Прежде чем описать использование этих соотношений, следует сделать замечание о выборе дробности реплики. Чтобы реплика была ортогональной, она должна составлять такую часть полного факторного плана, которая сама является полным планом для меньшего числа факторов. Другими словами, в качестве подходящей реплики следует брать ближайший полный факторный эксперимент, число опытов в котором больше, чем число неизвестных коэффициентов в модели. [c.224]
От полного факторного эксперимента латинские кубы составляют l/h реплики. Планы, составленные на основе латинских кубов, являются регулярными и ортогональными. Их легко можно обрабатывать методами дисперсионного анализа. [c.182]
Предположим, что в исследование включено Р факторов, причем /-и фактор имеет 1г (i = 1,. .., р) градаций, тогда имеется JV = /j . .. /р различных сочетаний значений факторов (условий эксперимента). Если каждому из возможных условий соответствует хотя бы одно наблюдение, то такую организацию (планирование) экспериментов называют полным Р-факторным планом. В противном случае планирование называют неполным Р-факторным планом. В примере с колхозным экономистом для того, чтобы план был полным, необходимо, чтобы каждое из К звеньев обрабатывало бы все / типов почвы и на каждом из типов использовало бы все J сортов семян. С практической точки зрения это трудно организовать, поэтому больше распространены неполные планы. [c.374]
При построении полного факторного эксперимента управляющие переменные xt принимают только два возможных значения +1 или -1. К такой схеме планирования можно свести любой эксперимент. Например, управляющими переменными процесса в химическом реакторе являются давление и температура. Несмотря на очень простое построение плана, полный факторный эксперимент имеет существенный недостаток с ростом числа факторов k число опытов растет по показательной функции N=2k. [c.268]
Аналогичным образом могут быть построены планы для сколь угодно большого числа независимых переменных. Легко видеть, что с ростом числа факторов k число опытов растет по показательной функции N= 2k. Планирования, представленные в табл. 3 и 4, обычно называют планированиями типа 22 и 23 соответственно. При k независимых переменных мы будем иметь дело с полным факторным экспериментом типа 2. [c.215]
Теперь мы рассмотрим строение матрицы плана (т. е. расположение N экспериментальных точек в -мерном пространстве), для которого генератором служит наивысшее взаимодействие. Запишем матрицу плана полного факторного эксперимента для (k — 1) факторов. Эта матрица с 2k l строками и (k— 1) столбцами. Добавим столбец взаимодействия всех факторов, т. е. столбец [c.34]
Одной из главных задач планирования эксперимента является задача составления плана проведения эксперимента, обеспечивающего наиболее достоверное определение коэффициентов модели при ограниченном числе испытаний. Одновременно должна решаться задача уменьшения трудоемкости обработки информации в методе наименьших квадратов. Эти задачи решаются путем использования оптимальных планов. В качестве такого плана часто применяют план полного факторного эксперимента ПФЭ-2. Для такого плана число опытов равно 2", где п—число учитываемых факторов. Исследуемые факторы t изменяются на двух уровнях верхнем с и нижнем j И- [c.314]
Совокупность значений управляемых переменных (факторов) эксперимента. Если каждый из к факторов имеет некоторое число (п) значений, то полный факторный план составит пк исследуемых точек, образующих факторную решетку. Напр., если факторов семь, а каждый из них имеет только два уровня (наименьший и наибольший), то число точек составит Т = 128. Полные факторные планы имитационных экспериментов (ради точности результатов расчет в каждой точке повторяется многократно) требуют очень больших вычислений. Для их сокращения применяются различные неполные факторные планы (напр., планы типа латинских и греко-латинских [c.263]
Так, из дробного факторного эксперимента в этом примере следует, что мы имеем одни и те же значения для главного эффекта фактора Л и взаимодействия факторов В и С, фактически вычисленное значение — сумма обоих эффектов. Это так называемые смешанные эффекты, или эффекты, оцениваемые совместно (вместе). Конечно, если взаимодействие равно нулю, то у2 — у3 — уь + ув будет несмещенной оценкой а-4. Обобщая для плана 2k, мы получим полуреплику, отбрасывая из таблицы полного факторного плана те строки, которые имеют знак [c.32]
Когда из плана разрешения IV отбрасывается один или несколько факторов, то может случиться, что план превратится в план разрешения V (или выше) для оставшихся факторов. Обратимся к примеру в табл. 25. Из построения плана легко видно, что если фактор 4 незначим, то план 2IV1 превращается в полный факторный план для факторов 1, 2 и 3. (Мы еще вернемся к такому отсеиванию важных среди It факторов в IV.7.) Если с самого начала в эксперименте k факторов и мы хотим иметь возможность реализации для них плана разрешения V, то нужно большое внимание. Планы разрешения III и IV можно выбрать так, чтобы они были подмножеством планов разрешения V. [c.65]
Поскольку линейную модель создают, прежде всего, для оценки направления градиента, которое заранее неизвестно, то можно использовать критерий минимум дисперсии предсказанного значения параметра оптимизации в любой точке факторного пространства при равенстве этих дисперсий на равном расстоянии от нулевой точки в любом направлении. Это эквивалентно требованию инвариантности плана при вращении системы координат относительно центра. Отсюда возникло название планов, удовлетворяющих этому критерию — ротатабельные планы. Принцип ротатабельности является важнейшим при выборе плана. Однако для случая линейной модели план можно сделать оптимальным в более широком смысле. Для этого вводят второй критерий — требование ортогональности плана. Ортогональность позволяет получить для коэффициентов уравнения оценки, независимые друг от друга, что очень важно при интерпретации. Как следствие выполнения этих требований, дисперсии для коэффициентов не только минимальны, но и равны друг другу. Все это создает идеальные условия для статистического анализа. Факторные планы удовлетворяют всем этим критериям, но так как полный факторный эксперимент содержит (при числе факторов больше трех) слишком много опытов, то используют дробные реплики. Реплики также должны удовлетворять всем критериям. Такими являются регулярные дробные реплики. ил [c.223]
Сначала мы рассмотрим общую модель с взаимодействиями, используемую в факторных планах. Дисперсионный анализ (или кратко ANOVA) применяется при обработке результатов факторного эксперимента. Показаны отношения между дисперсионным и регрессионным анализом. Обсуждаются рандомизация и разбиение на блоки в имитации. Исследуются предпосылки ANOVA, преобразование и кодирование. Следующий параграф -посвящен частному виду факторных планов, а именно таким планам, в которых все факторы имеют только по два значения. Приводится модель для таких 2fe планов вместе с анализом наблюдений. Затем идет параграф, в котором говорится только о дробных репликах от полного факторного эксперимента типа 2k, строящихся так, что вся важная информация сохраняется. Мы показываем, как можно выбрать конкретную структуру смешивания эффектов. Мы даем планы для модели только главных эффектов, планы для оценки главных эффектов в присутствии взаимодействий и планы для оценки как главных эффектов, так и двухфакторных взаимодействий (так называемые планы разрешения III, IV и V соответственно). Далее следует параграф, в котором показано, как получить независимую оценку дисперсии ошибки опыта о2 при частичном дублировании плана. Приводится метод переоценки эффектов с помощью дополнительной информации от повторения плана. Вместо дублирования наблюдений можно объединить суммы квадратов некоторых эффектов. Оба метода можно сочетать с проверкой соответствия модели. Если модель не годится, мы можем перейти к модели более высокого порядка. Показано, что планы этой главы легко достраиваются до планов более высокого порядка (это так называемые композиционные, или последовательно строящиеся, планы). Наконец, в следующем параграфе обсуждаются планы для поиска нескольких важных факторов среди многих мыслимых важных факторов, для так называемого отсеивания. Рассматривается интерпретация дробных факторных планов, когда некоторые факторы не могут быть важными. Приводятся также планы со случайным отбором факторных комбинаций и их анализ. Даются и так называемые сверхнасыщенные планы — систематические (т. е. не случайные) планы с меньшим числом наблюдений, чем эффектов. Затем мы демонстрируем несколько вариантов дробных реплик, в которых факторы объединяются в группы для уменьшения числа факторов и наблюдений. Исследуются предпосылки таких планов группового отсеивания и устанавливается, что они не ограничительны. Четыре типа планов группового отсеивания сравниваются между собой. Глава заканчивается кратким обсуждением теории статистических решений и проблемы многих откликов. Приводится литература по этим двум и по многим другим вопросам. [c.8]
Обстоятельная дискуссия о случайных планах была опубликована в журнале Te hnometri s в 1959 г. Саттерзвайт [Satterthwaite, 1959, р. 112] определил случайные планы как планы, в которых все или некоторые элементы матрицы плана выбираются с помощью случайной выборки. Существуют разные приемы случайного выбора. Обычно мы берем разные уровни некоторого фактора с равными вероятностями. Однако если есть некие априорные знания о том, что некоторые уровни более обещающие, то можно воспользоваться выбором с неравными вероятностями. Выбирать можно с возвращением или без него. В последнем случае можно добиться,чтобы все уровни фактора появлялись в эксперименте одинаково часто. Обычно отбрасываются любые элементы, для которых получается коэффициент корреляции между изучаемыми факторами, который превышает допустимый предел. Пусть, например, выборочный процесс дал коэффициент корреляции хг и л а, который равен плюс единице. Это значит, что если в каком-нибудь опыте хх = + 1, то и х2 = + 1, а если х.г = — 1, то и ха = "= — 1. Тогда невозможно разделить эффекты хх и ха эти два эффекта полностью смешаны. Известно, что и в дробном, и в полном факторном эксперименте коэффициент корреляции равен нулю. Поясним, что для неслучайных величин х1 и л 2 коэффициент корреляции определяется так [c.71]
Необходимо все возможные комбинации, однако это не так просто. В попарном подходе можно снизить число попарных сравнений, используя периодический план. Аналогично в полнопрофильном методе можно значительно уменьшить число объектов с помощью дробного факторного эксперимента. Специальный класс факторных экспериментов, называемый ортогональной таблицей, позволяет эффективно все главные эффекты. Ортогональная таблица допускает измерение всех изучаемых главных эффектов на некоррелированной основе. Эти планы предполагают, что все взаимодействия пренебрежимо малы. Ортогональные составляют, исходя из планов полного факторного эксперимента, заменив выбранные эффекты взаимодействия, которые принимают пренебрежимо малыми, новым фактором [26]. Обычно получают два набора данных. Набор используют для вычисления функций полезности для атрибутивных уровней. Набор проверки достоверности используют для оценки надежности и достоверности. [c.796]
Ортогональность плана гарантирует отсутствие корреляции между факторами, поэтому кажется, что все оценки коэффициентов регрессии независимы и свободны от посторонних влияний. Однако это справедливо, если описываемая область факторного пространства действительно линейна (при данной ошибке опыта) и, следовательно, все члены уравнения, отражающие кривизну, имеют нулевые коэффициенты. В действительности кривизна может существовать, например, если интервалы варьирования велики и хотя бы некоторые коэффициенты при эффектах взаимодействия окажутся отличными от нуля. Тогда может получиться, что столбцы этих взаимодействий в матрице планирования будут закоррели-рованы с некоторыми столбцами линейных эффектов. В дробном факторном эксперименте, в отличие от полного, всегда существует такая корреляция хотя бы для некоторых столбцов. Это приводит к тому, что по результатам данного эксперимента оказывается невозможно разделить коэффициент регрессии между линейным эффектом и взаимодействием. Такие оценки называются смешанными (совместными), а сам факт корреляции — смешиванием. Смешиваемость оценок —дань за сокращение числа опытов. Экспериментатор может бороться со смешиванием путем уменьшения дробности реплики, уменьшения интервалов варьирования, выбора вида модели. Экспериментатор стремится к тому, чтобы максимальное число линейных эффектов оказалось не смешанным с парными взаимодействиями. Число линейных эффектов, которые не смешаны в данном плане, будем называть разрешающей способностью плана. [c.224]
Закончив в последней главе первого выпуска обсуждение методов понижения дисперсии, автор переходит в четвертой главе — первой главе второго выпуска — к центральной теме всего повествования, к планированию имитационных экспериментов. Эта большая глава может даже рассматриваться как самостоятельная небольшая книга по данному вопросу. Из всего многообразия типов экспериментальных планов автор выбрал лишь полный и дробный факторный эксперимент да планы отсеивания. Даже процедура метода Бокса — Уилсона и вся техника исследования поверхностей отклика лишь упоминаются. А концепция D-оптимальности и некоторые другие современные теории не фигурируют вовсе. Если рассматривать книгу Клейнена как руководство для специалистов по моделированию, предназначенное для первого знакомства с подходом, опирающимся на планирование эксперимента, то подобный способ отбора материала представляется нам вполне оправданным. [c.5]