Функция ф имеет строгий локальный минимум в точке с, если можно найти такой шар В (с), что [c.161]
Точка с, в которой достигается минимум, называется точкой (строгого) локального минимума ф или (строгого) абсолютного минимума ф на 5, в зависимости от природы минимума. [c.161]
Некоторые из введенных понятий представлены на рис. 1. Функция ф определена и непрерывна на [0, 5]. Она достигает строгого абсолютного минимума в точке х = 0 и (нестрогого) абсолютного максимума в точке х = 1. Строгие локальные минимумы имеются также в точках ж = 2иж = 5,а строгий локальный максимум — в точке х = 3. В точке х = 4 производная ф равна нулю, однако эта точка не является точкой экстремума это седловая точка. [c.162]
Показать, что функция ф R2 —> R, определяемая как ф(х, у) = х4 + у4 — 2(х — у)2, имеет строгие локальные минимумы в точках (л/2, —л/2) и (—л/2, л/2) и седловую точку в нуле (О, О). [c.169]
Показать, что функция ф R —> R, определяемая как ф(х,у) = (у — х2)(у — 2ж2), имеет строгий локальный минимум на всякой прямой, проходящей через начало координат, однако начало координат не является точкой локального минимума. Показать, что начало координат является седловой точкой. [c.169]
Функция ф имеет в точке с строгий локальный минимум при условии g(x) = О, если можно найти такой шар В (с), что [c.178]
Тогда ф достигает строгого локального минимума в точке с при условии g(x) = 0. [c.184]
При А = 2/3 находим, что А(1,1) = А( —1, —1) = —24, а при А = 2 находим, что А(л/3, — л/3) = А(—л/3, л/3) = 24. Тогда из теоремы 12 следует, что в точках (1,1) и (— ,— ) достигается строгий локальный минимум, а в точках (л/3, —л/3) и ( — л/3, л/3) — строгий локальный максимум (в принципе, эти точки являются точками абсолютных условных экстремумов, как можно заметить из геометрических соображений). [c.188]
Говорят, что функция f(x) имеет в точке XQ строгий локальный максимум (минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (XQ — 6, XQ + 5), содержащейся на промежутке, [c.142]
Иными словами, точка XQ доставляет функции /(ж) строгий локальный максимум (минимум), если значение /(жо) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что само определение строгого локального максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки XQ. [c.143]
Если функция имеет строгие локальные максимумы в точках жо и жх, то наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке Ж2 между жо и х и имеет там строгий локальный минимум. Аналогично между двумя строгими локальными минимумами непременно найдется строгий локальный максимум. В том простейшем (и на практике — важнейшем) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число строгих локальных максимумов и минимумов, они попросту чередуются. На графике функции (как, например, на графике функции sin ж, 0 ж бтг) им соответствуют характерные горбы и впадины. [c.143]
Если при переходе через точку жо производная / (ж) меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке строгий локальный минимум. [c.147]
Решение. Все четыре функции непрерывны на числовой оси. Производные функций у = ж2, у = ж2/3 и у = х меняют знак при переходе через точку ж = 0 с минуса на плюс. Это означает, что критическая точка ж = 0 является для этих функций точкой строгого локального минимума. Функция у = ж3 при переходе через точку ж = 0 сохраняет положительное значение производной. Следовательно, для функции у = ж3 точка ж = 0 не является точкой экстремума. А [c.148]
Первое личико — это рисунок первого утверждения правила. Если глаза личика блестят (+ +), то оно улыбается. Значит, если знак второй производной плюс, то стационарная точка является точкой строгого локального минимума. [c.150]
Решение. Для первой функции из этого примера имеем у = = ж2, у = 2 ж, у" = 2 > 0. Следовательно, в точке х = 0 — строгий локальный минимум. [c.150]
Проверим является ли эта критическая точка точкой минимума. Значение ж = 14 входит в рассматриваемый интервал и разбивает его на два интервала (0, 14) и (14, +оо), в которых производная не меняет знак. Поэтому, выбирая в каждом из полученных интервалов произвольную точку, определяем знак производной в них. В первом интервале производная оказывается отрицательной (в этом интервале функция строго убывает), а во втором интервале производная положительна (здесь функция строго возрастает). Так как при переходе через точку ж = 14 производная меняет знак с минуса на плюс, то, согласно первому правилу отыскания экстремума, функция имеет в этой точке строгий локальный минимум. Отсюда следует, что в точке ж = 14 [c.154]
Так как при переходе через точку х — — 1 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет строгий локальный максимум при переходе через точку х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, функция имеет в этой точке строгий локальный минимум. Вычислим значения функции в этих двух точках [c.176]
Таким образом, точка А(— 1, 2) — строгий локальный максимум функции, а точка В(1, —2) — ее строгий локальный минимум. 7. Исследуем направление выпуклости графика функции и найдем точки перегиба (см. также пример на с. 163). Найдем вторую производную функции и приравниваем ее нулю [c.176]
В случаях, когда упоминание о том, является ли максимум или минимум строгим или нестрогим, локальным или глобальным, не является существенным, то соответствующие прилагательные опускают. [c.306]
В случае поиска минимума функции говорят о методе наискорейшего спуска, в случае задачи максимизации — о методе наискорейшего роста (или подъема). При этом необходима строгая проверка решения, ибо градиентный спуск или подъем могут привести к экстремальной точке, которая на самом деле окажется не глобальным, а лишь одним из локальных оптимумов. [c.66]
Другими словами, локальные и абсолютные, в том числе строгие, максимумы определяются заменой неравенств в 1-4 на противоположные. Максимум или минимум функции называется также экстремумом. (Примеч. пер.) [c.161]
Аналогично доказывается теорема для случая, когда XQ — точка нестрого локального минимума функции. Теорема верна и в случае строгого экстремума. При доказательстве используется тот факт, что строгое неравенство в пределе переходит в нестрогое. [c.145]
РИС. 23О-1. Фактический и потенциальный объем производства. Потенциальный объем производства — это объем производства при полной занятости, который растет со временем. Фактический объем производства колеблется вокруг потенциального, опускается ниже его во время спада и затем постепенно возвращается к нему и иногда превосходит его во время подъема экономики. (В действительности авторы дают определение не потенциального, а среднего за период ВНП. Более строгое определение потенциального ВНП обобщает понятие границы производственных возможностей.— Прим.. пер.) Локальные максимумы экономического цикла обозначены буквой Р, локальные минимумы — буквой Т [c.416]
Рассмотрим функцию ф R2 —> R, определяемую как ф(х,у) = х3 — Зху2 + у4. Найти критические точки ф и показать, что у этой функции есть два строгих локальных минимума и одна седловая точка. [c.170]
Эти предполож ения являются достаточными (и даже избыточными) условиями строгого локального минимума ф в точке XQ при условии g(x) = b (см. теорему 12). [c.191]
Наличие локального экстремума функции при некотором значении аргумента нисколько не зависит от того, как ведет себя функция вдали от этого значения. С этой точки зрения понятно, что строгий локальный минимум функции может быть больше строгого локального максимума, — подобно тому как впадина в горах может быть выше, чем небольшая вершина. В отличие от строгого локального максимума (минимума) существует еще понятие строгого глобального максимума (минимума] на некотором множестве. Естесственно, что строгий глобальный максимум больше всех остальных значений значений функции на данном множестве (в том числе и дальних), а строгий глобальный минимум — меньше. В географических горных терминах строгий [c.143]
Заметим, что когда нет надобности акцентировать внимание на том, является ли максимум (минимум) строгим или нестрогим, локальным или глобальным, соответствующие прилагательные опускают. Для максимума или минимума существует и объединяющий их термин — экстремум. Латинское extremum означает крайнее (значение). Экстремумы также разделяются на строгие и нестрогие, локальные и глобальные. [c.144]
При переходе через точку х = — 2 производная функции меняет знак с плюса на минус, следовательно, х = —2 — точка строго локального максимума. При переходе через точку х = 10 производная меняет знак с минуса на плюс, х = 10 — точка строгого локального минимума ymayL = у(—2) = —4 ym n = у(10) = 20. [c.178]
Природная, естественно возникшая общность людей составляет ту основу, с к-рой начинается историч. развитие. Она была необходимой предпосылкой трудовой деятельности людей. Изолированный индивид не в состоянии устоять перед силами природы, добыть себе необходимый минимум средств существования. Принадлежность человека к онредел. общности на >той стадии — непреложное условие самой жизни вообще и он существует лишь как член семьи, локальной группы, рода, племени или иной естественно сложившейся общности (см. К. Маркс, в кн. Маркс К. н Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 46, ч. 1, с. 461—87). Неразвитость труда, примитивность средств нроиз-ва обусловливали коллективность присвоения жизненных средств. О. как кооперация трудящихся индивидов сама выступала в качестве ...первой великой производительной силы... (там же, с. 485). Труд отд. человека но имел самостоят, бытия он был составной частью, функцией совокупного труда О. (см. К. Маркс, там же, т. 13, с. 19). Существовавшее внутри первобытной О. разделение труда не было общественным в строгом смысле термина оно основывалось на половозрастных различиях и на сезонных формах хоз. деятельности. Действнт. обществ, разделение труда лишь со временем зарождается между отд. О., обменивавшимися продуктами своей деятельности. [c.156]
Непрерывная функция у у достигает своего максимума (М) и минимума (т) на сфере y = 1. В случае отрицательной определенности матрицы Н справедливо, что т<М< 0. В силу этого, найдется такая величина 5>0, что при y < 5 будет о( г/ ) < М и, тем самым, уИу +о < 0. В силу локальной ненасыщаемости функции ы(.) в любой 5-окрестности точки ж найдется строго лучшая точка ж, и, кроме того, в силу квазивогнутости матрица Гессе будет отрицательно полуопределена на векторах таких, что Vu(x )y=Q. В качестве у возьмем вектор (ж - ж). Таким образом, имеем ы(ж ) < и(х), что противоречит выбору точки ж . [c.63]