Иначе говоря, последовательность областей D , Df , ..., Dj = Е образует последовательность областей остановки наблюдений, а последовательность областей Q, С , -, С — 0 образует последовательность областей продол жения наблюдений. [c.178]
Полезно при этом отметить, что под действием оператора Q заведомо происходит "поднятие" функции д(у) в точке у = К (выше для простоты полагалось К = 1) и Qg(y) = д(у) = 0 для у > К. Поэтому эти значения у Е можно относить как к областям остановки наблюдений, так и к областям продолжения наблюдений. Формулы (6) и (7) показывают, что такие точки были отнесены к областям продолжения наблюдений. [c.285]
В самом деле, рассмотрим точки х = k с k — 1. Тогда Тд(х) = О, Qg(x) = 0 и, следовательно, как мгновенная остановка в этих точках, так и продолжение наблюдений (на один шаг) дадут все равно нулевой доход. Поэтому точки х — k k - — 1 можно отнести к области продолжения наблюдений Q. К этой же области заведомо принадлежит точка а = Л° = 1 и те точки х = Xk с k > 1, для которых Л < XQ. [c.276]
Приводимые ниже рис. 57 и 58 дают наглядное представление о структуре "областей остановки" (D )vs. "областей продолжения наблюдений" ), а также о виде функции V 1 (х) — QN g(x). [c.276]
В качественном отношении области остановки D% и области продолжения наблюдений С% = Е D% такие же, как и на рис. 57 в 5Ь (с очевидной заменой в обозначениях Si -ч- Х+, Е -> Е,..., х =0-4- х = 1). [c.292]
По аналогии с соответствующей задачей для случая дискретного времени ( 5с, гл. VI) естественно предположить, что области продолжения наблюдений С и остановки наблюдений D, имеют следующий вид [c.451]
В случае бесконечного горизонта, т. е. когда моменты исполнения принимают значения из временного множества [0, оо), часто удается полностью описать структуру пен опционов Американского типа и соответствующих областей остановки и продолжения наблюдений. Так, во всех рассмотренных в разделе 2 случаях были найдены и цена V (х), и граничная точка х в фазовом пространстве Е — х х > 0 , разделяющая области остановки и продолжения наблюдений. [c.466]
Из изложения в предшествующем параграфе следует, что для описания структуры оптимального момента остановки TQ и областей продолжения и остановки наблюдений надо уметь находить функцию V — V (t, x) или, равносильно, функцию Y (t,x) = V (T — t,x). [c.470]
Выше отмечалось, что в случае стандартных опционов покупателя и продавца также имеет место двухфазная ситуация - при отыскании оптимальных правил остановки можно ограничиться рассмотрением лишь двух односвязных фаз области продолжения наблюдений СТ, где для У (t, х) действует уравнение (8), и области DT, где У = Y (t, х) совпадает с функцией g = g(x). [c.473]
Области остановки DT и продолжения наблюдений СТ являются односвязными и имеют следующую структуру [c.474]
Отметим в заключение, что вычисление оптимального момента остановки в заданном классе областей представляет, на наш взгляд и самостоятельный интерес. Для многомерных диффузионных процессов оптимальная область продолжения наблюдений может иметь очень сложную структуру, поэтому имеет смысл ограничиться более простыми областями, а решение задач (7.3)-(7.4) и (7.5) при этом искать численными методами. [c.76]
Полезно подчеркнуть, что если в рассмотренной в предыдущем параграфе типичной задаче Стефана из математической физики в ка ждой фазе действует "свое" уравнение, то в задачах об оптимальной остановке диф--ференциальные уравнения для У (t, х) возникают лишь только в одной фазе (в области продолжения наблюдений), тогда как в другой фазе (в области остановки) искомая функция У (t, x) совпадает с заранее известной функцией д(х). [c.476]
Основываясь на характеристических свойствах цен У (, г) как наименьших эксцессивных мажорант функций G(t,T г) (см. [340], [363], [441 гл. III], [467], [478]), можно показать, что существует непрерывная пограничная функция г = г (<), t < Т°, такая, что области Ст и DT (продолжения и остановки наблюдений) имеют следующий вид [c.491]
Седьмая глава (математическое приложение) посвящено описанию нового подхода к решению задач оптимальной остановки многомерных диффузионных процессов. Этот подход основан на использовании связи между граничными задачами для диффузионных процессов и задачей Дирихле для уравнений в частных производных эллиптического типа. Решение задачи Дирихле рассматривается как функционал, зависящий от области продолжения наблюдений. Оптимизация этого функционала на множестве областей продолжения наблюдений проводится вариационными методами. Описанный подход применяется к задаче оптимальной остановки двумерного геометрического броуновского движения с функционалом, представимом в виде математического ожидания однородной функции (произвольной неотрицательной степени однородности) от указанного процесса в момент остановки. К задачам такого типа и сводится исследование задачи выбора оптимального момента инвестирования. [c.14]
Обозначим F(x) - оптимальное значение функционала в задаче (7.2), a G = х е Rm д(х) < F(x - область "продолжения наблюдений". Тогда F(x) как функция от начального значения = х, удовлетворяет дифференциальному уравнениюЬ (ж) = рх в области G и "непрерывному склеиванию" F(x) = д(х) на границе 3G. Специфика задачи состоит в том, что сама область G неизвестна и является предметом поиска. Для ее нахождения используют ряд дополнительных условий, связанных с равенством на границе области 3G производных функций F(x) и д(х) ("гладкое склеивание")27. Общая теория предлагает некоторые достаточные условия, при которых решение, полученное методом "гладкого склеивания", действительно будет оптимальным (см., например, Ширяев, 1969). К сожалению, эти условия практически не проверяемы. Поэтому метод "гладкого склеивания" рассматривается для конкретных задач оптимальной остановки как чисто эвристический прием нахождения решения, оптимальность которого нуждается в дополнительном обосновани /28. [c.74]
Нами предлагается другой подход к решению задачи оптимальной остановки (7.2). Из общей теории известно, что момент оптимальной остановки можно представить, как момент первого выхода диффузионного процесса из некоторой области "продолжения наблюдений" (см., например, Ширяев, 1969 Oksendal, 1998). Предлагаемый ниже подход как раз и основан на варьировании области "продолжения наблюдений" в заданном классе областей. [c.75]
Построение и исследование модели поведения инвестора дало импульс к развитию новых математических подходов к решению задач оптимальной остановки многомерных диффузионных процессов. В частности, нами был предложен новый вариационный подход нахождения оптимальной области продолжения наблюдений, основанный на представлении функционала от значения многомерного диффузионного процесса на границе области в виде решения задачи Дирихле. С помощью этого подхода удалось полностью решить задачу оптимальной остановки для однородной функции (произвольной неотрицательной степени однородности) от двумерного геометрического броуновского движения. Это позволило провести детальный анализ модели инвестора. [c.87]
Смотреть страницы где упоминается термин Область остановки наблюдений
: [c.469] [c.470] [c.478] [c.155]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.0 ]