Итак, постановка всякой задачи многокритериального выбора включает три объекта — множество возможных решений, векторный критерий и отношение предпочтения ЛПР. Решить эту задачу — означает, на основе векторного критерия и имеющихся сведений об отношении предпочтения ЛПР, найти множество выбираемых решений. [c.9]
В рамках рассматриваемой модели многокритериального выбора принцип Эджворта-Парето может быть сформулирован в виде утверждения о том, что множество выбираемых решений содержится в множестве Парето. Иначе говоря, каждое выбираемое решение является парето-оптимальным. Математический эквивалент этому высказыванию — включение одного множества в другое. Для того чтобы доказать это включение, следует определенным образом ограничить весь класс задач многокритериального выбора, наложив специальные требования на указанные выше три объекта. Эти требования (аксиомы) относятся главным образом к отношению предпочтения ЛПР и могут быть интерпретированы как рациональное (или разумное , последовательное ) поведение в процессе выбора. Кроме того, среди этих требований имеется условие согласованности отношения предпочтения ЛПР и векторного критерия, поскольку каждый из этих двух объектов выражает определенные устремления (цели) одного и того же ЛПР, и потому они обязаны быть каким-то образом связаны друг с другом. [c.10]
Применение принципа Эджворта-Парето позволяет из множества всех возможных исключить заведомо неприемлемые решения, т. е. те, которые никогда не могут оказаться выбранными, если выбор осуществляется достаточно разумно . После такого исключения остается множество, которое называют множеством Парето или областью компромиссов. Оно, как правило, является достаточно широким, и в процессе принятия решений неизбежно встает вопрос о том, какое именно возможное решение выбрать среди парето-оптимальных Выражаясь иначе, какие из парето-оптимальных решений следует удалить для того, чтобы произвести дальнейшее сужение области компромиссов и, тем самым, получить более точное представление об искомом множестве выбираемых решений Этот вопрос при решении практических многокритериальных задач является наиболее трудным и наименее проработанным к настоящему времени. [c.10]
Множество возможных и множество выбираемых решений. [c.15]
Обозначим множество выбираемых решений Sel X. Оно и представляет собой решение задачи выбора. Таким образом, решить задачу выбора, значит, найти множество Sel X, Sel X с X. Когда множество выбираемых решений не содержит ни одного элемента (т. е. пусто), собственно выбора не происходит, так как ни одно решение не оказывается выбранным. Подобная ситуация не представляет практического интереса, поэтому множество Sel X должно содержать, по крайней мере, один элемент. В некоторых задачах оно может быть бесконечным. [c.16]
Наряду с множеством выбираемых решений удобно ввести в рассмотрение множество выбираемых векторов выбираемых оценок) [c.19]
Множество недоминируемых решений. Как указано в разд. 1.1, решение задачи многокритериального выбора заключается в отыскании множества выбираемых решений Sel X. Выясним, каким образом сведения об отношении предпочтения могут быть использованы в процессе решения задачи многокритериального выбора. [c.26]
Вернемся к задаче выбора. Пусть для некоторого возможного решения х" найдется такое возможное решение х что выполнено соотношение х1 >х х". По определению отношения предпочтения это означает, что из данной пары решений ЛПР выберет первое решение. Тогда второе решение х" не может быть выбранным из данной пары х" и х так как это означало бы выполнение соотношения х" >х х, противоречащее вместе с х >х х" условию асимметричности отношения >х. Сказанное в терминах множества выбираемых решений можно выразить в виде следующей эквивалентности [c.27]
В аксиоме 1 участвует не только отношение предпочтения ух> которым руководствуется ЛПР в процессе принятия решений, но и множество Se] X. Это означает, что данное требование следует рассматривать как определенное ограничение на множество выбираемых решений. А именно, любое множество выбираемых решений не должно содержать ни одного такого решения, для которого может найтись более предпочтительное решение. Более точно и полно этот факт будет выражен далее в лемме 1.2. [c.28]
Лемма 1.2. Для любого непустого множества выбираемых решений Sel X, удовлетворяющего аксиоме 1, справедливо включение [c.29]
Замечание. В формулировке леммы 1.2 утверждается, что включение 1.2 выполняется для произвольного непустого множества выбираемых решений. Если Sel X = 0, то включение (1.2) также имеет место, поскольку, как принято в теории множеств, пустое множество содержится в качестве подмножества в любом множестве. Поэтому условие непустоты множества выбираемых решений в формулировке леммы 1.2 можно было бы опустить при этом справедливость рассматриваемой леммы не нарушается. Но тогда при доказательстве следовало бы специально оговаривать этот вырожденный случай, который с практической точки зрения интереса не представляет (если нет выбора, то и нет смысла изучать законы такого выбора). По этой причине здесь и всюду далее в подобных ситуациях, когда речь пойдет о включениях, содержащих множество выбираемых решений (или множество выбираемых векторов), мы будем подчеркивать непустоту этих множеств, чтобы сразу исключить из рассмотрения бессодержательные с практической точки зрения случаи. [c.29]
Включение (1.2) устанавливает, что для достаточно широкого класса задач (а именно, для тех задач, для которых выполнена аксиома 1) выбор решений следует производить только среди недоминируемых решений. Кроме того, поскольку все последующие требования (аксиомы), предъявляемые к рассматриваемому здесь классу задач многокритериального выбора, как мы увидим далее, не содержат множества выбираемых решений (и выбираемых векторов), включение (1.2) показывает, что выбранным может оказаться любое подмножество множества недоминируемых решений. [c.29]
Теорема 1.2. В условиях выполнения аксиом 1-3 для любого непустого множества выбираемых решений Sel X справедливо включение [c.37]
Из четырех участвующих в соотношении (1.8) множеств самым широким является множество возможных решений, а самым узким — множество выбираемых решений. Наглядно эта взаимосвязь изображена на рис. 1.1. [c.39]
Теорема 2.5 (в терминах решений). Предположим, что отношение предпочтения >- удовлетворяет аксиомам 1-4 и i-й критерий важнее j-го с коэффициентом относительной важности 9(J e (0, 1). Тогда для любого непустого множества выбираемых решений Sel X имеют место включения [c.64]
Теорема 3.4 (в терминах решений). Предположим, что выполнены аксиомы 1-4, А, В с I, А 0, В 0, А Л В = 0 и группа критериев А важнее группы критериев В с двумя заданными наборами положительных параметров w для всех i А и w для всех j е В. Тогда для любого непустого множества выбираемых решений имеют место включения [c.89]
Теперь рассмотрим ситуацию, когда /-й критерий важнее у-го, а он, в свою очередь, важнее некоторого к-то критерия, / у, j t к, i к. Здесь также имеются два сообщения об относительной важности критериев, но они не являются взаимно независимыми. Тем не менее, для учета этого набора информации и формирования нового векторного критерия также можно дважды применить теорему 2.5, в которой идет речь об учете информации об относительной важности одного критерия в сравнении с другим. Сначала следует пересчитать к-й критерий для того, чтобы воспользоваться информацией о том, что у-й критерий важнее к-го. Затем необходимо пересчитать у-й критерий для учета информации о том, что /-й критерий важнее у-го. В результате будет образован новый векторный критерий, у которого все компоненты за исключением у-й и к-й остались прежними. Множество парето-оптимальных решений (парето-оптимальных векторов) относительно нового векторного критерия будет представлять собой оценку сверху для неизвестного множества выбираемых решений (выбираемых векторов). [c.95]
Поскольку первый критерий важнее второго (допустим, что 0i2 0-4), то вместо второго критерия в новой многокритериальной задаче, множество Парето которой является оценкой сверху для искомого множества выбираемых решений (векторов), будет участвовать новый второй критерий, градиент которого обозначен с2. Конец этого вектора представляет собой результат перемещения конца вектора с2 по прямой, соединяющей концы векторов с1 и с2, в направлении конца вектора с] на 40% длины отрезка, соединяющего концы двух данных векторов. С другой стороны, поскольку второй критерий важнее первого (пусть 921 0.25), то новый первый критерий будет иметь градиент с, конец которого будет располагаться на расстоянии 25% длины указанного выше отрезка от конца вектора с1 в направлении конца вектора с2. Новый векторный критерий будет иметь вид ( с, х), l, х)). Таким образом, при учете набора указанной информации происходит взаимное изменение направлений градиентов обоих критериев, которое можно трактовать как сближение целей . [c.97]
Теорема 4.2 (в терминах решений). Пусть выполнены аксиомы 1—4 и имеются два сообщения о том, что i-й критерий важнее j-го критерия с коэффициентом относительной важности 8,у, а также что i-й критерий важнее к-го критерия с коэффициентом относительной важности Qik. Тогда для любого непустого множества выбираемых решений справедливы включения [c.103]
Теорема 4.4 (в терминах решений). Пусть выполнены аксиомы 1-4 и имеется набор из двух сообщений о том, что i-й критерии важнее k-го с коэффициентом относительной важности Qik, а также что j-й критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важности 6д. Тогда для любого непустого множества выбираемы решений выполняются включения (4.6), где Pg(X) — множество паре- [c.108]
Тогда для любого непустого множества выбираемых векторов и непустого множества выбираемых решений выполняются включения [c.121]
Имея в распоряжении алгоритм, о котором идет речь в сформулированной выше задаче, можно для любого конечного непротиворечивого набора информации об относительной важности критериев за обозримое время получать формулы для пересчета старого векторного критерия и образования нового, на основе которого строится оценка сверху для множества выбираемых решений (векторов). [c.124]
Собственно выбор решения (решений) осуществляет лицо, принимающее решение (ЛПР). Оно же несет всю ответственность за принятое решение. Результат решения задачи многокритериального выбора именуют множеством выбираемых решений и обозначают Sel X. Нередко в реальных задачах это множество содержит лишь одно решение. Однако можно указать немало ситуаций, когда оно должно включать несколько (а иногда и бесконечное число) элементов. Например, при выборе кандидатов на вакантные места, число выбранных претендентов должно в точности совпадать с числом вакантных мест, которых может быть несколько. [c.152]
Согласно аксиоме 1, если какое-то решение не выбирается из пары, то оно не может быть выбрано и из всего множества возможных решений. Это требование выглядит вполне разумным и не слишком обременительным, однако, в некоторых практически значимых случаях оно не может быть выполнено. Подтверждение тому — следующий простой пример. Предположим, что на два вакантных места претендуют три кандидата, причем при попарном сравнении оказалось, что первый кандидат лучше второго и третьего, а второй лучше третьего. Поскольку необходимо заполнить оба вакантных места, то ЛПР вынуждено будет остановить свой выбор на первом и втором кандидатах. Тем самым, второй кандидат войдет в множество выбираемых решений, не смотря на то, что для него существует лучшее решение — первый кандидат. [c.154]
Построенное с использованием нового векторного критерия множество Парето представляет собой оценку сверху для искомого множества выбираемых решений. Проще говоря, это означает, что дальнейший выбор следует производить в пределах найденного множества Парето. Поэтому после его отыскания на третьем этапе оно предъявляется для анализа ЛПР. В случае если ЛПР сочтет его приемлемым (по размерам) для окончательного выбора, [c.158]
В результате последовательного выполнения указанных действий образуется циклический процесс, схема которого изображена на рис. 6.2. Циклы в нем повторяются до тех пор, пока не будет получен результат, приемлемый для ЛПР. Этим результатом является очередное множество Парето, размеры которого, по мнению ЛПР, соответствуют размерам множества выбираемых решений Sel X. [c.158]
Когда Sel X 0 и множество недоминируемых решений состоит из единственного элемента, задача выбора в принципе решена, поскольку это единственное недоминируемое решение в силу включения (1.2) является выбираемым решением и остается только [c.29]
Теорема 4.4 (в терминах векторов). Предположим, что выполнены аксиомы 1-4 и имеется набор из двух сообщений о том, что i-u критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важности Qik, а также что j-u критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важности Qjk. Тогда для любого непустого множества выбираемых векторов Sel Y справедливы включения (4.1), где Р ) — множество парето-оптимальных векторов в задаче с множеством возможных решений X и векторным критерием g вида [c.106]
Теорема 4.10. Пусть к, /ь /2,..., i, е /, / S m - 1. Предположим, что выполнены аксиомы 1-4 и имеется набор информации об относительной важности, состоящей из 1 сообщений о том, что i i-ы критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важности Э, k, i2-u критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важности Q. k,..., /гы критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важности Qik. Тогда для любых непустых множеств выбираемых векторов и решений выполняются включения [c.119]
Мажорантное отношение. Конусное отношение ум с острым выпуклым конусом М (без нуля), порожденным векторами (4.25), будем называть мажорантным отношением. Это наименование обуславливается тем, что на его основе далее будет построена оценка сверху (т. е. мажоранта) для множества выбираемых Векторов (решений). [c.125]
Перейдем к обсуждению возможности комбинирования целевого программирования с описанным ранее методом последовательного сужения области компромиссов. Эта комбинация автором данной монографии использовалась еще в начале 1990-х годов для решения прикладных экономических задач и была названа модифицированным целевым программированием. В соответствии с последним вначале следует выявить всю возможную информацию об относительной важности критериев. В общем случае это может быть целый набор сведений. Далее на основе этого набора необходимо удалить все те возможные векторы, которые не совместимы с имеющейся информацией (т. е. необходимо применить метод последовательного сужения области компромиссов). В результате такого удаления будет получено некоторое подмножество исходного множества Парето, являющееся определенной оценкой сверху для искомого множества выбираемых векторов. Если последнее множество (оценка сверху) оказывается сравнительно широким и больше никакой дополнительной информации об относительной важности критериев для дальнейшего его сужения получить не удается, то в таком случае для завершения процесса поиска наилучшего решения можно применить метод целевого программирования. Разумеется, когда исходное множество возможных решений бесконечно, отыскание указанного подмножества может составить непростую вычислительную задачу. Однако для конечного множества возможных решений описанная процедура легко программируется и может быть реализована с помощью компьютера. [c.165]
В соответствии с аксиомой 1 любое доминируемое решение следует исключать из списка решений, претендующих на роль выбираемых. Исключение всех доминируемых решений приводит к множеству, которое играет важную роль в дальнейшем изложении. [c.28]
Поиск оптимального, в данном случае, решения X состоит в следующем. На первом шаге (/-1) все множество решений разбивается на подмножества по выбираемому для первого объекта проекту. То есть к первому подмножеству относятся все решения, в которых Хц= (Х]г=0, 1). Выбор между этими подмножествами осуществляется по максимизируемым оценкам эффективности решений (их [c.513]
Поскольку множество решений игры элементов входит в множество возможных значений сообщаемых элементами оценок s и выбираемых ими состояний у [c.230]
Примем следующий порядок функционирования АС (с фиксированным составом). Центру и АЭ на момент принятия решения о выбираемых стратегиях (соответственно — функциях стимулирования и действиях) известны целевые функции и допустимые множества всех участников АС. Центр, обладая правом первого хода, выбирает функции стимулирования и сообщает их АЭ, после чего АЭ при известных функциях стимулирования выбирают действия, максимизирующие их целевые функции. [c.117]
Располагая определением относительной важности критериев и изучив простейшие его свойства, можно приступить к решению главного вопроса, ради которого это понятие вводилось каким образом учитывать информацию об относительной важности критериев в форме сообщения о том, что один критерий важнее другого Оказывается (это демонстрируется во второй главе книги), если несколько ограничить класс задач многокритериального выбора, для которых справедлив принцип Эджвор-та-Парето, добавлением еще одного достаточно разумного требования (аксиомы) к отношению предпочтения ЛПР, то учет этой информации можно производить очень просто — нужно лишь в соответствии с выведенной несложной формулой пересчитать менее важный критерий, оставив все остальные критерии и множество возможных решений прежними. В результате получится новая многокритериальная задача, множество Парето которой будет уже множества Парето исходной задачи, причем ни одно выбираемое решение исходной задачи не окажется за пределами нового множества Парето. Иначе говоря, при переходе от старого множества Парето к новому произойдет сужение области компромиссов и при этом не будет потеряно ни одно выбираемое (потенциально-оптимальное) решение. Область поиска выбираемых решений после указанного учета информации об относительной важности критериев станет более узкой и, тем самым, задача выбора упростится. [c.12]
Три завершающих шага назначения тестовых комбинаций базируются на проверке логики модуля. Для выбираемого множества тестовых комбинаций в качестве критерия полноты может выступать утверждение о том, что каждая команда контролируемого модуля выполняется хотя бы один раз. Этот критерий необходим, но он не всегда является выполнимым. Лучшим критерием является обеспечение достаточного количества тестовых условий, позволяющих для каждой спроектируемой конструкции i модуля, которая порождает многовариантный переход, прохождение каждой ветви. Для автоматизации выаол- яения контроля лучшим решением будет построение граф-схемы программы модуля и на ее основе получение необ-< ходимых тестовых комбинаций, обеспечивающих работу по шагам два и три общего подхода. 174 [c.174]