Фрактальная геометрия, один из инструментов теории хаоса, используется для изучения феноменов, которые являются хаотическими только с точки зрения евклидовой геометрии и линейной математики. [c.37]
В предыдущей главе мы видели возможную замену нормального распределения как вероятностной функции для описания рыночных прибылей. Эта замена называлась, поочередно, устойчивыми распределениями Леей, устойчивыми распределениями Парето или распределениями Парето-Леви. Теперь мы можем добавить фрактальные распределения - название, которое лучше их описывает. Поскольку традиционные названия даны в честь математиков, которые их создали, мы будем использовать все эти названия попеременно. [c.209]
Развитие фрактальной геометрии стало одним из самых полезных и прекрасных открытий в математике. С помощью фракталов математики создали систему, которая описывает природные формы, используя небольшое количество терминов и правил. Сложность рождается из простоты. Фракталы придают сложности структуру и красоту — хаосу. Нас интересует, каким образом фракталы возникают в нелинейной динамике. Большинство природных форм и временных рядов наилучшим образом описываются фракталами. Естественно заключить, что нелинейность и фракталы являют собой геометрию хаоса. [c.67]
Фрактальный анализ предлагает для моделирования более сложную математику, но его результаты гораздо ближе к практическому опыту. Фрактальная структура рынков капитала порождает циклы, тренды и множество возможных справедливых цен . Она привносит качества, делающие рынки капитала интересными, в том числе зависимость от человеческих решений, и делает возможным их измерение в количественном аспекте. Фрактальная статистика указывает на беспорядочность и сложность жизни, но многое таит в себе. [c.129]
Не касаясь математики расчетов фрактальной геометрии , рассмотрим содержательную сторону этого понятия, что необходимо для понимания связи теории Эллиотта с универсальными законами природы. [c.34]
Не преследуя цель дать математическое определение "фрактальной геометрии" и ее основного понятия "фрактала" но желая обратить внимание читателя на важность идеи фр октально сти вообще и в финансовой математике в частности, дадим "определение" лишь на описательно-наглядном уровне. [c.274]
Следующее хорошо известное фрактальное измерение лежит между линией и плоскостью, первым и вторым измерением. Названное Уплотнение Сирпиниски в честь другого математика, Вацлава Сирпиниски19, эта размерность имеет численное значение 1.58 (от другого числа Фибоначчи, равного 1.618, это число отличается на тридцать две тысячных). Вы начинаете с равностороннего треугольника и используете половину длины стороны, чтобы образовать первоначальный треугольник. Площадь, которая лежит слева, вмещает три наполовину построенных треугольника. Повторяйте этот процесс до бесконечности, и вы получите форму, которая имеет бесконечное число линий, но не является плоскостью. [c.28]
Наука о хаосе снабжает нас новой парадигмой при исследовании рынков. Она обеспечивает более точный и предсказуемый способ анализа текущего и будущего поведения срочного товарного рынка. Она дает нам более эффективную схему поведения при торговле. Она не зависит от моделей прошлого и их приложения к настоящему и будущему, что является бесполезным. Эта парадигма концентрируется на текущем состоянии рынка, которое является простым объединением (и весьма похожим) индивидуального фрактального поведения массы трейдеров. Для более глубокого изучения науки о хаосе с академической и исследовательской точки зрения, я предлагаю следующие библиографии Петерса (1991 и 1993 гг.), Дибоека (1994), Чорафаса (1994)8. Большинство методов исследований, -применяемых в настоящий момент, представлено в журналах по физике и математике. [c.44]
Мы увидели, что непрерывная масштабная инвариантность дает толчок к появлению нецелочисленных (действительных) фрактальных размерностей. Теперь мы утверждаем, что дискретная масштабная инвариантность характеризуется комплексными фрактальными размерностями. Прежде, чем мы подтвердим данное утверждение примерами, давайте немного порассуждаем по поводу чудесного примера невероятной достаточности математики для описания природных явлений поиск более "эстетически" приятной всеобщности и логичной последовательности в математике, в конечном итоге, охватывает всеобщность глубокой концепции. Уигнер (E.P.Wigner), лауреат Нобелевской премии в области физики за работу по симметриям в ядерной физике и квантовой механике, сформулировал ее следующим образом [246] "Невероятная польза математики для естественных наук является чем-то, граничащим с волшебством... Замечательное свойство языка математики подходить для формулировки физических законов является чудесным даром, которого мы не только не понимаем, но и не заслуживаем". [c.200]
Возвращаясь к комплексным фрактальным размерностям, нам необходимо дополнительно вспомнить интуитивное значение показателя степени. Условные обозначения L3=LxLxL и L2=LxL, использованные нами прежде, предполагают, что показатели степени 3 и 2, использованные здесь, указывают, что L умножается на саму себя соответственно 2 и 3 раза. Красота математики часто заключается в обобщении таких очевидных представлений с целью расширить их использование и подчеркнуть их значение. Здесь обобщение от целых показателей степени к дробным показателям степени, например, L1"5, означает, что L умножается на само себя 1,5 раза Данное любопытное утверждение можно на самом деле сделать точнее, и оно имеет большой смысл. Сходным образом мы можем взять степень комплексного числа с действительным показателем степени результат показан на Рис. 79. Позволим нашему воображению идти дальше мы также можем возвести L в степень с комплексным показателем степени. Поскольку, как мы уже сказали, возведение L в какую-то степень соответствует умножению ее на саму себя определенное число раз, здесь мы должны умножить L на саму себя "комплексное число раз". Поскольку комплексные числа являются парами чисел, мы вносим смысл в данное любопытное утверждение путем разложения действия комплексного показателя степени на два преобразования, как в случае с умножением. Сконцентрировавшись на вращательном компоненте умножения комплексных чисел, мы можем догадаться (безошибочно), что комплексный показатель степени L также будет соответствовать вращению. И, наконец, последний этап исследования поскольку мы рассматриваем действительные числа, такие как цены на фондовом рынке, это соответствует видению только проекции на действительной прямой комплексного множества операций. Как мы сказали и показали на Рис. 78, вращение проектируется на прямую как осцилляция. Таким образом, построение Ld, где d является комплексным числом, соответствует проведению осцилляционного умножения, которое оказывается логопериодическими осцилляциями. Powers of z [c.204]
Такие распределения с длинными хвостами, особенно в данных, полученных Парето, привели к тому, что Леви (Levy, 1937), французский математик, сформулировал обобщенную функцию плотности, частными случаями которой были нормальные распределения, так же как и распределения Коши. Леви использовал обобщенную версию Центральной предельной теоремы. Эти распределения соответствуют большому классу естественных явлений, но они не привлекали большого внимания вследствие их необычных и на вид трудно разрешимых проблем. Их необычные свойства продолжают делать их непопулярными однако их другие свойства так близки нашим результатам, полученным на рынках капитала, что мы должны их исследовать. Кроме того, было обнаружено, что устойчивые распределения Леви полезны в описании статистических свойств турбулентного потока и l/f-шума - и к тому же они фрактальны. [c.192]
Обо всем этом написано в книге американского математика-экономиста Эдгара Петерса. Он начинает с анализа неудач и просчетов, обусловленных господствующей в настоящее время линейной парадигмой, и движется от простого к сложному, постепенно включая в сферу своего рассмотрения новейшие математические инструменты —фрактальную геометрию, теорию хаоса, клеточные автоматы, нечеткую логику, нейронные сеаи и др иу, ъхидяш,ие сосланными частями ь новую, нелинейную парадигму. [c.5]
Я решил что в основе своей книга должна остаться неизменной. В изложении теории хаоса и фрактального анализа отдавалось предпочтение скорее интуиции, чем математике. А раз так, содержательная сторона должна была остаться как есть . Тем не менее, я исправил ошибки, указанные читателями. Я также решил оставить неизменным эмпирический ма-терттгит. Таким обрагю . . Хаос и порядок продолжает быть концептуальным введением. Однако я во многих местах расширил текст обсуждениями и ссылками на теорию сложности. Теория сложности представляет собой более широкую область нелинейных исследований. Хаос и фракталы являются разделами более общей теории. [c.11]
Бенуа Мандельброт может быть назван Евклидом фрактальной геометрии. Он собрал наблюдения математиков, которые изучали монстров , т. е. объекты, не определимые на путях евклидовой геометрии. В итоге обобщения этих математических работ и своего собственного озарения он создал 1еиметрию природы, которая преуспела в описаниях асимметричности и невнятных форм. Мандельброт сказал горы не являются конусами, и облака —не сферы . [c.68]
Теперь попытаемся применить к треугольнику Серпинского евклидову геометрию. Он не одномерный, так как не является линией. И не двумерный, как сплошной треугольник, ибо имеет в себе отверстия. Его размерность заключена между единицей и двойкой. Она равна 1.58 — это дробная, или фрактальная, размерность. Фрактальные размерности являются главными идентификационными характеристиками фракталов. Проницательную мысль Мандельброта о том, что фрактальная размерность существует естественным образом, можно сравнить с изобретением числа (0) (нуль) средневековыми восточными математиками, или с изобретением отрицательных чисел раннеиндийскими математиками. Фрактальные размерности — объективная реальность. Прежде не привлекавшие внимания, теперь они углубили и расширили дескриптивную мощь математики. [c.71]
В этой главе мы рассмотрим различие между фрактальным и нормальным выроятностными распределениями. В частности, обобщим математику, лежащую в их основе, и покажем что нормальная форма является частным случаем фрактальных распределений. С точки зрения математического аппарата данная глава, возможно, не покажется интересной для всех читателей. Однако, ввиду того что фрактальные распределения приобретают большое значение в современных рынках капитала, как минимум три последних раздела и заключение главы рекомендуем внимательно изучить. [c.130]
Будучи одним из замечательных достижений, концепция эффективного рынка сыграла и продолжает играть доминирующую роль и в финансовой теории, и в финансовом бизнесе. В этой связи становится ясно, что четкое выявление и сильных, и слабых сторон этой концепции помогает пониманию тех неоклассических концепций (типа "фрактальности" структуры рынка), которые мы находим в математико-экономической литературе, посвященной структурным свойствам и функционированию финансового рынка. [c.80]
Свойства (1) и (2), являющиеся своеобразной формой самоподобия (автомодельности), наблюдаются также и для многих финансовых индексов (с заменой хп на hn). Поэтому неудивительно, что высказанные выше замечания относительно "независимости и устойчивости" величин (хп) или "зависимости и нормальности", нашли широкое применение в финансовой математике, особенно при анализе "фрактальной" структуры "вола-тильности" [c.273]
Работы Г. Харста и отмеченные наблюдения явились отправными для Б. Мандельброта, который предложил как в рассматриваемой им модели Харста, так и во многих других вероятностных моделях, в том числе и в финансовой математике, использовать строго устойчивые процессы ( 1с) и фрактальное броуновское движение ( 2с), обладающие свойствами автомодельности. [c.273]
Нужные нам для дальнейшего определения статистической автомодельности и фрактального броуновского движения будут даны в 2с. Следующий же параграф, не связанный непосредственно с финансовой математикой и навеянный материалами работ [104], [379], [385], [386], [428], [456], призван дать общее представление о концепции автомодельности, играющей, как уже отмечалось, центральную роль во фрактальной геометрии. [c.273]
Математикам хорошо известен другой "классический" пример множества с фрактальной структурой - канторово множество, введенное Г. Кантором (Georg antor 1845-1918) в 1883 году как пример множества особой структуры (совершенное, т. е. замкнутое и без изолированных точек), являющееся нигде не плотным на числовой прямой и имеюшее мощность континуума. Напомним, что это множество есть подмножество от- [c.276]
Фрактальное исчисление в своей основе имеет также такое существенное свойство природных явлений, как дробная размерность, что придало специфику современной научной картине мира. Известный отечественный астроном Ф.А. Ци-цин пишет В последние полтора десятка лет мы с удивлением узнали, что живем в Мире, где нас со всех сторон окружают объекты и системы дробной размерности. Это крайне непривычно. И в жизни, и в науке мы до сих пор встречали, как нам казалось, лишь объекты очень небольшого набора целочисленности, притом невысокой размерности точки (размерность 0), линии (1), поверхности (2), тела (3)... И вот мы в очередной раз узнаем, что говорим прозой , - на этот раз, что живем во Вселенной, на каждом шагу, на всех уровнях масштабов и чуть ли не во всех самых интересных для науки случаях прямо-таки кишащей объектами, структурами, системами дробной размерности [14. С. 11]. Не следует забывать, что дробная размерность, например, у линии, появляется тогда, когда эта линия в пределе почти сплошь заполняет какую-то поверхность - на языке математики это -фрактальная размерность Хаусдорфа-Безиковича, которая всегда является дробной [15. С. 157-159]. Теперь ситуация с научной картиной мира изменилась необратимым образом - аспект фрактальности вошел в нее раз и навсегда, в ее твердое ядро принципов-постулатов, несмотря на любые последующие научные революции. Вполне естественно, что теперь любые научные исследования не могут быть плодотворными, если они не учитывают фрактальный характер Вселенной на всех ее иерархических уровнях вплоть до физического вакуума. [c.145]
Изложенное позволяет понять, почему математики и физики считают, что фрактальная геометрия точнее и изящнее, нежели евклидова геометрия, описывает природные формы. Инвариантность по отношению к масштабу имеет примечательную параллель в современной теории хаоса, согласно которой многие явления, несмотря на то, что они следуют четким детерминистским правилам, в принципе оказываются непредсказуемыми. Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы или ритм сердечных сокращений у человека, проявляют сходные закономерности в вариациях в различных временных масштабах во многом подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, проявляют сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах. Соответствие между фракталами и хаосом не случайно. Скорее оно является симптомом их глубинной связи фрактальная геометрия - это геометрия хаоса [2. С. 36]. Таким образом, фрактал представляет собой нелинейную структуру, сохраняющую самоподобие или самоаффинность при неограниченном изменении масштаба. Ключевым здесь является сохраняющееся свойство нелинейности, причем существенно то, что фрактал способен организовать взаимодействие пространств разной природы и размерности [3. Гл. 2]. Нейронные сети человеческого мозга - это тоже фракталы и взаимодействие человека с окружающей средой, представляющей собой различного рода фракталы (динамические системы), имеющих иную размерность, нежели он сам, позволяет объяснить характер его связи с ними. В плане нашего исследования это означает, что взаимодействие человека и моря достаточно эффективно можно описывать методами нелинейной динамики, которые разработаны во фрактальном исчислении. [c.147]
Смотреть страницы где упоминается термин ФРАКТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
: [c.19] [c.109] [c.25] [c.94] [c.135] [c.270] [c.145] [c.239]Смотреть главы в:
Фрактальный анализ финансовых рынков -> ФРАКТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА