Из этой теоремы следует, что мы располагаем двумя ресурсами, обеспечивающими необходимую точность выполнения фазового ограничения это число точек аппроксимации k и ограничение вариации управления s. Из (11) как будто следует, что можно вместо k и s взять k =l и s =s/k, и это обеспечит ту же точность. Это не так. Дело в том, что в условии теоремы неявно использовано еще одно важное предположение считается, что на каждой [c.183]
Решение этой задачи в принципе не так уж сложно — алгоритм дискретного динамического программирования, подробно описанный в 44, приводит к цели с затратой числа операций в общем случае порядка О (Nh 2n). Последовательность точек (6) и объявляется оптимальной траекторией задачи (1) — (5) разумеется, речь идет о приближенно оптимальной траектории, точность зависит от шагов сетки т и А. Если элементарная операция реализована точным решением задачи типа (1) — (5) на малом интервале [t(, tt+1], то мы имеем дело с точной траекторией управляемой системы (2), проходящей через узлы ж/, в моменты tf обычно элементарная операция реализуется не абсолютно точно, и узлы (6), соединенные, например, отрезками прямых, представляют некоторую аппроксимацию решения системы ж=/. Если нас интересует не только оптимальная траектория (6), но и реализующее ее управление и (t), то его можно восстановить по узлам (6) с помощью той же элементарной операции. Следует прежде всего подчеркнуть ту легкость, с которой данный метод справляется со всеми ограничениями на фазовую часть траектории, будь то ограничения на правом конце траектории (х (Т)=Х1) или еще более сложные ограничения типа х (t) G при всех t. В известной монографии [57] отражена история развития методов приближенного решения задач оптимального управления группой ВЦ АН СССР под руководством Н. Н. Моисеева. Работа начиналась с естественной попытки строить минимизирующие последовательности управляющих функций. После первых успехов в решении простейших неклассических задач (это — задачи, содержащие только ограничение типа u U без условий на правом конце траектории в [40] опубликовано решение задачи о максимальной дальности планирования) встретились определенные трудности, связанные с огра- [c.122]
Перейдем к вопросам сходимости в вычислительной схеме Н. Н. Моисеева. Основное осложнение связано с тем, что теперь в разностной задаче (7) точки х могут принимать лишь дискретные значения а ., принадлежащие сетке 5. Поэтому в принципе может оказаться, что ни для какой пары точек из соседних сеток я., ж +1 не удастся построить соединяющей их траектории (1) на малом интервале [tt, t +1]. В этом случае разностная задача просто не имеет решения. Чтобы избежать этой опасности, следует наложить определенные ограничения на /г-шаг сетки по фазовым координатам. Кроме того, нужно гарантировать разрешимость элементарной операции. Эти вопросы исследовались в работах [56], [37]. Разрешимость разностной задачи и сходимости численного решения к решению задачи (1)—(5) была доказана в предположении некоторых свойств непрерывности функции Беллмана решаемой задачи. Однако для практики вычислений более существенным является другое условие шаги сетки hr по r-й компоненте фазового пространства должны быть связаны с шагом сетки по времени т соотношением ftr=T1+P>-, где рг 1 — некоторые числа, зависящие от строения области достижимости за малое время т для системы (1). Напомним, что областью достижимости D (Z, t) называется совокупность правых концов траекторий системы x=f (х, и), х (0)=z при произвольных измеримых и (t), и ( ) U, О t т. В работе автора [93] те же вопросы были решены только с одним предположением h—0 (t2). При этом под элементарной операцией следует понимать решение следующей простой геометрической задачи, являющейся аппроксимацией дифференциальной на малом интервале времени. Для расширенной системы (1) (пополненной уравнением x°=f(x, u), х° (0)=0) строится в каждой точке х область x- -tf (х, U) (если / (х, U) не выпукла, следует заменить ее выпуклой оболочкой). Далее эта область расширяется присоединением всех сфер радиуса ft2 с центрами в ж+т/ (x1U), Полученную область в пространстве х°, х1,.. ., хп обозначим DT (х), а ее проекцию на гиперплоскость х1, а 2,. ... . ., х" — jD (х). Если шаги сеток А=ста, то при определенном соотношении между с и С можно утверждать, что для любой точки xlj 5" найдется хотя бы одна точка xj.+i 5 41 такая, что [c.125]
Простые геометрические ограничения и (t) U превращаются в ограничения в фазовом пространстве, т. е. в ограничения в терминах функционала типа (1) они учитываются так, как это было описано выше, что увеличивает размерность задачи линейного программирования (15, 19). Правда, соответствующие элементы h n матрицы этой задачи вычисляются просто А = ( я—tn ) левее соответствующей точки аппроксимации, / =0 — правее ее. В целом замена (15) оказывается оправданной и позволяет эффективно решать прикладные задачи с хорошей точностью. [c.185]
После замены (6) аппроксимация (5) становится возможной при сравнительно небольшом значении I (в расчетах 1=3). Правда, появляются фазовые ограничения (7), требующие аппроксимации типа (5). Однако вычисление производной Фреше для функционала и (т в высшей степени просто [c.331]