Пусть - простой замкнутый контур класса Ляпунова v 2/p-l
Множество действительных чисел дополняют двумя элементами, обозначаемыми —оо и +оо и называемыми минус бесконечность и плюс бесконечность. Множество Е, дополненное элементами — оо и +оо, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается Е. Бесконечности —оо и +оо называют еще бесконечно удаленными точками. [c.19]
Предполагается, что для бесконечно удаленных точек справедливы следующие правила [c.19]
Иногда множество действительных чисел дополняют одним элементом, обозначаемым оо и называемым бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. [c.20]
Из того факта, что низкая (высокая) цена направляется вверх (вниз) к фундаментальной цене, мы видим, что класс инвестиционных стратегий, основанных на фундаментальной оценке, ведет к развороту цены. Эта возвращающая сила может быть линейной, то есть такой, когда соответствующий чистый размер приказа Q пропорционален разности между логарифмом цены и логарифмом фундаментальной стоимости. В случае п=1, поскольку разность логарифма цены между завтра и сегодня прямо пропорциональна чистому размеру приказа Ц это подразумевает, что разность логарифма цены между завтра и сегодня пропорциональна разности логарифма цены сегодня и логарифма фундаментальной стоимости. Эти взаимоотношения являются точным аналогом уравнения осциллятора, такого как маятник начиная с позиции, удаленной от своего состояния неподвижного равновесия, он совершает бесконечные (в предположении, что нет затухания, обусловленного потерями энергии) колебания вокруг этой точки равновесия, как показано толстой линией на Рис. 86. [c.221]
Перейдем к обсуждению возможности комбинирования целевого программирования с описанным ранее методом последовательного сужения области компромиссов. Эта комбинация автором данной монографии использовалась еще в начале 1990-х годов для решения прикладных экономических задач и была названа модифицированным целевым программированием. В соответствии с последним вначале следует выявить всю возможную информацию об относительной важности критериев. В общем случае это может быть целый набор сведений. Далее на основе этого набора необходимо удалить все те возможные векторы, которые не совместимы с имеющейся информацией (т. е. необходимо применить метод последовательного сужения области компромиссов). В результате такого удаления будет получено некоторое подмножество исходного множества Парето, являющееся определенной оценкой сверху для искомого множества выбираемых векторов. Если последнее множество (оценка сверху) оказывается сравнительно широким и больше никакой дополнительной информации об относительной важности критериев для дальнейшего его сужения получить не удается, то в таком случае для завершения процесса поиска наилучшего решения можно применить метод целевого программирования. Разумеется, когда исходное множество возможных решений бесконечно, отыскание указанного подмножества может составить непростую вычислительную задачу. Однако для конечного множества возможных решений описанная процедура легко программируется и может быть реализована с помощью компьютера. [c.165]
Линия — t + t представляет направленный поток фактов хозяйственной жизни — F, на которые распадается хозяйственный процесс. AtoB отражает Н — область (спектр) возможностей, которые были в прошлом при совершении хозяйственных операций, плоскость t0D — то же, но в будущем. Энтропия (Н в момент совершения операций (to) равна нулю, но она стремительно возрастает и при анализе имевшихся возможностей, и при подсчете возможных вариантов в будущем. Так, если за Fa через интервал, который не слишком мал, следует F/,, то можно утверждать, что энтропия HI, > Ha. Энтропия, таким образом, раскрывает математическую сущность потенциальности F, она, следовательно, отражает уменьшение наших знаний о F по мере возрастания Af, связанного с удалением от /0. Необходимо отметить, что в момент t0F обладает существованием и сущностью, в моменты + t все F обладают сущностью, не обладая существованием, в моменты -t один ряд обладает сущностью и бесконечное число F не обладают ею. [c.87]
Представление о том, как четвертое измерение включает бесконечность интервалов между другими измерениями, можно получить путем визуализации пары хорошо знакомых фрактальных размерностей, называемых размерностями Хаусдорффа. Одна из наиболее известных размерностей пролегает между нулевой размерностью и первой размерностью, точкой и линией. Она получена путем стирания средней трети линии. В результате получаем две линии. Затем мы стираем среднюю треть каждой из этих линий и продолжаем этот процесс до бесконечности. То, что остается после удаления всех третей, Мандельброт назвал "пыль Кантора " 8. Она состоит из бесконечного числа точек, а не линий. Рис. 2-3 изображает начало этого процесса. [c.28]
Мы проиллюстрируем это удивительное явление на Рис. 80 и Рис. 81, показывающих измерение фрактальной размерности в присутствии дискретной масштабной инвариантности фрактальных объектов. Точнее, мы рассмотрим так называемые канторовы множества, которые являются одними из самых простых геометрических объектов, имеющих фрактальные свойства. Рис. 82 показывает первые пять итераций алгоритма построения так называемого троичного канторова множества. На нулевом уровне конструкция канторова множества начинается с единичного интервала, то есть со всех точек на прямой между 0 и 1. Этот единичный интервал изображается закрашенным черным цветом отрезком на вершине фигуры. Первый уровень получается из нулевого уровня путем удаления всех точек, лежащих в центральной трети отрезка, то есть всех точек между 1/3 и 2/3. Второй уровень получается из первого уровня путем удаления центральной трети каждого оставшегося интервала на первом уровне, то есть всех точек от 1/9 до 2/9 и от 7/9 до 8/9. В общем, алгоритм построения канторова множества может быть описан следующим образом следующий уровень получается из предыдущего уровня путем удаления центральной трети всех интервалов, полученных из предыдущего уровня. Данный алгоритм может быть закодирован при помощи следующего символического правила 1— 101 и 0— 000. Этот процесс продолжается до бесконечности, а результатом его является множество точек, которые тонко "процежены" из единичного интервала. Наи-ном уровне множество состоит из N =2" сегментов, каждый из которых имеет длину 1п=1/3", так что общая длина (то есть, измеренная в математическом [c.205]
Феллер (Feller, 1951) пришел к схожему результату, но он работал строго с откорректированным диапазоном R. Херст постулировал уравнение (5.1) для нормированного размаха, но оно фактически не было доказано в формальном смысле. Феллер работал с откорректированным диапазоном (то есть накопленные отклонения с удаленным выборочным средним) и пришел к ожидаемому значению R и его дисперсии. Нормированный размах, R/S, считался трудноразрешимым из-за поведения выборочного стандартного отклонения, особенно для небольших значений N. Существовало мнение, что результат был достаточно близок, так как откорректированный диапазон мог быть решен и должен был асимптотически (то есть в бесконечности) быть эквивалентным нормированному размаху. [c.74]
Так как 2 PiQi — т, это значит, что Pfli т> то есть> что Q находится на той же гиперплоскости, на которой Q находилось в первом случае. Но поскольку Q было выбрано как точка на этой гиперплоскости, лежащая на поверхности безразличия, как можно более удаленной от центра, для которой Ф максимальна, и поскольку мы отбрасываем бесконечно неправдоподобный случай существования других точек на гиперплоскости, обладающих этим важнейшим свойством, следует, что Q должно лежать на какой-нибудь другой поверхности безразличия, и что это будет соответствовать меньшей степени удовлетворения. [c.154]