Определение производной и дифференциала. Неопределенность дифференцируемой функции. [c.14]
Пусть S С Rn. Функция / S — > Rm дифференцируема во внутренней точке с G тогда и только тогда, когда каждая компонента / дифференцируема в точке с. При этом г-я компонента дифференциала d/( u) есть dfi( -u)(i = 1,.. . , m). [c.120]
Пусть функция / S —> Rm, S С Rn дифференцируема в точке с G 5, и ее дифференциал равен d/( и) = Л (с) и. Предположим, что существует другая матрица Л (с), такая что d/( u) = А (с) и. Тогда Л (с) = Л (с). [c.121]
Если F дифференцируема в С и G дифференцируема в В = F( ), то дифференциал сложной функции Н = G о F равен [c.136]
Пусть / S —> Rm есть функция, заданная на множестве S в Rn, а с есть внутренняя точка S. Если каждая частная производная первого порядка непрерывна в некотором n-мерном шаре В (с), а каждая частная производная второго порядка существует в В (с) и непрерывна в с, то / дважды дифференцируема в с и существует второй дифференциал / в с. [c.145]
Будем искать матрицу Якоби функции не путем вычисления каждой частной производной, а с помощью определения дифференциала. Для дифференцируемой векторной функции /(ж), согласно первой теореме об идентификации (теорема 5.6),существует взаимно-однозначное соответствие между дифференциалом функции of / и ее матрицей Якоби. А именно из равенства [c.228]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Геометрический смысл дифференциала. Пусть у = Дх) - дифференцируемая в точке х0 функция, график которой изображен на рис. 3.4а, МйТ- касательная к графику функции у = Дх) в точке Af0 с абсциссой Хд. Рассмотрим ординату этой касательной, соответствующую абсциссе х + Дх. Из прямоугольного треугольника ДАО/Т находим NT= A Mga, но M0N= Дх и tga = /(х.). Поэтому NT = /(х0)Дх = df xj. Таким образом, дифференциал функции у = Дх) в точке х0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке (х0 Дх0)), соответствующему приращению ее абсциссы х0 на Дх. Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости (см. рис. 3.46). [c.55]
Если матричная функция F S -> Rmxm(ra 2), S С Rnx<7 (непрерывно) дифференцируема k раз в точке XQ 5, причем F(XQ) — не вырождена, то матрица F S — > Rmxm также /с раз (непрерывно) дифференцируема в XQ и ее дифференциал в этой точке равен [c.206]
Доказательство. Тот факт, что функции А и и существуют и бесконечное число раз дифференцируемы (т.е. аналитичны) в окрестности ZQ, доказывается точно так же, как в теореме 7, с помощью комплексных аналогов теорем 3.3 и 3.4 вместо теоремы 3.5. Чтобы найти дифференциал dA, продифференцируем обе части выражения Zu = Xu и получим [c.213]
Пусть ф дважды дифференцируемая вещественная функция от матрицы X размера п х q. Тогда для дифференциала второго порядка и матрицы Гессе функции ф в точке X выполняются следующие два соотношения [c.249]
Теперь рассмотрим связь ПФ Кобба-Дугласа в объемной и темповой записи. Пусть величины Кн L являются непрерывными дифференцируемыми функциями времени (К, и L). В таком случае они представляют не объемы использованных ресурсов за определенный период времени, а "интенсивности" их использования в каждый момент времени. От функции Y=AKfLf можно после ее логарифмирования взять полный дифференциал [c.171]
Смотреть страницы где упоминается термин Дифференцируемость И дифференциал функции
: [c.200] [c.235]Смотреть главы в:
Справочник по математике для экономистов -> Дифференцируемость И дифференциал функции