема согласования этих стратегий с целью обеспечения устойчивости ВСР. Далее предлагается подход к определению и исследованию свойства стабильности динамики вооружений и устойчивости ВСР многополюсного мира , основанный на методе векторных функций Ляпунова (ВФЛ) [Матросов и др., 1980 Метод..., 1987] и являющийся развитием работы [Siljak, 1977], где метод ВФЛ был впервые применен для таких целей. [c.302]
Козлов Р.И., Бурносов С.В. Асимптотическое поведение и оценки решений монотонных разностных уравнений // В кн. Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. — Новосибирск Наука, 1987. С. 16-29. [c.421]
Матросов В.М., Васильев С.Н., Карату ев В. Г., Козлов Р.И., Суменков Е.А., Ядыкин С.А. Алгоритмы вывода теорем метода векторных функций Ляпунова. — Новосибирск Наука, 1981. [c.423]
Определение устойчивости и ассимптотической устойчивости по Ляпунову. Изучение устойчивости нулевого состояния равновесия линейной системы двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова. Теорема об устойчивости по первому приближению. [c.17]
Следует отметить, что известные достаточные условия оптимальности [7,9] приближенного синтеза управлений сформулированы в терминах произвольной вспомогательной функции со свойствами функции Ляпунова. Развиваемый же нами подход основан на введении опорного функционала со свойствами функции Беллмана (задача Коши (4), (5)) и линеаризации системы (1) относительно заранее неизвестной вектор-функции ОУ. Функционал качества (13) также оказывается полуопределенным и относится к неклассическим в том смысле, что содержит вектор ит. [c.100]
Формулировка вырожденной задачи АКОР заключается в определении такой структуры функции L(t,u,uoa), для которой, с одной стороны, вместо задачи Коши (4)-(5) используется более простое достаточное условие оптимальности в форме уравнения Ляпунова [c.101]
Уравнения (18)-(20) при V(t,xlul) = S(t,xm) определяют структуру функции L(t,u,um) по достаточному условию оптимальности в форме уравнения Ляпунова. [c.102]
Это относится я к задаче стабилизации аффинных систем. Для этих систем в изложенной схеме вместо линейного приближения используется преобразование аффинной системы к эквивалентной аффинной системе канонического вида, С помощью этой системы строится стабилизирующее управление. Оно оказывается нелинейной обратной связью. Исходная аффинная система, замкнутая этой обратной связью такова, что для нее всегда можно построить функцию Ляпунова и использовать ее для построения оценки области стабилиэируемости. [c.279]
Доя получения гарантированной оценки области стабилиэируемости воспользуемся функцией Ляпунова v (x) замкнутой схстемы (8.4). Пусть [c.281]
Определение 2. Функцию V назовем идеальной функцией Ляпунова динамической системы (15) в окрестности Q(XQ) ее положения равновесия, если существует метрика q = q/, такая, что в этой окрестности (q, V, /) - идеальная тройка, при этом f = -grad,I/. [c.133]
Определение 3. Функцию V назовем идеальной функцией Ляпунова динамической системы (15) в окрестности ее положения равновесия fl(io), если пара (V, /) топологически эквивалентна в этой окрестности заданной эталонной системе (V0,uu). [c.133]