Покажите, что если полные транзитивные и непрерывные предпочтения заданы на компактном множестве X, то эти предпочтения не могут обладать свойством локальной ненасыщаемости. [c.50]
Как известно ), для слабой непрерывности функционала Q(V ) достаточно компактности градиента Q в шаре Яп г. (Напомним, что-оператор, действующий из X в Y, называется компактным на множестве GaX, если он преобразует всякое ограниченное множество из G в компактное множество пространства Y.) [c.220]
Пусть А с Ж" — непустое, компактное и выпуклое множество и функция/ А —> А непрерывна на А. Тогда существует точка х е А [c.695]
Так как все эти множества не пусты, выпуклы и компактны, а отображение F(x) = F(x) — F(x) непрерывно на них, то по теореме 1.1 разрешимы задачи VI(Sk,F), т. е. существуют xk e Sk такие, что [c.41]
Рассмотрим вероятностное пространство (Q, 2, р). Пусть и наделено структурой компактного метрического пространства и вероятностная мера р непрерывна и регулярна относительно топологии Q. Непрерывность меры р означает, что каждое измеримое множество содержит подмножество половинной меры. При некоторых оговорках, не влияющих на последующее изложение, приведенное определение эквивалентно тому, что мера точки равна нулю. Регулярность меры р означает, что для любого FeS и Е>0 существует открытое множество Fe, содержащее F, такое, что р (Ft F)
Понятие непрерывности функционала (функционал непрерывен в точке MO, если для любой последовательности и , сходящейся к м0, /( ) -> /(м0))> так же как и указанное свойство множества Jit (его называют компактностью), связано с тем, как введено понятие сходимости, или, что то же, как задана топология на М. [c.80]
Стратегии каждого игрока — это сообщаемые им оценки фг(-)- В случае, когда множество возможных вариантов производства общественного блага не является конечным, множества возможных стратегий Фг должны удовлетворять ограничениям, гарантирующим существование максимума суммы оценок, фигурирующих в описании механизма Гровса — Кларка. Например, в ситуации, когда х е М+, достаточно потребовать, чтобы эти оценки были непрерывными функциями, которые могут принимать положительное значение лишь на компактном множестве [О, М], причем фг(0) = 0 /г. [c.435]
Идея доказательства состоит в том, чтобы выделить множество возможных монопольных выпусков, показать его ограниченность (при данных предположениях относительно функций спроса и издержек), а затем использовать теорему Вейерштрасса о существовании экстремумов непрерывной функции на компактном множестве. Другими словами, мы доказываем, что при естественных условиях относительно функций издержек и спроса задача максимизации прибыли монополиста на у > 0, эквивалентна задаче максимизации на некотором отрезке действительной прямой (в том смысле, что множества решений этих двух задач совпадают). А для этого достаточно доказать, что прибыль вне этого отрезка ниже, чем в какой-либо точке, принадлежащей этому отрезку. [c.476]
Из предположений теоремы следует, что функция прибыли П(у) непрерывна. Непрерывная функция прибыли по теореме Вейерштрасса должна достигать максимума на компактном множестве [0, у], откуда следует существование точки у", которая максимизирует [c.476]
Поскольку Y — компактное множество, а прибыль ру непрерывна по у, то по теореме Вейерштрасса решение Задачи 3 на множестве Y всегда существует. [c.127]
Способы доказательства существования равновесия основаны на демонстрации того факта, что некоторое, подходящим образом построенное, отображение имеет неподвижную точку, соответствующую состоянию равновесия, что, в свою очередь, опирается на варианты теоремы Брауэра о существовании неподвижной точки непрерывного отображения некоторого компактного множества (обычно, множества цен) в себя, или на ее непосредственное обобщение — теорему Какутани о неподвижной точке точечно-множественного выпуклозначного отображения компактного множества в себя. [c.165]
Теорема Брауэра. Пусть V — непустое- компактное выпуклое множество пространства R", a f Rn= R" — оото-бражение пространства R". Если отображение f непрерывно на множестве V и f (M) g V длмч. всех М V, то в множестве V существует неподвижная точка этого отображения. [c.85]
Основной результат о существовании решений вариационного неравенства VI(X, F) требует компактности и выпуклости множества X и непрерывности отображения F. Ряд следствий может быть получен из него путем замены требования компактности X на дополнительные условия относительно F. Сам результат получается применением к непрерывному Я-отображению из (1.12) теоремы Брауэра о неподвижной точке. Он формулируется следующим образом. [c.36]
Теорема 2.7. Пусть X — непустое выпуклое замкнутое подмножество Rn и F — непрерывное отображение X в Rn. Предположим, что F псевдомонотонно на X и существует вектор х е X такой, что F(x) e int (X ), где int ( ) означает внутренность множества. Тогда задача VI(X,F) имеет непустое компактное выпуклое множество решений. [c.38]