Однако для частных классов задач метод проекции градиента был предложен намного раньше. Эти частные классы выделяются тем, что задача проектирования, аналогичная задаче (11) — (13), оказывается более простой и решается привычными вычислительными методами. Можно выделить два класса таких задач. [c.146]
Итерационный метод работы с неравенствами, как с равенствами, был предложен в [51]. Суть дела поясним на самом простом примере. Пусть в задаче есть одно условие-неравенство 9 1и (t)] < 0. Тогда процесс построения вариации 8ц (t) начинается с того, что все неравенства игнорируются и проекция градиента вычисляется классическими методами. Найденная вариация 8ц (t) может привести к нарушению условия 9 0- Пусть на некотором интервале Ult tz] окажется 9 I" ( )+ ц (t)] > 0. Тогда на этом интервале условие 9 0 заменяется условием-равенством 9 [и ( )]=0, и находится новая вариация 8ц (t) в задаче, поставленной только в терминах равенств, снова проверяется условие 9 0 и т. д. Однако этот эрзац операции проектирования теоретически несостоятелен в простых ситуациях он может привести к 8u (i)=0, хотя варьируется траектория очевидным образом неоптимальная, и правильное проектирование градиента привело бы, конечно, к 8ц ( ) 0. [c.162]
Разумеется, и здесь можно применить метод проекции градиента, но мы считаем (и это соответствует положению дел в прикладных задачах такого сорта), что проектирование на множество X, определяемое системой нелинейных уравнений / (z)=0, i=l, 2,.. . . . ., т, является слишком сложной операцией. Алгоритм поиска условного минимума состоит в том, что для каждой точки х нужно уметь строить улучшающую вариацию аргумента ох. При этом приходится иметь в виду не только понижение f (х), но и восстановление условий / (ж)=0, если они оказываются нарушенными. Итак, пусть есть некоторая точка xk, причем условия / (xk)=0 могут и не выполняться. Считая искомую вариацию Ьх малой и ограниченной условием Ьх S, где S — шаг процесса, поставим следующую естественную задачу для определения Ьх [c.400]
В основу дальнейшего будет положен первый способ, хотя некоторые алгоритмы (они будут описаны) основаны на втором. Выше мы убедились, что проектирование на Q практически осуществить не удается. Однако можно построить алгоритм, основанный на проектировании не на Q, а на некоторое многообразие, которое условно можно считать касательным к и в точке и. Речь идет о следующем линеаризуем задачу в окрестности данной точки и и построим метод проекции градиента для линеаризованной задачи. Пусть wt (t) — функциональные производные входящих в задачу функционалов Ff [и ( )], z=0, 1,.. ., т. Будем искать вариацию управления Ьи ( ), решая вариационную задачу найти [c.142]
Паллиативы (метод проекции градиента в общем случае). Выше было показано, что проектирование градиента осуществляется достаточно просто (правда, в линеаризованной постановке, приводящей к проектированию на линейное подпространство) в двух случаях либо при отсутствии дополнительных условий (F(=ff), либо при отсутствии геометрического ограничения на значения и (t) (u( U). Однако большая часть прикладных задач оптимального управления содержит оба сорта условий, а в этом случае проектирование выполняется решением задачи квадратического программирования. К сожалению, идеи и алгоритмы, относящиеся к линейному и нелинейному программированию, мало известны среди специалистов по прикладной механике, которые особенно часто сталкиваются с необходимостью решения задач оптимального управления достаточно общего вида. Именно в этой среде были созданы многочисленные приемы, имеющие целью сформулировать общую задачу как задачу классического типа, либо как простейшую неклассическую задачу. Мы рассмотрим наиболее типичные из этих приемов. Их следует отнести к разряду паллиативов, так как они не снимают трудностей численного решения, а лишь отодвигают их, так сказать, в глубь проблемы. Создание алгоритма приближенного решения задачи оптимального управления можно условно разбить на два этапа [c.160]
Формально метод штрафных функций решает все проблемы, однако при практической его реализации встретились серьезные трудности медленная сходимость, ненадежность и грубость результатов. Причины этих неприятностей были поняты, и сторонники метода сосредоточили свои усилия на решении соответствующих вопросов вычислительной технологии разработке надежных и эффективных методов поиска минимума для очень сложных, негладких, с оврагами и хребтами функций, методам подбора коэффициентов штрафа и тактике их изменения в процессе решения задачи. Эта работа продолжается, и в настоящее время ее перспективы еще не ясны. Идея метода штрафных функций имеет своих сторонников, которые надеются преодолеть технические сложности минимизации штрафного функционала. Одновременно начало развиваться и другое направление, в котором либо совсем не используют штрафных функций, либо стараются учесть методом штрафа как можно меньше условий. Разумеется, это потребовало определенного сужения класса задач. Легко были построены алгоритмы для задач, в которых имеется только ограничение и (t) U, а интегральных дополнительных условий (в частности, условий на х (Т)) нет. В этом случае после вычисления градиента w0 (t) образуется семейство и (s, t)=Pu [и (t) — Su>0 (t)], где Ри — оператор проектирования на U (в конечномерном пространстве). Далее S находится так же, как в простейшей задаче. Такие (или, в сущности, очень близкие) алгоритмы были предложены (под разными названиями) многими и применялись в расчетах (см., например, [43], [44]). [c.111]