Логнормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет логарифмически нормальное (сокращенно — логнормальное распределение), если ее логарифм подчинен нормальному закону.  [c.35]


Из всех параметров важнейшим, безусловно, является величина извлекаемых запасов. Но одновременно это и параметр, оценка которого представляет наибольшие трудности. В последние годы для прогноза размеров открываемых месторождений все больше используются статистические методы и методы имитационного моделирования. Используя гипотезу о логнормальном распределении размеров открываемых месторождений и метод Монте-Карло, можно имитировать случайный процесс открытий и генерировать совокупность месторождений.  [c.157]

Дисперсия распределения размеров месторождений моделируется на основе анализа временных серий. Распределение размера запасов открытий обычно принимается логнормальным. Проверка производится на имеющейся статистике. Следует отметить, что дисперсия логнормального распределения не уменьшается с уменьшением средних размеров открытий, поэтому важно прогнозировать распределение открытий по размерам, а не просто средние значения прироста запасов. При гипотезе о лог-нормальном распределении удобно наносить данные о запасах на логарифмический бланк. Из него непосредственно получают вероятности открытий месторождений различной крупности.  [c.180]


В результате указанного процесса выбор объектов из генеральной совокупности, соответствующий последовательности открытий, происходит с приоритетом крупных месторождений. Именно поэтому статистика открываемых месторождений, особенно на ранних стадиях освоения района, характеризуется приуроченностью основной части запасов к более крупным месторождениям. Это обстоятельство, а также представление об отсутствии математического ожидания у размеров структур (а значит, и у размера запасов месторождений) обусловили использование гиперболических законов с расходящимся математическим ожиданием (например, закона Парето). Действительно, если выборку b обрезать на любом шаге iгенеральной совокупности, которая хорошо описывается логнормальным распределением.  [c.206]

Обозначим неизвестную пока плотность логнормального распределения через ру(у), которую определим исходя из равенства дифференциалов Р (y)dy= р (x)dx > р (у) = р x(y)]-dx/dy  [c.37]

Параметры логнормального распределения выражаются через параметры соответствующего распределения Гаусса следующим образом  [c.37]

Как и в случае распределения Гаусса, плотность вероятности логнормального распределения нельзя проинтегрировать  [c.37]

Однако, значения интегральной функции логнормального распределения можно найти, используя значения интегральной функции распределения Гаусса, так как они связаны соотноше-  [c.38]

Логнормальное распределение можно использовать в качестве первого приближения для описания относительного изменения цен активов, однако, с теми ограничениями, о которых было сказано при обсуждении распределения Гаусса.  [c.38]


Так в чем же состоит эффективность применения этого другого распределения, отличающегося от нашего "наивного" нормального распределения Логнормальное распределение придает большую значимость текущей цене акции и меньшую значимость будущим ценам. Допущение меньшей вероятности экстремумов в распределении существенно уменьшает шансы возникновения большой стоимости опциона при истечении его срока и влияет на уменьшение ожидаемой стоимости. Но это, однако, компенсируется тем, что логнормальное распределение допускает вероятность очень экстремальных движений. На Рисунке 3.4 представлены кривые цен трехмесячного опциона колл, полученные при использовании "корректного" логнормального распределения, а именно модели Блэка-Шоулза, и нашего "наивного" нормального распределения.  [c.50]

В приведенном выше примере одновременная покупка волатильности при 15% и продажа при 22%, скорее всего, приведет к прибыли, но что если подразумеваемые волатильности оказались ближе, скажем, 15% и 17% соответственно В таком случае, вероятнее всего, мы не сможем гарантировать прибыль. В большинстве случаев на биржевых опционных рынках можно найти такие опционы, которые обладают одинаковыми циклами истечения срока, обращаются на акции с различными ценами и имеют разные подразумеваемые волатильности. Первоначально многие профессионалы, наблюдающие эти различия, увеличивали хеджированные позиции, такие, как позиции, описанные выше. На ранних стадиях опционных биржевых рынков, когда аномалии были еще большими, многие из таких позиций приносили прибыль, но некоторые создавали убыток. Со временем протяженность аномалий сокращалась, но они все еще существовали. Некоторые профессионалы полагают, что модель неверна и что подразумеваемая волатильность не годится для измерения стоимости. Другие считают, что допущение логнормального распределения не является верным, и исследования в этой области все еще продолжаются. Однако некоторые ученые доказали, что аномалии могут быть объяснены, если отойти от предположения о постоянстве волатильности. Почти каждый согласится с тем, что изменяющаяся волатильность на некоторых рынках связана с ценой основного инструмента. Когда цена акции падает (растет), волатильность часто увеличивается (уменьшается). Было показано, что сочетание этих и других аспектов в модели Блэка-Шоулза совместимо с различными ценами акций, имеющих разные подразумеваемые волатильности. Поэтому модель все еще может быть использована, но при условии введения разных значений волатильности. Большинство участников рынка это и практикуют.  [c.199]

Оценка методом Монте-Карло произведена с использованием тех же исходных параметров, меняющихся в тех же диапазонах, однако сами параметры задавались в виде функций логнормального распределения со средним значением, равным базовому, и логарифмической дисперсией 0,1 (рис. 13.5). Затем при помощи компьютера производилось генерирование случайных значений этих функций и их случайных комбинаций в сценарии. Общее количество полученных сценариев составило около 5000. Для каждого сценария производился расчет ЧДД, а полученные значения использовались для построения гистограмм и графиков кумулятивной вероятности. Такие графики для базового и коммерческого вариантов показаны на рис. 13.6, из которого следует, что оценки вероятности ЧДД = 0 составили для коммерческого варианта 98 %, а для базового варианта - лишь около 10 %.  [c.242]

Переменная не может принимать отрицательные значения, и вероятность очень высоких значений приближается к нулю, как это и можно ожидать от переменной, описывающей относительное изменение цены ценной бумаги. Логнормальное распределение очень часто используется для моделирования такого рода случайных переменных, в основе которых лежит процесс умножения.  [c.199]

Критически рассмотрите применение нормального распределения в данной ситуации. Объясните, как логнормальное распределение может быть использовано для преодоления проблемы.  [c.215]

Для того чтобы учесть допущение, что опционы оцениваются в безрисковой среде, а актив следует логнормальному распределению, мы должны скорректировать значения и и d (q равно единице по определению)  [c.407]

В действительности мы не используем наблюдаемую среднюю дневную доходность г, мы осуществляем корректировку. Вспомним, что в биномиальной модели ценообразования опционов опцион был оценен в рамках нейтральности к риску, так как было допущено, что опционная позиция может быть идеально захеджирована. То же самое мы допускаем и в процессе Монте-Карло. Вследствие этого соответствующая непрерывно наращенная ставка дохода будет однодневным эквивалентом безрисковой ставки, относящейся к сроку действия опциона. Предположим, что ставка равна 6% годовых, поэтому следует скорректировать дневную непрерывно наращенную ставку. Для этого мы должны вспомнить, что нормальное распределение со средней ц и средним квадратическим отклонением а может быть трансформировано в логнормальное распределение со средней  [c.419]

Кратко опишите пять этапов процесса моделирования методом Монте-Карло в приложении к ценообразованию опционов на актив, имеющий логнормальное распределение.  [c.422]

Логнормальное распределение Упражнения  [c.461]

В разработанных математических моделях для определения цены опциона, одна из которых кратко охарактеризована ниже, вместо нормального распределения обычно используется логарифмически нормальное (логнормальное) распределение, а центр распределения относят к цене исполнения. Иначе говоря, предполагается, что распределение вероятностей для ожидаемых рыночных цен является асимметричным (вершина сдвинута влево). Таким образом, предусматривается, что вероятность получения прибыли выше, чем потерь.  [c.325]

Функция плотности логнормального распределения Дх) имеет вид  [c.324]

При малой дисперсии логнормальное распределение близко к нормальному, так как при переходе к логарифмам  [c.324]

Графически логнормальное распределение с различными дисперсиями представлено на рис. 12.4.  [c.325]

Оценка параметров статистически наблюдаемых компонентов смеси. На данном этапе решается задача оценки параметров k,q,. ..,Qk, a-, ...,ak, of,...,o в смеси логнормальных распределений вида  [c.30]

Принимая во внимание свойства логнормального распределения, имеем  [c.31]

В третьей главе мы ознакомились с понятием изгиба цены опциона. Используя упрощенно-дискретное распределение, мы смогли увидеть, что этот изгиб возник благодаря тому, что к сроку истечения линия цены искривляется. Понятно, что, каковы бы ни были предположения о распределении цены акции, ценовой профиль всегда будет изогнут. А также каким бы ни было распределение, если волатильность высокая, то цена опциона должна направляться вдоль той кривой, что находится выше, и все утверждения, сделанные в четвертой главе по поводу влияния вола-тильности на дельту, гамму и тэту, остаются в силе. Модель Блэка-Шоул-за предполагает, что распределение основного инструмента логнормаль-ное. Вопрос о том, верно ли это предположение или нет, все еще является спорным. Эмпирические исследования показывают, что если изучаемый период не слишком длительный, то логнормальное распределение очень близко действительному процессу основного инструмента. Модель также предполагает, что ценовая волатильность акции постоянна, но чаще всего это совсем не так. Цены акции проходят как через волатильные, так и спокойные периоды. Некоторые исследования предполагают, что волатильность следует усредненно-оборотному процессу. То есть волатильность колеблется вокруг некоторой долгосрочной средней волатиль-ности. Итак, можно ли пользоваться моделью для торговли волатильностью или для оценки основного риска опционного портфеля Ответ поло-  [c.193]

К сожалению, доходность на некоторые виды ценных бумаг не является нормально или логнормально распределенной. Самым простым примером являются опционы (см. гл, 20). Например, опцион на покупку позволяет его владельцу получать прибыль в случае положительной доходности соответствующей акции, но в то же время избегать убытков в случае ее отрицательной доходности. По существу, опцион на покупку отсека-  [c.180]

Фрактальные распределения известны достаточно давно. В экономической литературе они носят названия Парето , или Парето-Леви , или устойчивые паретовские распределения. Свойства этих распределений первоначально были изучены Леви и опубликованы в 1925 г. Его работа основана, в свою очередь, на наблюдениях Парето (1897), касающихся распределения доходов. Последним было обнаружено, что доход хорошо аппроксимируется логнормальным распределением, за исключением приблизительно трех процентов наивысших индивидуальных доходов. На этом участке доход начинает следовать обратному степенному закону, что дает утолщв" ние хвоста. Грубо говоря, вероятность того, что один человек в десять раз богаче другого, подчиняется нормальному рас" пределению, но вероятность стократного превышения благосостояния оказывается намного больше той, что предсказывается нормальным распределением. Парето предположил, что этот утолщенный хвост, вероятно, возникает потому, что богатый может более эффективно умножать свое богатство, чем средний индивид, чтобы достичь более высокого благосостояния и более высоких доходов. Похожий обратно-степенной з кон был найден Ципфом (G. К. Zipf, 1948) для частот исполь-  [c.130]

Переменная называется логнормально распределенной, если натуральный логарифм ее нормально распределен. Следовательно, если n(St+bt/S(f)) нормально распределен, то St+bt/S(f) должно быть распределено логнормально.  [c.199]

В гл. 4 мы показали, что переменная распределена логнормаль-но, если ее натуральный логарифм распределен нормально. Кроме того, логнормальное распределение является привлекательным с точки зрения применения его по отношению к ценам активов, так как диапазон этого распределения находится в интервале от 0 до +оо. Этот диапазон в точности схож с теоретическим диапазоном цен активов потому, что они не могут быть отрицательными, но могут принимать очень высокие положительные значения.  [c.478]

Механизм логарифмически нормального распределения в привязке к распределению заработной платы и доходов населения подробно описан Н. Рабкиной и Н. Римашев-ской от распределения работников по разрядам сложности труда , подчиняющегося закону нормального распределения, через распределение работников по оплате труда, подчиняющееся закону логнормального распределения, до распределения населения по уровню доходов, также подчиняющемуся закону логнормального распределения с большей неравномерностью. Параметры логнормальной функции распределения доходов имеют экономический смысл среднее значение заработка (или дохода), вокруг которого группируются заработки (или доходы) всех получателей, и степень отклонения конкретных их значений от средней.  [c.325]

Функцию логнормального распределения в качестве одной из возможных форм описания асимметричных распределений предложили в XIX в. английские исследователи Ф. Гальтон и Д. Мак-Аллистер, идею которых впоследствии развил их соотечественник Дж. Кэптейн, а во Франции — Р. Жибра. Заслугой последнего является то, что он впервые применил ее к распределению доходов.  [c.326]

Действительно, из содержания 2-х и 3-х столбцов таблиц П.5 - П.8 следует, что в каждом из четырех рассматриваемых распределений (для России в целом и для трех ее регионов) наиболее предпочтительное решение отличается и от модели логнормального распределения, и от модели двухкомпонентной смеси. Тот факт, что при анализе данных RLMS даже наиболее предпочтительное решение характеризуется чрезмерно большим значением критической статистики %2(v) (и соответственно малым значением уровня значимости критерия, см. столбцы 2 и 3 в табл. П.5), можно объяснить так называемым "эффектом чрезмерно больших выборок" (ведь в данном случае гистограмма строилась по 9716 наблюдениям ).  [c.36]