Непрерывно дифференцируемая функция 92, 286 [c.476]
В том случае, когда задача (8.23), (8.24) выпуклая, ее решение единственно. Для непрерывно дифференцируемых функций g2(pn) и 9ik(p k] это решение удовлетворяет условиям [c.290]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [c.122]
Введем дважды непрерывно дифференцируемую функцию u(x) Q f-мерного вектора аргумента х и функции v(x) к wn(x), определенные равенствами [c.356]
Если /( .....хп) и g(x1,...,xa) —непрерывно дифференцируемые функции всех своих аргументов, то решение задачи [c.590]
Заметим, что если TR и ТС — непрерывно дифференцируемые функции объема производства, то равенство (1) является лишь необходимым условием максимума прибыли. Если при некотором объеме [c.611]
Заметим, что, если зависимость общей выручки TR от объема выпуска Q для данной фирмы может быть представлена в виде непрерывной дифференцируемой функции TR- f (Q), то предельная выручка есть не что иное, как первая производная этой функции [c.68]
Заметим, что если TR и ТС — непрерывно дифференцируемые функции объема производства, то равенство (1) является лишь необходимым условием максимума прибыли. Если при некотором объеме имеет место неравенство MR > МС, то небольшое увеличение объема выпуска позволит получить дополнительную выручку, превышающую дополнительные затраты, и прибыль фирмы возрастет. При MR < МС ситуация будет противоположной Поэтому значение Qo объема выпуска соответствует максимуму прибыли, если в окрестности QQ при Q < QQ имеет место неравенство MR > МС, а при Q > Q0 оказывается, что MR < МС. Именно это побудит фирму увеличить выпуск, если объем меньше QQ, и уменьшить, если больше. На рис. 1 равенство (1) выполняется в трех точках при этом Q0 и Qi соответствуют локальным максимумам, Q — локальному минимуму прибыли. Вследствие различных особенностей формирования спроса на продукцию фирмы форма кривой MR, как мы увидим, может быть довольно причудливой и может допускать пересечения любых типов с кривой МС. [c.231]
Для новой техники в каждой отрасли, выпускающей один продукт /(/ = 1,2,...,/), установлена непрерывно дифференцируемая функция удельной себестоимости Q от удельных капитальных вложений k . вида i(k .), отвечающая следующим условиям первая производная с( (А с.)<0, вторая производная j(k .) >0. Эти условия означают, что с ростом удельных капитальных вложений в создание новой техники происходит снижение удельной себестоимости, но темп этого снижения постоянно убывает. [c.6]
Для новой техники в каждой отрасли, выпускающей один продукт i (i = 1, 2,. .., / ), установлена непрерывно дифференцируемая функция удельной себестоимости от удельных капитальных вложений в создание новой техники j(k i)- [c.9]
На основе такого ранжирования в каждой отрасли, выпускающей один продукт i, построена непрерывно дифференцируемая функция текущих издержек годового выпуска продукции на ранее созданной технике Я,- от объема этого выпуска Мц. вида и (Мц.). Для этой функции первая производная С/,-(Д/ .) > О, т. е. годовые текущие издержки растут с ростом объема производства на ранее созданной технике. Вторая производная [/ /(My.) >0, т. е. прирост годовых текущих издержек для каждой последующей единицы продукции выше, чем для предыдущей. [c.10]
На основе такого ранжирования в каждой отрасли, выпускающей один продукт /, построим непрерывно дифференцируемую функцию СПР годового выпуска продукции на ремонтируемой технике / ,- от объема этого выпуска MR. вида R (MR.). Для этой функции первая производная Rj(MR.)>0, т. е. годовая СПР растет с ростом объема производства продукции на ремонтируемой технике вторая производная R j(MR.) >0, т. е. прирост годовой СПР для каждой последующей единицы продукта выше, чем для предыдущей. [c.15]
Аналогично для сферы производства каждого продукта i строится непрерывно дифференцируемая функция объема затрат на капитальный ремонт ранее созданной техники KR. от объема выпуска продукции на ремонтируемой технике KR.(MR). Для этой функции по принятым условиям первая и вторая производные больше нуля, т. е. объем капитальных затрат на ремонт техники растет с увеличением объема выпуска продукции на ремонтируемой технике и прирост этих затрат для каждой последующей единицы продукта выше, чем для предыдущей. [c.15]
Принцип открытого управления (сокращенно ОУ). Примем в условиях согласования (5.7.5) функции предпочтения элементов в виде Чгг (яг, st) — фг (q, я", st), i ЕЕ / В силу непрерывной дифференцируемости функций ф,- (д, я , st) условия согласования могут быть представлены как [c.248]
Пусть V = V(x) - действительная дважды непрерывно дифференцируемая фуНКЦИЯ X = (х, . . . , Xd) И [c.319]
Лемма 2. Для того чтобы дважды непрерывно дифференцируемая функция была выпукла в некоторой выпуклой области, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке х этой области была неотрицательна квадратичная форма [c.94]
В двойственной задаче энергией поля р естественно считать величину Е (р). Энергетическое пространство в двойственной задаче получается пополнением пространства всех непрерывно дифференцируемых функций [c.109]
Пусть (Pk(xk) - вогнутые, непрерывно дифференцируемые функции xk. В этом случае условие максимума (3.1.1) можно записать в виде [c.44]
Теорема 3.1. Пусть (pk(xk, r ) = rk(p(xk/rk), где ф - выпуклые, непрерывно дифференцируемые функции, причем ф/ = 0. При гипотезе слабого влияния и механизм стимулирования и механизм компенсации требуют одинакового объема централизованных средств. [c.48]
В случае двух товаров покажите, что дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности аддитивно-сепарабельна (имеет вид и(х)= щ(х ) + м2(ж2)) тогда и только тогда, когда [c.51]
Применим теперь эту теорему к рассматриваемой нами задаче потребителя в случае, когда X = R+. Рассмотрим вначале несколько вариантов условий на предпочтения, гарантирующих то, что условия Куна-Таккера определяют решение задачи потребителя. Одним из наиболее простых вариантов состоит в том, чтобы предположить условие 3, то есть неравенство градиента нулю и дважды непрерывную дифференцируемость функции полезности. Но мы рассмотрим также другой комплекс условий, который будет востребован нами в дальнейших рассуждениях. [c.62]
Пусть х(р, R) - решение задачи потребителя. Предположим, также что х(р, R) - непрерывно дифференцируемая функция по ценам и доходу, тогда выполнены следующие свойства [c.87]
АППРОКСИМАЦИЯ [approximation] — "замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным"5 (в частности, приближенное выражение сложной функции с помощью более простых). Напр., при кусочно-линейной А. непрерывная дифференцируемая функция может быть заменена на функцию, состоящую из нескольких линейных участков (см. Кусочно-линейная функция). [c.23]
В силу условия (1.108) имеет место у Nls > 0. Вследствие непрерывной дифференцируемости функции в окрестности ys = 0 существует 54 = onst > 0 такая малая, что [c.76]
Сформулируем задачу так при заданном лимите капитальных вложений в создание новой техники К минимизировать предстоящие текущие затраты производства годового выпуска продукции при установленных по каждому продукту /(/ = 1, 2,. .., /) объемах производства Р и наличии для выпуска любого продукта нескольких регионов п(п= 1, 2,. .., N), ъ каждом из которых объем выпуска продукта / на новой in и ранее созданной технике U(n не больше заданного ограничения М/- . При этом в каждом регионе п для любого продукта i заданы непрерывно дифференцируемые функции себестоимости производства единицы продукта на новой технике от удельных капитальных вложений в создание этой техники jn (k . ) и текущих издержек годового выпуска продукта на ранее созданной технике от объема этого выпуска Uin(Muin). [c.23]
Пусть в замкнутбй области V определены непрерывные дифференцируемые функции О (/= 1, 2, 3). Тогда имеет место равенство (формула Гаусса — Остроградского) [c.59]
Полагая xk=x -x, xk =x, из (3.18) получим (3.13). Преобразование Лежандра. Возьмем в Rn дважды непрерывно дифференцируемую функцию /(х) и рассмотрим систему нелинейных уравнений [c.95]
Теперь рассмотрим связь ПФ Кобба-Дугласа в объемной и темповой записи. Пусть величины Кн L являются непрерывными дифференцируемыми функциями времени (К, и L). В таком случае они представляют не объемы использованных ресурсов за определенный период времени, а "интенсивности" их использования в каждый момент времени. От функции Y=AKfLf можно после ее логарифмирования взять полный дифференциал [c.171]
Пусть V и х - непрерывно дифференцируемые функции q и b, Y - выпуклый конус. Тогда если q и Ь - оптимальное решение задачи максимизации общественного благосостояния с учетом спросовых ограничений, то существуют ненулевой вектор теневых цен s и скаляр 1 такие, что х максимизирует s Y, Vq(q, b )
Напомним, что функция и(.) — вогнута, если и(ах+(1-а)у) аи(х) +(1- а) и(у) V (Ка<1. Классический результат математического анализа говорит, что дважды непрерывно дифференцируемая функция и(. вогнута тогда и только тогда, когда ее матрица вторых производных (матрица Гессе) Н отрицательно полуопределена на внутренности ее области определения, т.е. z Hz Q fz. (См. например, Рокафеллар, Р., Выпуклый Анализ, Москва, Мир, 1973, Гл. 1, 4) [c.42]
Отметим также, что дважды непрерывно дифференцируемая функция и X— М квазивогнута тогда и только тогда, когда ее матрица Н вторых производных отрицательно полуопределена на Vu(x)z = 0, где х принадлежит внутренности области определения X. Другими словами, для каждого z, такого что Vu(x)z = 0 выполнено z H(x)z<0, где х принадлежит внутренности Х24. [c.43]
Проверим, что закон неубывания предельной нормы замены выполняется, если функция полезности квазивогнута, или, что тоже самое, предпочтения выпуклы. В случае непрерывной дифференцируемости функции полезности квазивогнутость эквивалентна отрицательной полуопределенности матрицы Гессе на гиперплоскости Vu(x)z = 0. Рассмотрим вектор z равный 0 для всех индексов не равных г, j и zt = - иДж), z = иг (ж). Очевидно, что Vu(x)z = 0. Проведя непосредственные вычисления, получаем что [c.47]
Покажите, что если дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности строго вогнута, то для этой функции выполняется закон Госсена об убывании предельной полезности. Верно ли утверждение о том, что из закона Госсена не следует выпуклость предпочтений [c.50]
Покажем, что при сделанных нами предположениях матрица Н не вырожденная. Предположим противное. Тогда существует такой вектор у и число z, такие, что Ну + Уи(ж)т z = О и Уи(ж)т/=0, где (у, г) 0. Пусть т/=0, а г О, то Уы(ж) = 0. Это противоречит доказанному ранее свойству существования такого блага г, что ы/(ж(р,Д)) > 0. Пусть теперь т/ 0, тогда у Ну + 7/тУи(ж)Т г = у Ну = 0 и Уи(ж)т/=0, что противоречит свойству сильной квазивогнутости. Таким образом, мы доказали, что матрица Н не вырождена. И, тем самым, функция маршаллианского спроса и множитель Лагранжа X являются непрерывно дифференцируемыми по ценам и доходу. В силу определения непрямой функции полезности v(p, К)= и(х(р, Д)) и непрерывной дифференцируемости функции полезности и функции спроса имеем непрерывную дифференцируемость непрямой функции полезности по ценам и доходу. В силу свойств взаимности v(p, e(p, ж)) = и(х). С учетом монотонности непрямой функции полезности по доходу и непрерывной дифференцируемости непрямой функции полезности имеем непрерывную дифференцируемость функции расходов по ценам. Наконец, в силу соотношения ж(р, е(р1 ж)) = /г(р, ж), непрерывной дифференцируемости функции спроса по доходу и непрерывной дифференцируемости функции расходов по ценам имеем непрерывную дифференцируемость хиксианского спроса по ценам. [c.81]
В задачах к этому параграфу читателю предложат доказать непрерывную дифференцируемость функции расходов и хиксианского спроса по ж. [c.81]