Точки перегиба графика функции

Эквивалентное определение точкой перегиба графика функции у = f(x называется точка M(XQ, /(жо))5 ПРИ переходе через которую меняется направление выпуклости кривой.  [c.162]


Иными словами, точка перегиба графика функции — эта точка, в которой кривая переходит с одной стороны касательной на другую ее сторону (рис. 9.15).  [c.162]

Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция у = Дх) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на интервале (а Ь) и точка (х0, /Ц,)), где х0 е (а Ь), является точкой перегиба графика функции j(x), TO/"(XO) = 0.  [c.68]

Выпуклость и точка перегиба графика функции 11  [c.5]

Найти интервалы выпуклости и точки перегибов графиков функций.  [c.126]

Рассмотрим функцию f(x) = x3. Ее производная f (х) = Зх2, а /" (х) = 6. Тогда /" (х) = О при х = О, причем f (0) = 0 (в точке х = 0 существует касательная к графику). Производная /" (х) < 0 при х < 0 и /" <([ > 0 при х > 0. Следовательно, точка (0 0) является точкой перегиба графика функции у = х3.  [c.133]

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.  [c.162]


Чтобы найти все точки перегиба графика дифференцируемой функции у = /(ж), надо испытать все те значения ж, в которых вторая производная /"(ж) равна нулю, бесконечна или не существует (только в таких точках перегиб возможен).  [c.163]

V Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков следующих функций  [c.163]

Точка х = 0 разбивает числовую ось на интервалы (—сю, 0) и (0, +оо). В первом интервале вторая производная отрицательна, а во втором — положительна. Следовательно, в первом интервале график функции является выпуклым вверх, а во втором — выпуклым вниз. При этом вторая производная при переходе через точку х — О меняет знак. Это означает, что значение х — О является абсциссой точки перегиба графика. Вычислим ординату этой точки /(0) = 0. Таким образом, точка 0(0, 0) — точка перегиба графика заданной функции.  [c.176]

Исследовав стандартным методом функцию fl3)(f), найдем, что она определена на (0, +°°), не является ни четной, ни нечетной и ни периодической, возрастает на промежутке (0, 2/3) и убывает на промежутке (2/3, -н ) точка 2=2/3 является точкой максимума, а сам максимум равен тах/(3)(0 =0,784 точки ,=(2-V2)/3 и t, = (2+V2)/3 являются точками перегиба графика этой функции, ] /(3)(0=1 Хз)(0=0, т.е. ось Ot является для графика функции 7<з>(0 горизонтальной асимптотой. На основании полученных данных построим график функции fl3)(f), который имеет следующий вид (см. рис. 7.5).  [c.118]

Общий вид зависимости оценки стандартного отклонения sn от п приводится на рис. 4.2.2. Как можно заметить из рис. 4.2.2, в графике функции sn(n) присутствует некоторая точка перегиба га, определяющая номер периода, начиная с которого скорость расхождения границ доверительного интервала качественно возрастает. Последний факт может быть использован для определения того количества периодов, на которое мы в рамках мультипликативной модели можем получить относительно осмысленную оценку границ отклонений фактических значений от прогнозных.  [c.158]


В связи с этим темпы роста продаж начинают падать. На графике рис. 6.2 этот этап отражен следующим образом после достижения точки перегиба на кривой реализации касательная линия теряет свой угол наклона. Математически это означает, что величина второй производной функции объемов продаж от времени (в стандартизованных переменных) становится отрицательной  [c.129]

График логистической функции имеет форму латинской буквы S , положенной на бок. Поэтому его еще называют S-образ-ной кривой. Эта кривая имеет две точки перегиба и характеризуется переходом от ускоряющегося роста к равномерному (вогнутость) и от равномерного роста к замедляющемуся (выпуклость).  [c.46]

Математически формулируется достаточное условие выпуклости графика непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале (а, Ъ) (которая в этом случае предполагается дважды дифференцируемой функцией) если она имеет отрицательную вторую производную, то ее график является выпуклым вверх, если положительную — выпуклым вниз. Точка графика непрерывной функции, при переходе через которую график меняет направление выпуклости (напр., был выпуклым вверх, стал — вниз), называется точкой перегиба.  [c.58]

Задача. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции у = —ж1/3.  [c.164]

Исследовать направление выпуклости графика функции, найти точки перегиба.  [c.174]

Таким образом, точка А(— 1, 2) — строгий локальный максимум функции, а точка В(1, —2) — ее строгий локальный минимум. 7. Исследуем направление выпуклости графика функции и найдем точки перегиба (см. также пример на с. 163). Найдем вторую производную функции и приравниваем ее нулю  [c.176]

Вторая производная не обращается в нуль и не определена лишь в точке разрыва ж = 4. Поскольку точка перегиба должна быть точкой графика функции, то график функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах выпуклости функции. В интервале (—оо, 4) вторая производная отрицательна, кривая выпукла вверх. В интервале (4, +оо) вторая производная положительна, кривая выпукла вниз.  [c.179]

Если признаком всех экстремумов является равенство нулю первой производной, то как определить, является ли данная точка максимумом, минимумом или точкой перегиба, не пользуясь при этом рисунком графика функции  [c.150]

ТОЧКА ПЕРЕГИБА — точка, принадлежащая функции или лежащая на графике, которые отражают динамику темпа роста тангенса угла наклона кривой с одного на другой (например с отрицательного на положительный, или наоборот).  [c.680]

Выпуклость графика функции. Точки перегиба  [c.65]

Определение. Точка графика непрерывной функции fix), в которой существует касательная и при переходе через которую график функции меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба Согласно определению в точке перегиба касательная к графику функции с одной стороны расположена выше графика, а с другой - ниже, т.е. в точке перегиба касательная пересекает кривую (см. рис. 4.8).  [c.67]

Точки перегиб а графика функции  [c.132]

Пусть точка (x0,f(x0)) яюлпя ется точкой перегиба графика функции / = / (х), определенной в некоторой окрестности точки хй. Тогда либо вторая гароизводная /" (х9) не существует, либо /"( 0)= 0 (необходимый признак точки перегиба).  [c.132]

Точка ( f(x0)) называется т шкай перегиба графика функции y = f(x), если в этой точке существует касательная к графику и в промежутках ]j m—8, х0[ и ]х , х + 8[, а . где 6—некоторое поло-  [c.132]

Так, на рис. 5.9, а то ш а М0 является точ-.к о-й перегиба графика функции, а на рис. 5.9, б точка Mi не является тю"чк ой перегиба, хотя в этой точке и происходит изменение направления выпуклости графика (в точке M не существует касательной к гра-фипку).  [c.132]