Определение 4. Случайная величина X называется безгранично делимой, а ее распределение вероятностей - безгранично делимым, если для любого п 1 можно найти такие независимые одинаково распределенные случайные величины Хп , . . . , Хпп, что X = Xni Ч ---- + Хпп. [c.237]
Содержательный смысл класса безгранично делимых распределений состоит в том, что они и только они могут выступать в качестве предельных [c.237]
Отметим, что к классу безгранично делимых относятся гиперболическое и гауссовское обратно-гауссовское распределения, рассматриваемые далее в Id.) [c.238]
Пусть Р = P(dx) - распределение вероятностей безгранично делимого случайного вектора X е Rd и [c.238]
Класс безгранично делимых распределений значительно шире, и к нему относятся (помимо названных) следующие распределения, хотя установить это бывает и не просто [c.241]
Подчеркнем, что при каждом t распределение величины Zt = B есть смесь гауссовских распределений. По-другому можно сказать, что распределение величин Zt является условно-гауссовским. Эти распределения уже рассматривались выше (см. ld, 3a в гл. II). Далее, в ld, будут рассмотрены другие модели, основанные на "гиперболических" распределениях, которые также являются условно-гауссовскими и относятся к классу безгранично делимых распределений, не будучи устойчивыми. Все это говорит о том, что поиски "правильного" описания эволюции цен финансовых индексов идут, в некотором смысле, в направлении обращения к условно-гауссовским распределениям и процессам. [c.260]
Следует отметить, что эти распределения являются смесью гауссов-ских. Поэтому они естественным образом относятся к классу моделей, основанных на смесях гауссовских распределений, на идеях использования условно-гауссовских распределений. Эти распределения являются и безгранично делимыми, образуя, тем самым, довольно-таки широкий подкласс класса безгранично делимых распределений. С точки зрения поведения "хвостов" эти распределения занимают как бы промежуточное положение между устойчивыми распределениями с индексом а < 2 и гауссовскими распределениями (а = 2) их "хвосты" убывают быстрее, нежели для устойчивых распределений (а < 2), но медленнее, нежели для гауссовских. [c.262]
Важно отметить, что оба распределения, GIG- и гиперболическое, являются безгранично делимыми. Для GIG-распределения это видно непосредственно из (18), а для гиперболического это отмечено в работах [21]-[23], [25], [26] Из (18) находим также простые выражения для среднего ЕУ и дисперсии DY [c.267]
Золотарев В. М. Распределение суперпозиции безгранично делимых процессов // Теория вероятностей и ее применения. 1958. Т. 3. №2. С. 197-200. [c.480]
Почему теперь мы называем эти распределения не только устойчивыми, как называл их Леви, но еще и фрактальными Масштабный параметр с является ответом. Если характеристический показатель а и параметр асимметрии (3 остаются теми же самыми, изменение с просто приводит к изменению масштаба распределения. После внесения поправки на масштаб вероятности остаются одинаковыми во всех масштабах с равными значениями а и р. Таким образом, а и Р не зависят от масштаба, хотя с и 8 от него зависят. Это свойство делает устойчивые распределения самоподобными при изменениях в масштабе. Как только мы вносим поправку на масштабный параметр с, вероятности остаются теми же самыми. Ряды - и, следовательно, распределения - безгранично делимы. Эта самоподобная статистическая структура является причиной, по которой мы теперь говорим об устойчивых распределениях Леви как о фрактальных распределениях. Характеристический показатель а, который может принимать дробные значения между 1 и 2, является фрактальной размерностью пространства вероятностей. Подобно всем фрактальным размерностям, она представляет собой масштабное свойство процесса. [c.200]
Самоподобие фрактальные распределения безгранично делимы. При изменении масштаба времени а остается той же самой. [c.207]
Перейдем теперь к более общему классу так называемых "безгранично делимых" распределений, который включает в себяи "устойчивые" распределения. [c.237]
Но многие известные распределения не являются безгранично делимыми биномиальное, равномерное, всякое невырожденное распределение с конечным носителем, распределения с плотностью f(x) вида /(х) = Се-1х1в,гдеа>2. [c.241]
Процессы Леви X = (Xt)t o являются процессами с однородными независимыми прирашениями, и поэтому их распределения полностью определяются одномерными распределениями Pt(dx) = P(Xt dx). (Напомним, что XQ =0.) Из самого определения этих процессов вытекает, что распределение Pt(dx) является при каждом t безгранично делимым. [c.246]
В связи с "явными" представлениями (10), (14) и (17) некоторых (скачкообразных) процессов Леви мы получаем способ их моделирования, основанный на моделировании лишь случайных величин ,-, /3k и экспоненциально распределенных величин Ai = т — Ti- (промежутков между двумя скачками в моменты TJ I и т процесса Пуассона). В свою очередь, при моделировании безгранично- делимых случайных величин важное значение приобретает вопрос об их представимости в виде функций от "простых" "стандартных" случайных величин. Вот пример, иллюстрирующий возникающие здесь возможности пусть X и У - две независимые случайные величины, причем X 0 (и произвольна), а У имеет экспоненциальное распределение. Тогда, как показал Ч. Голди ( h. Goldie), произведение XY является безгранично делимой случайной величиной. [c.251]
Коль скоро гипербо лическое распределение является безгранично делимым, то можно определить процесс Леви, т. е. процесс с однородными независимыми приращениями, у которого распределения приращений являются гиперболическими. [c.268]