Рассмотрим функцию выпуска (2.8) с одним продуктом и -единственным ресурсом. Пусть эта функция непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям [c.96]
Задача выбора оптимальных темпов выполнения работ (z/p) и количества ЛОСП (qp) может быть сведена к нахождению экстремума некоторой поверхности, как функция двух переменных Э=/ (у, q). Данная функция является дискретной, но вместе с тем значения этой функции мало изменяются при изменении количества объектных потоков. Это обстоятельство позволяет при оптимизации считать данную функцию непрерывной. Погрешность при нахождении экстремума, как показывают проверочные расчеты,, составляет 3 — 5%. [c.44]
АС компактны, а целевые функции непрерывны по всем [c.8]
Важное свойство вторых частных П. — их симметричность если функция /непрерывна, имеет непрерывные первую и вторую частные П., то безразлично, в каком порядке функцию дифференцировать [c.286]
Для дальнейшего отметим, что функция / ((/ ) непрерывна во всех точках (р, отличных от k и k<2, и, в частности, в точке (р , если (р ki и (р 2 [c.403]
Иными словами, функция непрерывна, если ее значение в данной точке совпадает с пределом функции в этой же точке. (Примеч. пер. [c.106]
В качестве примеров строго выпуклых функций (одномерного) действительного аргумента можно привести ф(х) = х2 и ф(х) = ех (х > 0) функция ф(х) = In х (х > 0) — строго вогнута. Эти функции непрерывны (и даже дифференцируемы) в соответствующих областях определения. То, что эти частные свойства выполняются не для всех выпуклых (вогнутых) функций, можно видеть на примере функций [c.111]
Напомним понятие непрерывности. На интуитивном уровне, функция / непрерывна в точке с, если f(x) можно сделать произвольно близкой к /(с), выбирая х достаточно близко к с другими словами, если точки, близкие к с, отображаются функцией / в точки, близкие к /(с). [c.115]
Пусть / S —> Rm — функция, определенная на множестве S С Rn, со значениями в Rm. Пусть с — произвольная точка S. Будем говорить, что функция / непрерывна в точке с, если для всякого е > 0 существует 6 > 0 1, такое что [c.115]
Прежде чем ввести необходимые определения отметим, что функции, называемые элементарными, были первыми функциями, которые подверглись математиками наиболее детальному изучению и начали широко использоваться в приложениях математики. Их особая роль в математическом анализе объясняется тем, что они обладают рядом важных свойств. Забегая вперед приведем два наиболее важных из них 1) всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения 2) производная от элементарной функции есть также элементарная функция. [c.30]
Пусть а — точка числовой прямой, и у = f(x] — функция, определенная при х = а. Очевидно, что если функция непрерывна, то для точек х близких к точке а, значения f(x) и /(а) также близки друг к другу. Смысл утверждения если х близко к а, то f(x) близко к /(а) с помощью математических символов можно записать так если х —> а, то f(x] —> /(а) . [c.70]
Теорема 1. Основные элементарные функции непрерывны в областях их определения. [c.71]
Справедливость теоремы геометрически очевидна. Поскольку функция непрерывна, график состоит из одного куска. Кривая эта соединяет точки (а, А) и (6, ), одна из которых лежит ниже прямой у = (7, а другая — выше ее. Поэтому кривая где-то должна пересекать прямую у — С. Значит, существует по крайней мере одно с, для которого а < < с < 6 и /(с) = С. [c.73]
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна. [c.111]
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке [а, 6] и дифференцируема в интервале (а, 6), то существует такая точка с Е (а, Ь], что [c.128]
Теорема Коши. Если у — /(ж) и у — (р х) — две функции непрерывные на отрезке [а, Ь] и дифференцируемые в интервале (а, 6), причем ( > (х) ф 0 для любого х G (а, 6), то между а [c.130]
Эти функции непрерывны везде. При х 0 их производные существуют и положительны в то время как / (0) = 0 (касательная горизонтальна), функции строго возрастают при всех х. Тем самым установлено, что неравенство / (ж) > 0 является достаточным, но не необходимым условием строгого возрастания функции f(x). А [c.142]
Решение. Все четыре функции непрерывны на числовой оси. Производные функций у = ж2, у = ж2/3 и у = х меняют знак при переходе через точку ж = 0 с минуса на плюс. Это означает, что критическая точка ж = 0 является для этих функций точкой строгого локального минимума. Функция у = ж3 при переходе через точку ж = 0 сохраняет положительное значение производной. Следовательно, для функции у = ж3 точка ж = 0 не является точкой экстремума. А [c.148]
Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями (теорема Больцано-Коши). Поэтому, в частности, найдется такое число се [а, 6], что [c.236]
Пусть функция непрерывна в промежутке (—оо, Ь]. [c.263]
Пусть функция непрерывна на всей числовой оси. [c.263]
Из соотношения (3) следует также условие экстремума — максимума или минимума — средней величины. Если производная некоторой функции непрерывна, то сама эта функция достигает экстремальных значений в тех точках, где производная обращается в нуль. Таким образом, при непрерывном изменении предельной величины справедливо следующее условие локального экстремума средней величины локальные максимумы и минимумы средних величин расположены в тех точках, в которых выполняется равенство [c.561]
Экстремум, отыскиваемый во всем пространстве, без каких-либо ограничивающих условий, носит название безусловного. Если целевая функция непрерывно дифференцируема, то, как известно из общего курса математического анализа, необходимое условие безусловного экстремума функции состоит в равенстве нулю всех ее частных производных [c.588]
Если при этом целевая функция и все ограничивающие функции непрерывно дифференцируемы, то такую задачу мы будем называть задачей Лагранжа. [c.589]
Из соотношения (3) следует также условие экстремума — максимума или минимума — средней величины. Если производная некоторой функции непрерывна, то сама эта функция достигает экстремальных значений в тех точках, где производная обращается в [c.177]
Продукт и ресурсы предполагаются неограниченно делимыми, а производственная функция — непрерывной. Расчеты и построения могут быть выполнены лишь приближенно. [c.248]
Ее отличие от первого варианта связано со значением Х0=0, что приводит к существенной погрешности аппроксимации (6). Дело в том, что точность (6) предполагает наличие у функции непрерывной первой производной. В случае задачи с Х0 > 0 искомое решение, как известно, обладает необходимым запасом гладкости. Однако при Х0=0 оно имеет особенность при t=0 типа Jt, что дает в производной бесконечность типа t 4. Это приводит к полному искажению численного решения. В самом деле, рассмотрим сеточную функцию следующего вида [c.224]
Неравенства (14.4) и (14.5) означают, что /(0) 0, /(1) g 0. Так как функция / непрерывна (в данном случае она просто линейна), найдутся такие а [О, 1 ], что Да ) = 0. [c.124]
В заключение скажем, что все эти проверенные временем инструменты дадут вам самые мощные исследовательские возможности, какие вы только сможете найти где-либо, включая Интернет или другие издания. Не забудьте, что рынок может быстро разворачиваться. С помощью тщательного ежедневного отслеживания акций, отраслей промышленности и рынка в целом вы будете готовы сделать деньги и защитить свой портфель, когда это необходимо. Кроме того, следите за новыми чрезвычайно полезными функциями, непрерывно появляющимися на нашем сайте. [c.239]
Отсюда становится понятным, что при п — > оо распределение вероятностей Tin/ /п сходится (слабо) к распределению статистики R . (Отметим, что функция (max — min) ( - ) является непрерывной на пространстве функций, непрерывных справа и имеющих пределы слева. Об этом и о слабой сходимости мер на пространстве таких функций см., например, [39], [250 гл. VI], [304 гл. 6].) [c.442]
Линии равного выпуска (изокванты) этой производственной функции изображены на рис. 10. Функция непрерывна, хотя и недифференцируема. Увеличение затрат одного из [c.101]
Теорема Ролля утверждает, что если некая функция пересекает линию, параллельную оси х в двух точках а и Ь, и функция непрерывна на интервале [а, Ь], то на этом интервале существует по крайней мере одна точка, в которой первая производная этой функции обращается в нуль (т. е. имеется по крайней мере один относительный экстремум). [c.61]
Пусть / S —> Rm — функция, заданная на открытом множестве S С Rn. Если все частные производные первого порядка Djfi(x) существуют и непрерывны во всех точках х G S, то говорится, что функция / непрерывно дифференцируема на S. [c.130]
Заметим, что это правило верно лишь для элементарных функций. Непрерывность функции в любой точке области определения не гарантируется для неэлементарных функций. Так, функция у = [ж], хотя и определена на всей числовой прямой, разрывна во всех целых точках. Другая неэлементарная функция, определенная на всей числовой прямой — функция Дирихле — имеет разрыв в каждой точке. [c.72]
Функция f(x) полунепрерывна сверху в XQ, если L F(x0), и полунепрерывна снизу в хо, если F(xo)<=L. Если f(x) полунепрерывна сверху и снизу, F(x0)=L, и функция непрерывна в я<>. Функция полу- [c.214]
В последние два десятилетия в вычислительной математике и в инженерной практике широкое распространение получили функции, называемые сплайнами. Этот термин произошел от английского spline, означающего упругую и гибкую металлическую линейку, использовавшуюся для проведения гладкой кривой, проходящей через заданные точки. Одномерный сплайн степени / представляет собой функцию, непрерывную вместе со своими (/ — 1)-ыми производными, у которой производная /-го порядка постоянна на интервалах между заданными точками, называемыми узлами. Сплайн /-и степени можно представить состоящим из гладко (до (/ — 1)-го порядка) склеенных в узлах полиномов /-и степени. [c.328]