Pf X) — множество парето-оптимальных решений [c.6]
В рамках рассматриваемой модели многокритериального выбора принцип Эджворта-Парето может быть сформулирован в виде утверждения о том, что множество выбираемых решений содержится в множестве Парето. Иначе говоря, каждое выбираемое решение является парето-оптимальным. Математический эквивалент этому высказыванию — включение одного множества в другое. Для того чтобы доказать это включение, следует определенным образом ограничить весь класс задач многокритериального выбора, наложив специальные требования на указанные выше три объекта. Эти требования (аксиомы) относятся главным образом к отношению предпочтения ЛПР и могут быть интерпретированы как рациональное (или разумное , последовательное ) поведение в процессе выбора. Кроме того, среди этих требований имеется условие согласованности отношения предпочтения ЛПР и векторного критерия, поскольку каждый из этих двух объектов выражает определенные устремления (цели) одного и того же ЛПР, и потому они обязаны быть каким-то образом связаны друг с другом. [c.10]
Применение принципа Эджворта-Парето позволяет из множества всех возможных исключить заведомо неприемлемые решения, т. е. те, которые никогда не могут оказаться выбранными, если выбор осуществляется достаточно разумно . После такого исключения остается множество, которое называют множеством Парето или областью компромиссов. Оно, как правило, является достаточно широким, и в процессе принятия решений неизбежно встает вопрос о том, какое именно возможное решение выбрать среди парето-оптимальных Выражаясь иначе, какие из парето-оптимальных решений следует удалить для того, чтобы произвести дальнейшее сужение области компромиссов и, тем самым, получить более точное представление об искомом множестве выбираемых решений Этот вопрос при решении практических многокритериальных задач является наиболее трудным и наименее проработанным к настоящему времени. [c.10]
Этот принцип демонстрирует особую, исключительно важную роль множества парето-оптимальных решений в теории принятия решений. [c.37]
Внимательный анализ доказательств приведенных утверждений, в совокупности приводящих к теореме 1.2, показывает, что если хотя бы одна из аксиом 1, 2 или 3 нарушается, то выбираемое решение не обязано быть парето-оптимальным 1). Отсюда следует, что принцип Эджворта-Парето не является универсальным, т. е. применимым во всех без исключения задачах многокритериального выбора. Более того, на основе аксиом I, 2 и 3 (точнее говоря, на основе отрицаний этих аксиом) при желании можно сделать определенный вывод и о том, в каких именно задачах этот принцип может не работать . [c.37]
Множество парето-оптимальных векторов. Вектор/(х ) при парето-оптимальном решении х называют парето-оптимальным вектором (парето-оптимальной оценкой) решения х или просто парето-оптимальным вектором, а множество всех таких векторов — множеством парето-оптимальных векторов (парето-оптимальных оценок). Для этого множества используют обозначение P(Y). Таким образом, [c.37]
Равенство P(Y) = f(Pf(X)) естественным образом связывает множество парето-оптимальных решений и парето-оптимальных векторов. В соответствии с ним, зная множество парето-оптимальных решений, можно найти соответствующее множество парето-оптимальных векторов. Справедливо и, в определенном смысле обратное, утверждение. А именно, располагая множеством парето-оптимальных векторов Р(Y) по формуле Pf(X) = f l(P (У)), где в правой части равенства записан прообраз множества Р У), можно пытаться строить соответствующее множество парето-оптимальных решений. Таким образом, в идейном отношении эти два множества полностью определяют друг друга, хотя попытка построение одного из них на основе второго может натолкнуться на определенные вычислительные трудности (в большей степени это относится к построению множества парето-оптимальных решений). [c.38]
Теорема 1.3. В случае конечного множества возможных векторов У (в частности, если конечно множество возможных решений X) существует хотя бы одно парето-оптимальное решение и, соответственно, хотя бы один парето-оптимальный вектор, т. е. Pf(X) 0, Р ) 0. [c.39]
Сужение множества Парето на основе информации о том, что одна группа критериев важнее другой группы. На основе следующей теоремы в процессе принятия решений из множества всех парето-оптимальных векторов можно удалять те, которые заведомо не могут оказаться выбранными. [c.83]
Теорема 4.4 (в терминах векторов). Предположим, что выполнены аксиомы 1-4 и имеется набор из двух сообщений о том, что i-u критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важности Qik, а также что j-u критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важности Qjk. Тогда для любого непустого множества выбираемых векторов Sel Y справедливы включения (4.1), где Р ) — множество парето-оптимальных векторов в задаче с множеством возможных решений X и векторным критерием g вида [c.106]
Выявление информации об относительной важности критериев. Основная идея предлагаемого подхода состоит в использовании информации об относительной важности критериев для исключения неприемлемых парето-оптимальных решений. Существуют по меньшей мере два способа получения такого рода информации [c.155]
Необходимо отметить, что использование метрики указанного выше параметрического семейства не всегда приводит к паре-то-оптимальным векторам. На этот счет в литературе имеется достаточное количество примеров. Поэтому в рамках целевого программирования значительное место уделяется нахождению условий, при которых использование той или иной метрики заведомо приводит к парето-оптимальным решениям. [c.164]
Теперь обсудим, каким образом МДЦ можно использовать при наличии дополнительной информации об относительной важности критериев в случае, когда множество возможных решений состоит из бесконечного числа элементов (например, задано в виде множества решений некоторой системы линейных неравенств). Для иллюстрации сначала рассмотрим самую простую ситуацию, — когда имеется всего три критерия и первый критерий важнее второго с некоторым коэффициентом относительной важности. Будем считать, что другой информации нет, причем получающееся в результате учета этой информации множество парето-оптимальных векторов бесконечно. Спрашивается, каким образом произвести дальнейшее сужение области поиска или же более того — остановить выбор на каком-то одном из возможных векторов С этой целью можно по известной формуле 612/1 + (1 - 0i2)/> пересчитать менее важный второй критерий и, тем самым, образовать новый векторный критерий, в котором первый и третий остались прежними. Именно второй, измененный критерий следует взять в качестве некоординатного и задать определенный ряд его значений для получения соответствующих двумерных сечений. Сравнивая представленные на дисплее сечения, можно получить наглядное представление о структуре множества Парето, соответствующем новому векторному критерию, и попытаться выбрать из этого множества какой-то один определенный (компромиссный) вектор у, у, у )- Этот [c.168]
Ф. Эджворту принадлежат такие понятия как кривая безразличия , контрактная кривая и ядро экономики . Специалистам в области математической экономики хорошо известен так называемый ящик Эджворта , с помощью которого можно моделировать процесс чистого обмена товарами между двумя участниками. По сути дела, этот анализ опирается на понятие парето-оптимального решения, которое Ф. Эджвортом в случае двух критериев использовалось до того, как его в общем виде ввел В. Парето. [c.170]
Специфичность проекта и состава инвесторов определяет сб-держание, структуру и способы формирования показателей эффективности для конкретного проекта. Необходимо осуществлять выбор компромиссного решения на основе согласования интересов всех участников проекта это решение должно принадлежать множеству Парето-оптимальных решений. [c.218]
Заметим, что все элементы, принадлежащие полученному по алгоритму компромиссному множеству, - Парето-оптимальны. Конечно, это упрощенный алгоритм поиска совпадающих решений участ- [c.42]
Решение Нэша является единственным решением, удовлетворяющим СИМ, СПО, НЭП и ННА для всех S е Г. Таким образом, существует связь между слабой Парето-оптимальностью и равновесием Нэша, [c.154]
Множество всех Парето-оптимальных решений образуют рубеж Парето или, что тоже рубеж эффективности. Эти два термина используются в литературе как синонимы. [c.247]
Из определения Парето-оптимальности следует простой переборный алгоритм нахождения множества Парето-оптимальных элементов. Поскольку Парето-оптимальность определяется не абсолютными, а относительными значениями оценок объектов (вариантов решений) по значениям их параметров, то для реализации алгоритма достаточно иметь информацию о типе отношений между каждой парой объектов, т.е. знать существует ли между ними отношение строгого предпочтения или нет. Поэтому введем булеву переменную [c.249]
Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения много- [c.82]
Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения [c.68]
А Пусть, напротив, для некоторого недоминируемого решения х е Ndom X выполнено соотношение х g P/(X). Тогда, по определению множества парето-оптимальных решений, существует такое возможное решение х е X, что/(х ) > f(x). На основании леммы 1.3 в условиях доказываемого утверждения справедлива аксиома Парето. Поэтому полученное неравенство, в силу аксиомы Парето, влечет соотношение х ух х, которое не совместимо с начальным предположением х е Ndom J. У [c.36]
Алгоритм нахождения множества Парето. Благодаря наличию указанной выше прямой связи между множествами недоминируемых и парето-оптимальных векторов все результаты, полученные ранее для первого множества, нетрудно переформулировать в терминах второго множества. В частности, для построения множества Pf X) (и Р(У)) в случае конечного множества возможных векторов Yможно применять сформулированный в предыдущем разделе алгоритм нахождения множества недоминируемых решений, заменив в нем сравнение по отношению пред-Почтения >х сравнением по отношению >, которое является иррефлексивным и транзитивным. [c.39]
Последнее неравенство можно переписать в виде / (х) -/(х ) е Л или f(x) >/( ). Следовательно, соотношение у - у Мдля векторов у = /(х), / = f(x ) равносильно неравенству / (х) >f(x ). Отсюда следует, что множество Р(У), участвующее в (2.11), совпадает с множеством парето-оптимальных векторов многокритериальной задачи, в которой множество возможных решений есть X, а векторный критерий — f вида (2.6). [c.64]
Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М. Наука, 1982. — 256 с. [c.175]
Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М. Наука, 1982. [c.163]
Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальное решение многокритериальных задач. М, Наука. 1982. [c.571]