Что означают эти неравенства Напомним, что если вторая производная положительна, то график функции одной переменной является выпуклым вниз, а если вторая производная отрицательна, то график направлен выпуклостью вверх. Знак второй производной величины показывает рост или убывание предельной величины. Если вторая производная производственной функции (одной переменной) положительна, то эффективность ресурса растет, если отрицательна, эффективность падает. [c.344]
Аналогично, график дифференцируемой функции у = f(x] называется выпуклым вверх в промежутке, если соответствующая часть кривой расположена ниже любой касательной (рис. 9.13). [c.160]
Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх. [c.162]
П Пусть /"(ж) < 0 при х (х0 - е, х0 (е > 0) и f"(x > О при х G (жо, XQ + е), тогда согласно теореме 1 график функции является выпуклым вверх в интервале (XQ — Е, XQ) и выпуклым [c.162]
Заметим, что для непрерывных функций, которые являются дифференцируемыми не во всех точках, также используется понятие выпуклости кривой. Оно возникает, например, в математическом программировании. Здесь не может быть использовано наше определение, использующее понятие касательной (касательной в этом случае может и не быть). Поэтому пользуются другим определением, основанном на понятии хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вниз, если каждая дуга кривой лежит не выше своей хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вверх, если каждая дуга кривой лежит не ниже своей хорды. [c.164]
Точка х = 0 разбивает числовую ось на интервалы (—сю, 0) и (0, +оо). В первом интервале вторая производная отрицательна, а во втором — положительна. Следовательно, в первом интервале график функции является выпуклым вверх, а во втором — выпуклым вниз. При этом вторая производная при переходе через точку х — О меняет знак. Это означает, что значение х — О является абсциссой точки перегиба графика. Вычислим ординату этой точки /(0) = 0. Таким образом, точка 0(0, 0) — точка перегиба графика заданной функции. [c.176]
Вторая производная не обращается в нуль и не определена лишь в точке разрыва ж = 4. Поскольку точка перегиба должна быть точкой графика функции, то график функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах выпуклости функции. В интервале (—оо, 4) вторая производная отрицательна, кривая выпукла вверх. В интервале (4, +оо) вторая производная положительна, кривая выпукла вниз. [c.179]
Подобным же образом изменяется предельный продукт любого ресурса. Убывание предельного продукта иллюстрирует рис. 6, на котором представлен график производственной функции в предположении, что только один фактор является переменным. Зависимость объема продукта от затрат ресурса выражается вогнутой (выпуклой вверх) функцией. [c.52]
При исследовании поведения функции и формы ее графика полезно установить, на каких интервалах график функции обращен выпуклостью вверх, а на каких - выпуклостью вниз. Прежде всего выясним понятие выпуклости графика функции, имеющей на некотором интервале непрерывную производную. [c.65]
Определение. График функции у = Дх), х е (а Ь) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервале (а Ь), если график расположен ниже (точнее не выше) любой своей касательной (см.рис.5). Сама функция Дх) также называется выпуклой вверх (вогнутой вниз). [c.65]
Определение. График функции у = Дх), х (а Ь) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервале (а Ь), если он расположен выше (точнее не ниже) любой своей касательной (см.рис.4.6). Сама функция Дх) также называется выпуклой вниз (вогнутой вверх). [c.65]
Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале (а Ь) дважды дифференцируемая функция >>=Дх), x e (а, Ь) имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции является выпуклым вверх (вниз). [c.66]
Допустим для определенности, что/fx) < 0 для всех х е (а Ь). Рассмотрим производную Дх) как функцию отх, а/ ( ) - как ее первую производную. Тогда функция Дх) убывает на интервале (а Ь), а следовательно, по отмеченному выше график функции у = Дх) на этом интервале является выпуклым вверх. Аналогично, если / (х) > 0 для всех х е (a, ti), то график функции у — Дх) на интервале (а Ь) является выпуклым вниз. [c.66]
Термины "выпуклый вниз" ("вогнутый вверх"), "выпуклый вверх" ("вогнутый вниз") применяются также к графикам соответствующих функций. [c.104]
Рис 6.3. Выпуклость графика функции на интервале а, Ь а направленная вниз б направленная вверх [c.115]
График дифференцируемой функции y = f(x ) направлен выпуклостью вверх (выпуклостью вниз) на интервале ]а, Ь[, если в пределах этого интервала он расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке (рис. 5.8). [c.131]