Распределение Парето—Леви Упражнения [c.171]
Оставшаяся часть этой главы посвящена анализу различных распределений вероятностей, применимых при оценке поведения рентабельности активов при условии соответствующих допущений. Начнем с двух непрерывных распределений — нормального и логнормального. Затем рассмотрим два дискретных распределения — биномиальное и Пуассона. Закончим рассмотрение группой других непрерывных распределений, в том числе и распределением Парето—Леви. Объясним наиболее желательные характеристики распределений с точки зрения финансового аналитика. [c.189]
Равновесие. Устойчивое состояние системы. См. аттрактор . Распределения Парето (Парето-Леви). См. фрактальное распределение . [c.289]
В этой книге мы уделим внимание двум группам распределений вероятностей. Первая группа, которую рассмотрим в этой главе, включает в себя те распределения, которые могут быть использованы для описания поведения рентабельности активов. Использование этих распределений позволяет нам оценить рискованность портфеля финансовых инструментов, таких, как опционы. Эта группа включает в себя нормальное, логнормальное, биномиальное распределения Пуассона и Парето—Леви. [c.172]
Поведение распределения для различных значений (3, когда а < 2, является важным для опционного ценообразования, которое будет рассмотрено в Главе 15. Вкратце, когда Р принимает экстремальные значения +1 или -1, левый (или правый) хвост обращается в нуль для соответствующих значений беты, а остающийся хвост сохраняет свои характеристики Парето. [c.199]
Это толстохвостое , островершинное распределение является характерной формой распределения Парето. Леви обобщил характеристическую функцию вероятностных распределений следующей достаточно сложной формулой [c.132]
Такой нелинейный процесс может быть вызван зависящей от времени дисперсией (AR H) или процессом с долговременной памятью, называемым процессом "Парето-Леви". В свое время мы обсудим оба случая. В данный момент мы можем просто сказать, что распределения с толстыми хвостами часто являются симптомами нелинейного стохастического процесса. [c.36]
Такие распределения с длинными хвостами, особенно в данных, полученных Парето, привели к тому, что Леви (Levy, 1937), французский математик, сформулировал обобщенную функцию плотности, частными случаями которой были нормальные распределения, так же как и распределения Коши. Леви использовал обобщенную версию Центральной предельной теоремы. Эти распределения соответствуют большому классу естественных явлений, но они не привлекали большого внимания вследствие их необычных и на вид трудно разрешимых проблем. Их необычные свойства продолжают делать их непопулярными однако их другие свойства так близки нашим результатам, полученным на рынках капитала, что мы должны их исследовать. Кроме того, было обнаружено, что устойчивые распределения Леви полезны в описании статистических свойств турбулентного потока и l/f-шума - и к тому же они фрактальны. [c.192]
Фрактальные распределения известны достаточно давно. В экономической литературе они носят названия Парето , или Парето-Леви , или устойчивые паретовские распределения. Свойства этих распределений первоначально были изучены Леви и опубликованы в 1925 г. Его работа основана, в свою очередь, на наблюдениях Парето (1897), касающихся распределения доходов. Последним было обнаружено, что доход хорошо аппроксимируется логнормальным распределением, за исключением приблизительно трех процентов наивысших индивидуальных доходов. На этом участке доход начинает следовать обратному степенному закону, что дает утолщв" ние хвоста. Грубо говоря, вероятность того, что один человек в десять раз богаче другого, подчиняется нормальному рас" пределению, но вероятность стократного превышения благосостояния оказывается намного больше той, что предсказывается нормальным распределением. Парето предположил, что этот утолщенный хвост, вероятно, возникает потому, что богатый может более эффективно умножать свое богатство, чем средний индивид, чтобы достичь более высокого благосостояния и более высоких доходов. Похожий обратно-степенной з кон был найден Ципфом (G. К. Zipf, 1948) для частот исполь- [c.130]