Свойства функций, непрерывных в точке

Свойства функций, непрерывных в точке [c.107]

Если какой-то из критериев для ЛПР желательно не максимизировать, а минимизировать, то его в математическую модель следует включить со знаком минус такой распространенный прием сводит операцию минимизации к операции максимизации. Следует заметить, что критерии, как функции, также можно задавать различными способами. В некоторых случаях важно иметь критерии, которые обладали бы определенными полезными с математической точки зрения свойствами (например, непрерывностью, дифференцируемостью, вогнутостью или выпуклостью). Здесь вновь требуется консультация со специалистом по принятию решений. [c.153]

Важное свойство вторых частных П. — их симметричность если функция /непрерывна, имеет непрерывные первую и вторую частные П., то безразлично, в каком порядке функцию дифференцировать [c.286]

В качестве примеров строго выпуклых функций (одномерного) действительного аргумента можно привести ф(х) = х2 и ф(х) = ех (х > 0) функция ф(х) = In х (х > 0) — строго вогнута. Эти функции непрерывны (и даже дифференцируемы) в соответствующих областях определения. То, что эти частные свойства выполняются не для всех выпуклых (вогнутых) функций, можно видеть на примере функций [c.111]

Непрерывность функции нескольких переменных проверить напрямую бывает довольно трудно, но это важное свойство функции можно установить более простым способом — воспользовавшись следующим утверждением если функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные в точке MQ, то она непрерывна в этой точке и, более того, имеет в этой точке касательную. Как видим, это утверждение, которое мы примем без доказательства, позволяет также проверять существование касательной плоскости к поверхности. [c.289]

Теоретико-игровые модели выделяются наложением на компоненты игры, помимо структурных условий, еще и дополнительных условий, более конкретных, чем структурные, но имеющих тем не менее качественный характер. Целая коллекция таких условий касается функций выигрыша игроков. К их числу относятся такие свойства функций выигрыша, как их выпуклость или другие особенности формы аналогичного характера, типичные расположения множеств точек разрыва в остальном непрерывных функций выигрыша и т.д. Часто теоретико-игровая модель представляет собой конечно-параметрический класс бескоалиционных игр. Некоторые классы кооперативных игр также имеют характер моделей. [c.21]

Те точки, в которых плотность / положительна, являются по определению точками спектра оптимальной стратегии, определяющей /. Ввиду симметричности игры значения х, для которых f(x) > 0, также должны быть точками спектра некоторой оптимальной стратегии игрока 1. Поэтому и в силу непрерывности функции Н вне диагонали квадрата ситуаций согласно лемме п. 5.8 для таких значений х должно быть H(x,f) = иг = 0. Следовательно, Я(х, / ), как функция х, остается на всем спектре / постоянной и равной нулю. Кроме того, ввиду предположенной непрерывности/, каждую точку х, в которой /( ) >0, окружает окрестность точек х с этим же свойством, так что и для всех этих точек будет H(x, f) = 0. Так как в этих окрестностях функция //( , /) постоянна, все ее производные по х также должны в них обращаться в нуль. Дифференцируя тождество (31.7) по х, мы имеем [c.155]

Поскольку задача АЭ является частью задачи поиска оптимальной системы стимулирования, то подробное исследования решения задачи (2.2) и установления совместных свойств функции действия и функции стимулирования необходимы для дальнейшего исследования. Данный раздел целиком посвящен изучению взаимосвязи между этими функциями как в дискретном, так и в непрерывном случае. [c.35]

Перейдем к вопросам сходимости в вычислительной схеме Н. Н. Моисеева. Основное осложнение связано с тем, что теперь в разностной задаче (7) точки х могут принимать лишь дискретные значения а ., принадлежащие сетке 5. Поэтому в принципе может оказаться, что ни для какой пары точек из соседних сеток я., ж +1 не удастся построить соединяющей их траектории (1) на малом интервале [tt, t +1]. В этом случае разностная задача просто не имеет решения. Чтобы избежать этой опасности, следует наложить определенные ограничения на /г-шаг сетки по фазовым координатам. Кроме того, нужно гарантировать разрешимость элементарной операции. Эти вопросы исследовались в работах [56], [37]. Разрешимость разностной задачи и сходимости численного решения к решению задачи (1)—(5) была доказана в предположении некоторых свойств непрерывности функции Беллмана решаемой задачи. Однако для практики вычислений более существенным является другое условие шаги сетки hr по r-й компоненте фазового пространства должны быть связаны с шагом сетки по времени т соотношением ftr=T1+P>-, где рг 1 — некоторые числа, зависящие от строения области достижимости за малое время т для системы (1). Напомним, что областью достижимости D (Z, t) называется совокупность правых концов траекторий системы x=f (х, и), х (0)=z при произвольных измеримых и (t), и ( ) U, О t т. В работе автора [93] те же вопросы были решены только с одним предположением h—0 (t2). При этом под элементарной операцией следует понимать решение следующей простой геометрической задачи, являющейся аппроксимацией дифференциальной на малом интервале времени. Для расширенной системы (1) (пополненной уравнением x°=f(x, u), х° (0)=0) строится в каждой точке х область x- -tf (х, U) (если / (х, U) не выпукла, следует заменить ее выпуклой оболочкой). Далее эта область расширяется присоединением всех сфер радиуса ft2 с центрами в ж+т/ (x1U), Полученную область в пространстве х°, х1,.. ., хп обозначим DT (х), а ее проекцию на гиперплоскость х1, а 2,. ... . ., х" — jD (х). Если шаги сеток А=ста, то при определенном соотношении между с и С можно утверждать, что для любой точки xlj 5" найдется хотя бы одна точка xj.+i 5 41 такая, что [c.125]

При определенных условиях гладкости функции Я(-) свойства сходимости по распределению, по вероятности, с вероятностью 1 для ( оказываются справедливыми для оценки подстановки Я(г ) (теоремы непрерывности [7]). Задача усложняется при изучении асимптотического поведения моментов отклонений статистики Я(гл) [7, 8J, что связано с возможной неограниченностью //(/ ) в некоторых точках, как это имеет место в нашем случае фильтрации в динамических системах, когда Я(1Н) представлена виде отношения статистик. Способ разрешения этой проблемы состоит либо в использовании вместо Н(1Я) ее усеченной модификации [1], либо в использовании для Я(/ ) ее кусочно-гладкой аппроксимации (8] вида [c.193]

Для производственной функции (3.18) выполняется первое предположение предыдущего параграфа. Рассмотрим некоторые-другие свойства этой функции. Поскольку функция (3.18) не-диффереицируема (хотя н непрерывна), то производные выпуска по ресурсам можно рассматривать только в отдельных областях пространства ресурсов. Это делает исследование в случае большого числа ресурсов довольно громоздким, поэтому остановимся на анализе функции с двумя ресурсами н х° = (I, 1), т. е. на функции (3.17), которая сохраняет все основные черты фушщии (3.18) с произвольным числом ресурсов и произвольным вектором х°. Для функции (3.17) точки рациональных пропорций между ресурсами лежат на луче ОД. (см. рис. 2.10). [c.93]

Уравнение (7) можно назвать разложением (или формулой) Тейлора нулевого порядка. Оно гласит, что непрерывность в предельной точке S и приближение нулевого порядка (приближение /(с + и) многочленом нулевой степени, т.е. константой) — свойства эквивалентные. В следующем параграфе обсуждается эквивалентность дифференцируемости и приближения первого порядка, т. е. апроксимация линейной функцией. [c.116]

Пусть ф S —> R — функция, определенная на множестве S С Rn и дифференцируемая в его внутренней точке с. Показать, что а) существует неотрицательное число М, зависящее от с, но не от и, такое что d0( ti) М г/ б) существует положительное число г/, также зависящее от с, но не от г/, такое что гс(г/) < u для всех и ф 0, таких что u < г]. Выведите из этого, что в) ф(с + и) — ф(с) < (1 + М) г/ для всех и ф 0, таких что u < rj. Про функцию, обладающую подобным свойством, говорится, что она удовлетворяет условию Липшица в точке с. Очевидно, что если функция удовлетворяет условию Липшица в данной точке, то она в этой точке непрерывна 1. [c.122]

Опираясь, на приведенную в прошлом параграфе схему доказательства существования функции полезности представляющей строго монотонные предпочтения легко показать, что для строго монотонных и гомотетичных предпочтений существует положительно однородная функция полезности, представляющая эти предпочтения. Особенностью положительно однородной функции полезности является то, что предельная норма замены для любой пары товаров остается неизменной на луче tx. Это полезное свойство эквивалентно тому, что кривые Энгеля27 являются лучами, выходящими из начала координат. Кроме того, при выполнении этого свойства, свойств локальной ненасыщаемости, непрерывности и выпуклости, система неоклассических предпочтений допускает представление во- [c.47]

Теорема 49 указывает предположения о предпочтениях на простых лотереях (на множестве 5), гарантирующие существование функции полезности U(p), имеющей вид Неймана—Моргенштерна. Этих предположений, вообще говоря, недостаточно для того, чтобы гарантировать существование подобной функции полезности на более сложных лотереях. Однако, если в дополнение к свойствам (А1)-(АЗ) предположить, что предпочтения определены на множестве всех лотерей, заданных на X, (т.е. борелевских вероятностных мер на множестве X) и непрерывно (в слабой топологии) на этом множестве, то построенную функцию U(p) можно определить на любой вероятностной борелевской мере стандартным способом, поскольку множество простых мер является плотным во множестве всех борелевских мер. Читатель может попробовать доказать соответствующие утверждения самостоятельно, обращаясь, в случае необходимости, к учебникам по математическому анализу и топологии. [c.238]

Напомним свойства функции полезности денег и(х) - она непрерывная, возрастающая и вогнутая, а если предположить ее дифференцируемость, то ее первая производная положительна, но должна убывать, что известно как убывающая предельная полезность денег (а в самой общей форме — для любой функции полезности, как 1-й закон Госсена). В дифференциальной форме убывание первой производной выражается отрицательностью 2-й производной. [c.158]

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС [random pro ess] (вероятностный, стохастический процесс) — случайная функция X t) от независимой переменной t (в экономике она чаще всего интерпретируется как время). Иначе говоря, это такой процесс, течение которого может быть различным в зависимости от случая, причем вероятность того или иного течения определена. Сп. можно рассматривать либо как множество реализаций функции X t), либо как последовательность случайных величин X t), заданных в различные моменты времени t.. Сп. дискретен или непрерывен в зависимости от того, дискретно или непрерывно множество его значений. Если дискретен аргумент t, то говорят о процессе с дискретным временем, или случайной последовательности. Если свойства процесса не зависят от начала отсчета времени, то такой [c.332]

Замечание. В доказательстве не было использовано то, что шаг спуска s и, следовательно Д (х), связаны с решением одномерной задачи минимизации (13). Важно лишь то, что Д (х) < 0 в любой точке, где fx (x)= Q, и что Д (х) — непрерывная функция. При этом вместо непрерывности может быть использовано и более слабое свойство полунепрерывности для любого сколь угодно малого е > 0 можно указать такое i > 0, что из х —х т) следует Д (г ) < Д (х)- -е. [c.396]

Для произвольных точек спектра оптимальной стратегии свойство дополняющей нежесткости имеет место лишь в том случае, когда функция выигрыша обладает свойством непрерывности, хотя бы ограниченным. [c.104]

Если в процессе экспертного оценивания установлено, что на множестве оценок w критерия W предпочтения ЛПР транзитивные, связные и непрерывные, то каждый исход операции можно оценить по предпочтительности с помощью функции ценности v(w). Для задач обоснования решений в условиях определенности эта функция является частным случаем функции и(а) полезности. Доказано [22], что функция ценности существует всегда, когда ЛПР считает, что для любой оценки w уменьшение значений одних компонент го. может быть компенсировано увеличением значений других компонент wj так, что исходная оценка w и новая оценка го оказываются одинаково предпочтительными. Говорят, что в таком случае предпочтения ЛПР плавные, что не изменяются резко, скачком. Функция ценности задает весьма совершенную модель предпочтения, которая обладает свойствами связного квазипорядка. Если функция ценности построена, значит перед вами самый короткий путь для решения задачи выбора наилучшей альтернативы выбирайте ту альтернативу, у которой измеренная с помощью этой функции ценность наибольшая. [c.172]

Условия замкнутости множеств Xk, Y. и непрерывности функций uk — естественные, легко интерпретируемые требования. В частности, замкнутость Xk означает, что из допустимости некоторых наборов, сколь угодно близких к данному, следует, что и сам набор тоже допустим. Наличие нулевого вектора в Y. означает возможность остановки производства без существенных дополнительных издержек — предположение, которое, конечно, не всегда справедливо. Непрерывность функции полезности эквивалентна следующему свойству предпочтения если вектор х предпочтительнее х", то и все достаточно близкие к х наборы тоже предпочтительнее х". Предположения о выпуклости множеств Xk, Y. и квазивогнутости функций uk обладают ясным экономическим содержанием. Выпуклость технологических множеств означает, что если в течение рассматриваемого промежутка времени возможен любой из двух технологических режимов, то можно часть времени поддерживать первый из них, а оставшееся время — второй, причем переход с одного режима на другой не требует затрат. Последнее условие отнюдь не всегда выполняется, так что требование выпуклости сужает общность модели. [c.491]

Оказывается (см. теорему из раздела XI. 6 Маленво), если наблюдаемые нами предпочтения участника удовлетворяют трем свойствам непрерывности, выпуклости и независимости от состояния мира как такового (только от вероятности "лучших" исходов), то эти предпочтения всегда можно описать как решения оптимизационной задачи с функцией полезности Неймана-Моргенштерна, подобрав подходящую элементарную функцию полезности и. Это оправдывает применение такой функции в микроэкономическом моделировании. [c.58]

Покажем, что при сделанных нами предположениях матрица Н не вырожденная. Предположим противное. Тогда существует такой вектор у и число z, такие, что Ну + Уи(ж)т z = О и Уи(ж)т/=0, где (у, г) 0. Пусть т/=0, а г О, то Уы(ж) = 0. Это противоречит доказанному ранее свойству существования такого блага г, что ы/(ж(р,Д)) > 0. Пусть теперь т/ 0, тогда у Ну + 7/тУи(ж)Т г = у Ну = 0 и Уи(ж)т/=0, что противоречит свойству сильной квазивогнутости. Таким образом, мы доказали, что матрица Н не вырождена. И, тем самым, функция маршаллианского спроса и множитель Лагранжа X являются непрерывно дифференцируемыми по ценам и доходу. В силу определения непрямой функции полезности v(p, К)= и(х(р, Д)) и непрерывной дифференцируемости функции полезности и функции спроса имеем непрерывную дифференцируемость непрямой функции полезности по ценам и доходу. В силу свойств взаимности v(p, e(p, ж)) = и(х). С учетом монотонности непрямой функции полезности по доходу и непрерывной дифференцируемости непрямой функции полезности имеем непрерывную дифференцируемость функции расходов по ценам. Наконец, в силу соотношения ж(р, е(р1 ж)) = /г(р, ж), непрерывной дифференцируемости функции спроса по доходу и непрерывной дифференцируемости функции расходов по ценам имеем непрерывную дифференцируемость хиксианского спроса по ценам. [c.81]

Смотреть страницы где упоминается термин Свойства функций, непрерывных в точке

Смотреть главы в: