Математически формулируется достаточное условие выпуклости графика непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале (а, Ъ) (которая в этом случае предполагается дважды дифференцируемой функцией) если она имеет отрицательную вторую производную, то ее график является выпуклым вверх, если положительную — выпуклым вниз. Точка графика непрерывной функции, при переходе через которую график меняет направление выпуклости (напр., был выпуклым вверх, стал — вниз), называется точкой перегиба. [c.58]
График дифференцируемой функции у = f(x] называется выпуклым вниз в данном промежутке, если соответствующая часть графика расположена выше касательной, проведенной в любой точке промежутка. [c.160]
Последнее неравенство означает, что график функции у = = /(ж) лежит выше касательной. Следовательно, в промежутке X график функции будет выпуклым вниз. [c.161]
Заметим, что для непрерывных функций, которые являются дифференцируемыми не во всех точках, также используется понятие выпуклости кривой. Оно возникает, например, в математическом программировании. Здесь не может быть использовано наше определение, использующее понятие касательной (касательной в этом случае может и не быть). Поэтому пользуются другим определением, основанном на понятии хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вниз, если каждая дуга кривой лежит не выше своей хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вверх, если каждая дуга кривой лежит не ниже своей хорды. [c.164]
Точка х = 0 разбивает числовую ось на интервалы (—сю, 0) и (0, +оо). В первом интервале вторая производная отрицательна, а во втором — положительна. Следовательно, в первом интервале график функции является выпуклым вверх, а во втором — выпуклым вниз. При этом вторая производная при переходе через точку х — О меняет знак. Это означает, что значение х — О является абсциссой точки перегиба графика. Вычислим ординату этой точки /(0) = 0. Таким образом, точка 0(0, 0) — точка перегиба графика заданной функции. [c.176]
Вторая производная не обращается в нуль и не определена лишь в точке разрыва ж = 4. Поскольку точка перегиба должна быть точкой графика функции, то график функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах выпуклости функции. В интервале (—оо, 4) вторая производная отрицательна, кривая выпукла вверх. В интервале (4, +оо) вторая производная положительна, кривая выпукла вниз. [c.179]
Что означают эти неравенства Напомним, что если вторая производная положительна, то график функции одной переменной является выпуклым вниз, а если вторая производная отрицательна, то график направлен выпуклостью вверх. Знак второй производной величины показывает рост или убывание предельной величины. Если вторая производная производственной функции (одной переменной) положительна, то эффективность ресурса растет, если отрицательна, эффективность падает. [c.344]
Геометрически выпуклость функции соответствует ее выпуклости вниз. Всякая дуга графика выпуклой функции не поднимается выше стягивающей ее хорды (рис. 2.2). [c.118]
При исследовании поведения функции и формы ее графика полезно установить, на каких интервалах график функции обращен выпуклостью вверх, а на каких - выпуклостью вниз. Прежде всего выясним понятие выпуклости графика функции, имеющей на некотором интервале непрерывную производную. [c.65]
Определение. График функции у = Дх), х е (а Ь) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервале (а Ь), если график расположен ниже (точнее не выше) любой своей касательной (см.рис.5). Сама функция Дх) также называется выпуклой вверх (вогнутой вниз). [c.65]
Определение. График функции у = Дх), х (а Ь) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервале (а Ь), если он расположен выше (точнее не ниже) любой своей касательной (см.рис.4.6). Сама функция Дх) также называется выпуклой вниз (вогнутой вверх). [c.65]
Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале (а Ь) дважды дифференцируемая функция >>=Дх), x e (а, Ь) имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции является выпуклым вверх (вниз). [c.66]
Допустим для определенности, что/fx) < 0 для всех х е (а Ь). Рассмотрим производную Дх) как функцию отх, а/ ( ) - как ее первую производную. Тогда функция Дх) убывает на интервале (а Ь), а следовательно, по отмеченному выше график функции у = Дх) на этом интервале является выпуклым вверх. Аналогично, если / (х) > 0 для всех х е (a, ti), то график функции у — Дх) на интервале (а Ь) является выпуклым вниз. [c.66]
График / выпуклой вниз функции.Дх) расположен ниже (точнее не выше) любой своей хорды (см. рис. 7.4). [c.104]
Термины "выпуклый вниз" ("вогнутый вверх"), "выпуклый вверх" ("вогнутый вниз") применяются также к графикам соответствующих функций. [c.104]
Рис 6.3. Выпуклость графика функции на интервале а, Ь а направленная вниз б направленная вверх [c.115]
Свойство строгой выпуклости предполагает, что проекции линий уровня функции полезности на плоскость xl,X2) должны быть строго выпуклы (вниз). На рис. 1.4 представлен график функции Кобба- Дугласа для случая ОС + Р = 1. Это - коническая поверхность. Если мы осуществим сечение этой поверхности плоскостью при значении [c.5]
График дифференцируемой функции y = f(x ) направлен выпуклостью вверх (выпуклостью вниз) на интервале ]а, Ь[, если в пределах этого интервала он расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке (рис. 5.8). [c.131]
Для выяснения того, какому условию должны отвечать значения выпуклой вниз функции f(x) выберем какие-либо две точки М1 и М2 на ее графике и проведем хорду М1М2 (рис. 7). Она целиком должна лежать в надграфике, т. е. надграфику должна принадлежать любая точка М хорды. [c.573]
Но отрицательность 2-й производной — это и есть характеристика вогнутости функции. На рис. 19.1 это иллюстрировано выпуклостью части плоскости, расположенной вправо и вниз от графика функции. Напомним, что вогнутость функции/характеризуется тем, 4TOJ(Q,5a+Q,5b)>Q,5f(a)+Q,5f(b) для любых а, Ъ из области определения/(см. рис. 19.1), что эквивалентно в свою очередь тому, что Аа+(1-А)6)>А(я)+(1-А)/(6) для любых а, Ъ из области определения / (область определения/также должна быть выпуклой). [c.158]