Плотность распределения Коши имеет вид симметричной относительно точки х = а кривой, визуально очень похожей на плотность нормального распределения. [c.39]
Кроме того р(х) интегрируема, поэтому функцию распределения Коши можно записать в явном виде и не прибегать при ее вычислении к помощи численных методов [c.39]
Казалось бы, распределение Коши выглядит очень привлекательно для описания и моделирования случайных величин. Однако в действительности это не так. Свойства распределения Коши резко отличны от свойств распределения Гаусса, Лапласа и других экспоненциальных распределений. [c.39]
Дело в том, что распределение Коши близко к предельно пологому. Напомним, что распределение называется предельно пологим, если при х —> +оо его плотность вероятности [c.39]
Для распределения Коши не существует даже первого начального момента распределения, то есть математического ожидания, так как определяющий его интеграл расходится. При этом распределение имеет и медиану и моду, которые равны параметру а. [c.40]
Разумеется, дисперсия этого распределения (второй центральный момент) также равна бесконечности. На практике это означает, что оценка дисперсии по выборке из распределения Коши будет неограниченно возрастать с увеличением объема данных. [c.40]
Из вышесказанного следует, что аппроксимация распределением Коши случайных процессов, которые характеризуются конечным математическим ожиданием и конечной дисперсией, неправомерна. [c.40]
Итак, мы получили симметричное распределение, зависящее от трех параметров, с помощью которого можно описывать выборки случайных величин, в том числе с пологими спадами. Однако, это распределение обладает недостатками, которые были рассмотрены при обсуждении распределения Коши, а именно, математическое ожидание существует только при а > 1, дисперсия конечна только при ОС > 2, и вообще, конечный момент распределения к-го порядка существует при а > k. [c.41]
На рисунке 14.1 использовано 8 000 выборок из известного распределения Коши, которое имеет бесконечное среднее и дисперсию. Распределение Коши более подробно описывается ниже. Используемый здесь ряд был "нормализован" путем вычитания среднего и деления на выборочное стандартное отклонение. Таким образом, все единицы выражены в стандартных отклонениях. Для сравнения мы используем 8 000 гауссовых случайных переменных, которые были нормализованы аналогичным образом. Важно понять, что два последующих шага всегда будут заканчиваться в среднем 0 и стандартном отклонении 1, потому что они были нормализованы к этим значениям. Конвергенция означает, что временной ряд быстро идет к устойчивому значению. [c.194]
Частные случаи нормальное распределение и распределение Коши [c.198]
Эти два известных распределения, распределение Коши и нормальное распределение, имеют много применений. Они также являются единственными двумя членами семейства устойчивых распределений, для которых могут быть явно выведены функции плотности вероятностей. Во всех других дробных случаях они должны быть оценены, обычно посредством численных средств. Мы обсудим один из этих методов в одном из последующих разделов этой главы. [c.198]
Как мы говорили ранее, главная проблема семейства устойчивых распределений состоит в том, что они не подходят для решений в замкнутой форме, кроме частных случаев нормальных распределений и распределений Коши. Поэтому функции плотности вероятности не могут быть явно определены. Вероятности могут быть решены только численно, что немного утомительно. К счастью, некоторые исследователи уже выполнили решения для некоторых общепринятых значений. [c.205]
В Главе 14 мы исследовали последовательное стандартное отклонение и среднее значение американской фондовой биржи и сравнили его с временным рядом, полученным из распределения Коши. Мы сделали это, чтобы увидеть влияние бесконечных дисперсии и среднего на временной ряд. Последовательное стандартное отклонение - стандартное отклонение временного ряда, когда мы за раз прибавляем [c.246]
Сделайте первое приближение Z к u(o,F), взяв взвешенное среднее значение F квантилей распределений Коши и гауссовых распределений. [c.277]
Таблица А3.2 преобразовывает результаты Таблицы А3.1 в квантили. Чтобы узнать, какое значение F объясняет 99 процентов наблюдений для а= 1,0, опуститесь по столбцу F влево к 0,99 и поперек к значению и=31,82. Распределение Коши требует наблюдений 31,82 значений с от среднего, чтобы охватить 99 процентов вероятности. Напротив, нормальный случай достигает 99-процентного уровня при и=3,29. Это отличается от стандартного нормального случая, который составляет 2,326 стандартных отклонений, а не 3,29 единиц с. [c.278]
Если X - случайная величина, имеющая распределение Коши с плотностью (16), то [c.239]
Распределение инвариантное 222 Распределение Коши 236, 241, 243 Распределение Леви-Смирнова 241 Распределение логарифмически [c.485]
Р( > (птг)1/2Г(п/2) п При п = 1 соответствующее распределение называют распределением Коши. [c.521]
Если ряд является стационарным в широком смысле, то он не обязательно является строго стационарным. В то же время, и строго стационарный ряд может не быть стационарным в широком смысле просто потому, что у него могут не существовать математическое ожидание и/или дисперсия. (В отношении последнего примером может служить случайная выборка из распределения Коши.) Кроме того, возможны ситуации, когда указанные три условия выполняются, но, например, Е(Х ) зависит от t. [c.14]
В то же время, в общем случае, даже если некоторые случайные величины Х, . .., Х взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что они образуют процесс белого шума, т.к. случайная величина Xt может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши). [c.15]
Коша два или более факторов, например трудовые и материальные активы, участвуют в процессе производства товаров и оказании услуг, а также в последующем формировании денежных поступлений, логичное распределение последних по факторам представляется в целом невозможным. Предполагалось приводить в соответствие активам, которые могли быть использованы, чистые предельные поступления, но сумма частных предельных поступлений может оказаться выше совокупных чистых поступлений от реализации продукции и оказания услуг. [c.318]
Такие распределения с длинными хвостами, особенно в данных, полученных Парето, привели к тому, что Леви (Levy, 1937), французский математик, сформулировал обобщенную функцию плотности, частными случаями которой были нормальные распределения, так же как и распределения Коши. Леви использовал обобщенную версию Центральной предельной теоремы. Эти распределения соответствуют большому классу естественных явлений, но они не привлекали большого внимания вследствие их необычных и на вид трудно разрешимых проблем. Их необычные свойства продолжают делать их непопулярными однако их другие свойства так близки нашим результатам, полученным на рынках капитала, что мы должны их исследовать. Кроме того, было обнаружено, что устойчивые распределения Леви полезны в описании статистических свойств турбулентного потока и l/f-шума - и к тому же они фрактальны. [c.192]
На рисунке 14.2(а) показано последовательное стандартное отклонение для тех ке двух рядов. Последовательное стандартное отклонение, подобно последовательному реднему, является вычислением стандартного отклонения, по мере того как по одному добавляются наблюдения. В этом случае разница еще более поразительна. Случайный эяд быстро сходится к стандартному отклонению 1. Распределение Коши, напротив, никогда не сходится. Вместо этого оно характеризуется несколькими большими прерывистыми скачками и большими отклонениями от нормализованного значения 1. [c.195]
Это логарифм характеристической функции для распределения Коши, которое, как известно, имеет бесконечную дисперсию и среднее. В этом случае 8 становится медианой распределения, а с - семи-интерквартильным размахом. [c.198]
Холт и Кроу (Holt and row, 1973) нашли функцию плотности вероятностей для а = 0,25 - 2,00 и Р равного от -1,00 до +1,00, оба в приращениях 0,25. Используемая ими методология интерполировала между известными распределениями, типа распределений Коши и нормальных распределений, и интегрального представления из работы Золотарева (Zolotarev, 1964/1966). Таблицы, подготовленные для бывшего [c.205]
Как мы говорили в Главе 14, явные выражения для устойчивых распределений существуют только для частных случаев нормальных распределений и распределений Коши. Однако Бергстром (Bergstrom, 1952) разработал разложение в ряд, которое Фамэ и Ролл использовали для приближения плотностей для многих значений альфы. Когда a > 1.0, они могли использовать результаты Бергстрома для выведения следующего сходящегося ряда [c.276]
На рисунке 14.1(Ь) приведен график последовательного среднего данных пятидневного индекса Доу-Джонса для акций промышленных компаний, используемых j Главе 8 и в других разделах данной книги, но оно также было нормализовано к среднему 0 и стандартному отклонению 1. Приблизительно после 1 000 дней график сходится к значению в пределах 0,01 стандартного отклонения 0. Гауссов случайный феменной ряд показывает схожее поведение. Среднее прибылей по индексу Доу-Джонса кажется устойчивым, как можно было бы ожидать от устойчивого фрактального распределения. Это поведение однородно и непрерывно. Оно не 1роявляет дискретных скачков, обнаруженных в функции Коши с ее бесконечным редним. [c.195]
Толстые хвосты во фрактальных распределениях вызваны усилением, и это усиление во временном ряду приводит к скачкам в процессе. Они подобны скачкам в последовательной дисперсии для Коши и Доу-Джонса. Таким образом, большое изменение во фрактальном процессе происходит из небольшого количества больших изменений, а не из большого количества небольших изменений, как подразумевается в гауссовом случае. Эти изменения имеют тенденцию быть резкими и прерывистыми - еще одно проявление эффекта Ноя. Мандельброт (Mandelbrot, 1972, 1982) называл это синдромом бесконечной дисперсии. [c.201]
Система, учета э ат р ат п о подраздел ет i и я м а н ал or к ч н а Ли 6 с ш те м е т ) л ыа i тогда, коша в каждом подразделении осуществляется оди(г вид операции или применяется одна бгш распределения затрат для различных операции либо когда различим с продукты потребляют различные операции в одним подразделеЕШи Е одкнакошк пропорциях. [c.228]
Смотреть страницы где упоминается термин Распределение Коши
: [c.39] [c.168] [c.168] [c.241] [c.151]Смотреть главы в:
Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.236 , c.241 , c.243 ]