В данном случае распределение бензина обернулось длинными очередями на бензоколонках те, кто был готов пожертвовать временем, получали бензин, тогда как другие сделать этого не могли. Гарантируя каждому получение минимального количества бензина, нормирование может обеспечить для некоторых людей доступность продукта, который они иначе не могли бы иметь. К сожалению, нормирование ударило и по другим, ограничивая количество бензина, которое они могли бы купить. [c.95]
Блок-схема определения убытков в системе дана на рис. 14. Она предусматривает выдачу на печать не только общих экономических показателей по всей системе, но и по отдельным исследуемым технологическим процессам, например убыток только за счет ожидания скважин в очереди, убыток за счет простоя бригад, длину очереди и т., д. [c.67]
Наконец, каждый прибор обслуживает заявку в течение некоторого промежутка времени. Иногда продолжительность этого промежутка является заданной, иногда ее считают случайной величиной с заданным распределением. В некоторых моделях продолжительность обслуживания считают зависящей от длины очереди (кассир в магазине, например, в случае роста очереди начинает работать быстрее), а в некоторых случаях учитывают возможность выхода обслуживающего прибора из строя. [c.202]
Пусть необходимо выбрать один из нескольких вариантов автозаправочной станции, предназначенной для заправки автомобилей бензином определенного сорта. Автомобили прибывают на АЗС случайным образом, и, если не могут сразу приступить к заправке, становятся в очередь. Дисциплина очереди — первым пришел — первым обслуживаешься . На длину очереди ограничений нет — водитель не может направиться к другой станции. Предположим для простоты, что во всех вариантах рассматриваемой АЗС имеется лишь одна бензоколонка вариант от варианта отличается ее мощностью (средней скоростью заправки). Итак, автомобили прибывают на АЗС случайно. [c.204]
Теперь перейдем к анализу работы АЗС. Как мы уже говорили, обычно вызывают интерес такие показатели, как средняя длина очереди, среднее время простоя автомобиля в очереди, среднее время нахождения автомобиля на АЗС, средняя доля времени простоя оборудования АЗС и т. д. При тех предположениях, которые мы сделали здесь о нашей АЗС, ее модель может быть исследована теоретически, т. е. интересующие нас величины могут быть получены из характеристик входящего потока автомобилей и системы обслуживания. [c.206]
Обозначим через Р (п) вероятность того, что в системе (т. е. в очереди и в процессе обслуживания) находится п автомобилей. Последовательность вероятностей (Р (0), Р (1),. .. называется распределением длины очереди. На ее основе можно подсчитать все интересующие нас характеристики системы. Поэтому приложим усилия к определению распределения длины очереди. [c.206]
Рассмотрим малый промежуток времени длины т. Если в начальный момент этого промежутка имелось распределение длины очереди (Р0 (0), Ри (1),. .. , то распределение [c.206]
Теперь вспомним, что мы рассматриваем стационарный режим, т. е. тот случай, когда распределение длины очереди не изменяется со временем [c.207]
Аналогичным образом (читатель может сам легко проверить это) получаем уравнения вероятностей распределения длины очереди при любом п [c.207]
Величину р часто называют нагрузкой системы. Итак, мы получили интересующее нас распределение длины очереди. Найдем некоторые из характеристик нашей системы массового обслуживания. [c.208]
В-третьих, нас может заинтересовать средняя длина очереди. Длина очереди в некоторый момент времени равна нулю, если в системе нет ни одного автомобиля, и равна п — 1 при п автомобилях в системе. Поэтому средняя длина очереди равна [c.209]
Каждый прибор может обслужить одновременно одну или несколько заявок. Например, лифт высотного здания обслуживает сразу несколько человек, а кассир — только одного. Во-вторых, системы массового обслуживания могут быть однофазными и многофазными В первом случае заявка обслуживается только одним прибором после чего покидает систему, например, покупатель билета в театре. Во втором случае заявка должна пройти некоторую последовательность приборов . Например, в сберкассе, прежде чем получить деньги, человек сначала должен быть обслужен контролером и только потом кассиром. В-третьих, каждый прибор обслуживает заявку в течение некоторого промежутка времени. Иногда продолжительность этого промежутка является заданной, иногда ее считают случайной величиной с заданным распределением. В некоторых моделях продолжительность обслуживания считают зависящей от длины очереди (кассир в магазине, например, в случае роста очереди начинает работать быстрее), а в некоторых случаях учитывают возможности выхода обслуживающего- прибора из строя. [c.203]
Рассмотрим один довольно простой объект, который поможет понять основные проблемы, возникающие при исследовании систем массового обслуживания. Пусть необходимо выбрать один из нескольких вариантов автозаправочной станции, предназначенной для заправки автомобилей бензином определенного сорта. Автомобили прибывают на АЗС случайным образом, и если не могут сразу приступить к заправке, то становятся в очередь. Естественно, что дисциплина очереди — первым пришел — первым обслуживаешься . На длину очереди ограничений нет — водитель не может направиться к другой станции. Предположим для простоты, что во всех вариантах рассматриваемой АЗС имеется единственная бензоколонка вариант от варианта отличается лишь ее мощностью (средней скоростью заправки). [c.205]
Рассмотрим малый интервал времени длины т. Если в начальный момент этого интервала имелось распределение длины очереди Р0(0), Р (1),. . . , то распределение длины очереди в конце этого интервала Pt(0), Рт(1),. .. можно рассчитать следующим образом. Вероятность того, что за этот промежуток времени прибудет еще один автомобиль, равна А,т, а вероятность того, что будет закончено обслуживание автомобиля, равна ят. Если в начальный момент не было ни одного автомобиля и ни. одного автомобиля не появилось либо если в системе был один автомобиль и его обслуживание завершилось, то в конце промежутка времени ни одного автомобиля в системе не будет (остальные случаи маловероятны, ими можно пренебречь). Таким образом, [c.207]
Аналогичным образом получаем уравнения вероятностей распределения длины очереди при любом п = 2, 3,. .. [c.207]
Поэтому получаем Р(0) = 1 — р, Р(п) = рп(1 — р), п = 1, 2,. .. Величину р часто называют нагрузкой системы. Итак, интересующее нас распределение длины очереди получено. Найдем некоторые из характеристик системы массового обслуживания. [c.208]
В торговом зале фирмы обслуживанием покупателей занимаются 2 продавца. Обслуживание покупателей длится в среднем 20 с. Интенсивность входящего потока покупателей составляет 5 чел/мин. По мнению руководства фирмы, допустимая длина очереди в процессе обслуживания не должна превышать двух человек. Кроме того, специалистами фирмы была разработана система весовых коэффициентов, отражающая значимость различных издержек, связанных с функционированием СМО. Эти коэффициенты используются для построения функции издержек, которая характеризует критерий качества работы системы. [c.71]
Со склада оптовой торговой фирмы отпускаются товары клиентам. Товары на машины грузят 3 бригады рабочих, каждая из которых состоит из 4 человек. Складская площадка вмещает не более 6 машин, таким образом, длина очереди не превышает трех машин. Если на площадке находится 6 машин, то вновь прибывшая машина не обслуживается. Интенсивность входящего потока требований машин на погрузку составляет 3 машины в час. Интенсивность погрузки машины равна 1,2 машины в час. [c.74]
В универсальном магазине (в отделе самообслуживания) на выходе планируется разместить кассы сканирования для приема от покупателей денег за товары. Интенсивность потока покупателей равна 6 чел. /мин. Интенсивность обслуживания составляет 1,4 чел./мин. Допустимая длина очереди не должна превышать трех человек. [c.77]
Системы обслуживания с ограничением по длине очереди чаще встречаются в практике, чем простейшие системы с неограниченным размером очереди или временем ожидания, пример которой рассмотрен выше. Пропускная способность систем с ограничением длины очереди определяется [c.76]
Во всех этих примерах методы моделирования позволят провести детальный анализ заданной ситуации и сравнить решения по конкретным вопросам. Эти вопросы зачастую связаны с такими переменными, как длина очереди, время ожидания и затраты, а также с тем, как их удержать на самом низком уровне. В большинстве случаев при проведении такого рода анализа необходимо учесть основополагающие сведения по структуре входящего потока, интенсивности входящего потока и времени обслуживания. [c.325]
Интервалы и время обслуживания можно проанализировать как единое целое для определения длины очереди в этом конкретном случае. Далее вы видите еще одну таблицу, в которой даны уже смоделированные интервалы и время прибытия, а также длина очереди по прибытии каждого следующего клиента на станцию. В таблицу заложено условие о том, что одномоментно может быть обслужен только один клиент. То есть мы в данном случае рассматриваем станцию самообслуживания с одной колонкой, или же обычную станцию с одним дежурным. [c.327]
Обратите внимание, что в длину очереди включены все клиенты, ожидающие обслуживания. То есть сюда включен прибывший клиент, но не включен клиент, который в это время обслуживается. [c.327]
Длина очереди, т. е. количество клиентов, ожидающих обслуживания, определяется следующим образом [c.328]
В этой таблице время ожидания рассчитано как разница между временем прибытия и временем начала обслуживания каждого клиента. Из этой модели видно, что положение на этой станции может быстро выйти из-под контроля. По мере анализа модели мы наталкиваемся на два разительных обстоятельства. Во-первых, длина очереди очень быстро увеличивается так, десятый покупатель прибывает, когда в очереди уже ждут обслуживания шесть клиентов. Во-вторых, по этой причине быстро нарастает время ожидания последующих клиентов. Первому покупателю ждать не надо, а 10-му клиенту в этой модели придется ждать 22 минуты, прежде чем его обслужат. Очевидно, что такое [c.328]
По этой модели одномоментно может обслуживаться два клиента. То есть клиенты 1 и 2 прибывают, и их немедленно обслуживают. Когда прибывает клиент 3, то ему надо подождать, пока не закончат обслуживание одного из предыдущих клиентов. Будьте внимательны при определении длины очереди по мере прибытия других клиентов. В частности, помните о том, что в текущий момент обслуживается два клиента, и ни один из них не стоит в очереди. Так, к примеру, клиент 7 прибывает на десятой минуте. В это время обслуживаются два клиента клиент 4 (время начала обслуживания — 8 и время окончания обслуживания — 13) и клиент 5 (время начала обслуживания — 8 и время окончания обслуживания — 11). То есть все клиенты после 5-го находятся в очереди, включая 6-го и 7-го. [c.329]
Среднее время ожидания по одному клиенту и средняя длина очереди для одного клиента являются полезными индикаторами работы при таких обстоятельствах. Так, мы смоделировали две ситуации, когда используется 1 и 2 колонки соответственно, и получили следующие результаты [c.329]
Среднее время ожидания Средняя длина очереди [c.329]
Очевидно, что при наличии второй колонки снижаются время ожидания и длина очереди. Ситуация, когда имеется одна колонка, даже хуже, чем можно предположить, исходя из средних значений, выведенных в этой таблице. По модели видно, что время ожидания и длина очереди все время увеличивается. То есть если построить модель на более продолжительный отрезок времени, [c.329]
Помимо анализа таких переменных, как длина очереди и время ожидания, совершенно очевидно, что необходимо проанализировать возможные доходы и расходы. В предыдущих моделях мы установили, что при увеличении числа точек обслуживания (в нашем случае — колонок) растет число клиентов, которых можно обслужить, и, следовательно, растет возможный доход. Однако существует предел количества точек обслуживания, которые можно организовать. За определенным уровнем расходы по организации новых точек обслуживания не оправданы с точки зрения возможного увеличения доходов. Проанализируем предыдущую модель, но с учетом уже следующей дополнительной информации. Бензин отпускается дежурными по бензозаправочной станции. Каждый дежурный получает 5 ф. ст. в час. В среднем один клиент приносит 2 ф. ст. Далее, рассмотрим еще одно дополнительное условие, связанное с прибытием клиентов на станцию если длина очереди составляет 2 клиента или более, то любой прибывающий уезжает, не дожидаясь обслуживания. Это пример более реальной ситуации, потому что на практике клиенты не любят ждать неопределенное время в ожидании обслуживания. В приведенной таблице дана новая модель с условием работы двух дежурных [c.330]
В этой модели длина очереди не должна превышать 2-х клиентов. Иначе говоря, если в очереди уже 2 клиента, то следующий прибывающий клиент уезжает, не дожидаясь обслуживания. Следовательно, приемлемо, если прибывающий клиент становится вторым в очереди. Так, по нашей таблице видно, что клиент 5 становится вторым в очереди, и, аналогично, клиенты 7 и 8 оба прибывают, когда в очереди 1 клиент, то есть клиент 9 стал бы третьим в очереди. В данной модели такая ситуация неприемлема, и по условиям этот клиент уезжает, не дожидаясь обслуживания. В таблице это отмечено знаком в колонке длины очереди. По остальным позициям в этом ряду проставлены пропуски, так как отсутствуют переменные для анализа. [c.330]
Клиент Время между звонками Длина поступления Длина очереди Время обслуживания Время ожидания Время начала обслуживания Время окончания обслуживания [c.332]
Анализ функционирования СМО. Рассмотрим наиболее общий случай СМО, когда п - канальная система работает в режиме с ожиданием обслуживания и с ограничением на длину очереди (в очереди не может быть более т требований). Предполагается, что входящий поток требований описывается пуассо-новским законом распределения с интенсивностью X, а время обслуживания требований распределено по показательному закону с интенсивностью ц. [c.67]
В случае, когда т -> оо, получим модель СМО с ожиданием без ограничений на длину очереди. Подставляя вместо т знак оо, получим нужные формулы для вычисления вероятностных характеристик и показателей эффективности данной модели СМО. Очевидно, что для СМО с неограниченным ожиданием в очереди вероятность обслуживания Р = 1, а вероятность Ротк = 0. [c.70]
Смотреть страницы где упоминается термин Длина очереди
: [c.65] [c.67] [c.69] [c.204] [c.207] [c.241] [c.247] [c.278] [c.205] [c.75] [c.328] [c.330]Математические методы моделирования экономических систем Изд2 (2006) -- [ c.85 ]