Математическим ожиданием случайного вектора ж = (Xi,...,XnY называется вектор в пространстве Rn, составленный из математических ожиданий компонент Х . Ех = (EXi,. . . , ЕХП). В многомерном случае свойство ЕЗ) выглядит следующим образом. Пусть вектор х имеет плотность р(х) и пусть g Rn — > Rm — некоторая вектор-функция. Тогда [c.514]
При проведении практических расчетов удобно использовать некоторые свойства среднего значения. Например, если случайную величину умножить на константу, то и математическое ожидание умножится на ту же константу. Если сложить две случайные величины, то их среднее значение также сложится. В частности, если к случайной величине добавить константу, то и среднее значение увеличится на эту же константу. Если необходимо определить среднее значение произведения двух независимых случайных величин, то нужно перемножить их математические ожидания и т.д. [c.263]
Изучая уравнение линейной регрессии мы предполагали, что реальная взаимосвязь фактора X и отклика 7 линейна, а отклонения от прямой регрессии случайны, независимы между собой, имеют нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию. Если это не так, то статистический анализ параметров регрессии некорректен и оценки этих параметров не обладают свойствами несмещенности и состоятельности. Например, это может быть, если в действительности связь между переменными нелинейна. Поэтому после получения уравнения регрессии необходимо исследовать его ошибки. [c.122]
Здесь и далее мы используем свойство математического ожидания, состоящее в том, что для любой случайной величины X и любых чисел а и Ь выполняется равенство М[а + ЬХ] - а + ЬМ[Х]. [c.650]
Заметим, что в общем случае три указанные характеристики распределения не совпадают. Как известно, математическое ожидание учитывает все значения случайной величины вместе с вероятностями этих значений. В этом смысле математическое ожидание перспективных значений доходности ценных бумаг может служить хорошей информацией для управления портфелем. Это обусловлено тем, что значение математического ожидания доходности всего портфеля непосредственно связано со значениями математических ожиданий доходностей каждой из ценных бумаг в портфеле (так называемое аддитивное свойство математического ожидания). В то же время необходимо постоянно помнить, что математическое ожидание может оказаться весьма неустойчивой характеристикой доходности портфеля. [c.247]
Оценивая линейное уравнение регрессии, мы предполагаем, что реальная взаимосвязь переменных линейна, а отклонения от регрессионной прямой являются случайными, независимыми друг от друга величинами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Если эти предположения не выполняются, то оценки коэффициентов регрессии не обладают свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности, и анализ их значимости будет неточным. [c.164]
Эти свойства вытекают из определения математического ожидания. Если Хн Y- случайные величины, то можно определить новые [c.261]
Условное математическое ожидание при каждом у удовлетворяет тем же условиям Е1)-ЕЗ), что и обычное математическое ожидание. В прикладных областях теории вероятностей h(y) называют функцией регрессии х на у. Если у h(y) в качестве аргумента взять случайный вектор у, то получим случайный вектор h(y), называемый условным математическим ожиданием х при условии у и обозначаемый Е(х у). Перечислим его основные свойства. [c.517]
Условное математическое ожидание обладает оптимизационным свойством, аналогичным свойству обычного математического ожидания Е4). А именно, пусть X — скалярная случайная величина, у — тг-мерный случайный вектор и / Rn — > Rl — произвольная функция. Рассмотрим среднеквадратичное отклонение Е(Х — /(у))2 и поставим задачу нахождения функции /, минимизирующей это отклонение. С помощью простых выкладок, используя свойства СЕ1), СЕ2), получаем следующий результат. [c.517]
Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Моменты. Дисперсия. Коэффициент корреляции и его свойства. [c.30]
Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не изменяются при изменении начала отсчета времени. В частности, при т = 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда xt следует, что закон распределения вероятностей случайной величины Xt не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики (если, конечно, они существуют), в том числе математическое ожидание Е (Xt) = // и дисперсия D(Xt)= a. [c.13]
Как отмечалось ранее, существенную роль для получения качественных оценок имеет выполнимость определенных предпосылок МНК для случайных отклонений. Наиболее важные из них требуют, чтобы отклонения Si являлись нормально распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией а2, а также не коррелировали друг с другом (si N(0, a2), ov( Si, Sj) = 0 при i Ф j). При невыполнимости указанных предпосылок оценки, полученные по МНК, не будут обладать свойствами BLUE-оценок, и проводимые для них тесты окажутся ненадежными. [c.188]
Поскольку линейное пространство X состоит из случайных величин X, то на нем определена функция Е(Х) — математическое ожидание выплаты X. Можно показать, что функция ЕрГУ) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения в X. [c.461]
Корреляционная теория случайных процессов[26] позволяет описывать статистические свойства процессов с помощью момент-ных характеристик, главными из которых (применительно к скалярным случайным процессам) являются начальный момент 1-го порядка - математическое ожидание, центральный момент 2-го порядка - дисперсия, автоковариационная функция случайного процесса и взаимно-ковариационная функция между различными скалярными процессами. В случае гауссовского закона распределения случайного процесса указанные моментные характеристики полностью определяют его вероятностные свойства. Важность корреляционной теории состоит также в том, что все случайные процессы с той или иной степенью точности могут быть аппроксимированы через гауссовские процессы[4,14] и, следовательно, выводы корреляционной теории будут справедливы для люб,ых случайных процессов. [c.167]