Похожим образом определяется касательная плоскость. [c.289]
Плоскость, проходящая через точку MQ поверхности, называется касательной плоскостью в данной точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку MQ и любую точку поверхности, стремится к нулю, когда точка М стремится по этой поверхности к точке MQ. [c.289]
Непрерывность функции нескольких переменных проверить напрямую бывает довольно трудно, но это важное свойство функции можно установить более простым способом — воспользовавшись следующим утверждением если функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные в точке MQ, то она непрерывна в этой точке и, более того, имеет в этой точке касательную. Как видим, это утверждение, которое мы примем без доказательства, позволяет также проверять существование касательной плоскости к поверхности. [c.289]
Если поверхность задана уравнением z — f(x, у), то уравнение касательной плоскости в точке Мо(жо, 2/о> о) к данной поверхности дается уравнением [c.290]
V Пример 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = х2 + у2 + 1 в точке Мо(1, 0, 2). [c.290]
Отсюда получаем уравнение касательной плоскости в точке Мо(1, 0, 2) к данной поверхности [c.290]
V Пример 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности F(x, у, z) = х3 + у3 + z3 + х у z — 6 в точке М0(1, 2, -1). [c.291]
Задача. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности z = х2 + Зу2 в точке MQ(—2, 1, 7). [c.291]
Теорема 2 (геометрический смысл необходимых условий экстремума). В стационарной точке касательная плоскость к поверхности z — /(ж, у] параллельна плоскости хОу. [c.307]
Заметим, что точки экстремума могут быть не только в тех точках, в которых частные производные функции равны нулю. Экстремум функции может быть и в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует или равна бесконечности. На рис. 15.2 изображена функция с конусообразным графиком. В вершине конуса — точке MI — находится максимальная точка функции, однако частные производные там не существуют (в соответствующей точке невозможно провести касательную плоскость). [c.307]
Касательная к кривой 104 Касательная плоскость 289 Квадратичная форма 310 [c.458]
Нас в основном будут интересовать замкнутые выпуклые тела. Границу такого тела Q будем обозначать dQ, причем 5Q Q в силу замкнутости. Важным для дальнейшего является следующий объект, обобщающий привычное понятие касательной плоскости. [c.370]
Разбиение единичного тензора (3.102) используется для построения проекций на касательную плоскость и нормаль. Например, вектор с компонентами Т1 можно представить в виде суммы вектора, касательного к поверхности, и вектора, направленного по нормали, [c.55]
Запишем систему уравнений и краевые условия в проекциях на нормаль и касательную плоскость к П. Из (1.7), (1.8) и (1.1) находим [c.264]
Частные производные, дифференциал и связь между ними. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в трехмерном пространстве. Производная сложной функции. [c.15]
Плоскость М(С) в том случае, когда (d/Q/d ) =Q существует, является касательной к /Q. В более общем случае эту плоскость называют опорной. [c.343]
Отметим, что когда расширение не эквивалентно, множители, при которых максимум R(x,X) no x минимален, не равны составляющим градиента плоскости, касательной к функции f ( ) в точке С = 0. Они соответствуют равенству максимальных значений R ( ) в нескольких точках, между которыми находится точка С = 0. Для случая одномерного решения таких точек оказалось две. Для случая т измерений можно предположить, что число таких максимумов не будет превышать т- - 1. Далее покажем, что это действительно так. [c.345]
Работа всех интегрирующих приборов.основана на том, что при перемещении обода ролика по элементу некоторой кривой ds ролик повернется на дугу df, равную проекции кривой ds на ось, параллельную плоскости ролика, т. е. dy— f sin p ds, где г — радиус ролика р — угол между осью ролика и касательной к кривой. [c.437]
Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что при выполнении условий теоремы через заданную точку (жо, у о) на координатной плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом уо ее касательной. [c.370]
Цилиндрические проекции - проектирование шара (эллипсоида) ведется на поверхность касательного или секущего цилиндра, а затем его боковая поверхность разворачивается в плоскость. Если ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли, а его поверхность касается шара по экватору (или сечет его по параллелям), то проекция называется нормальной (прямой) цилиндрической. Тогда меридианы, нормальной сетки представляются в виде равноотстоящих параллельных прямых, а параллели - в виде прямых, перпендикулярных к ним. На таких проекциях меньше всего искажений в тропических и приэкваториальных областях. [c.213]
М0Т - касательная к графику функции у = Дх) в точке М0 с абсциссой х0 и ординатой уа. Являясь по сути скоростью изменения функции в точке х (точнее в бесконечно малом интервале вблизи точки х0), производная функции у = Дх) в точке х0 численно равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику этой функции в точке (х0 Дх0)). Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости (см. рис. 3.36). Этот вывод следует непосредственно из определения производной функции, [c.52]
Покажем, как найти граничные точки множества S. На плоскости YOZ проведем прямую az -f- by = с и станем перемещать ее параллельно самой себе до тех пор, пока она не станет касательной-к выпуклому множеству S. Точки касания совпадают с граничными точками множества. Если проделать эту операцию с прямыми всевозможных направлений, то удается получить всю границу множества S. Попробуем аналитически охарактеризовать точки касания. Легко заметить, что на рис. 13 среди всех прямых данного направления прямая az + by = с, являющаяся касательной к множеству S, обладает таким свойством — расстояние от начала координат до касательной экстремально по сравнению с расстояниями до других прямых этого направления, имеющих общие точки с S. [c.104]
Таким образом, оптимальное отношение дополнительной доходности к неопределенности является постоянным и не зависит от степени неопределенности. Последнее равенство отражает тот факт, что эффективным портфелям, содержащим рисковую и безрисковую часть ( решениям задачи Тобина) на плоскости риск- доходность соответствует прямая. Тангенс угла наклона этой прямой к оси а равен 7°, чт° свидетельствует о том, что данная прямая является касательной к кривой, отвечающей эффективным чисто рисковым портфелям, а оптимальный портфель — это тот самый портфель, который является эффективным одновременно и для задачи Марковица, и для задачи Тобина. Заметим, что отрицательным у соответствует взятие денег в кредит под процент TQ и приобретение на эти деньги бумаг рискового портфеля. [c.60]
П Пусть Ро(жо5Уо) есть стационарная точка функции z = f(x,y]. Уравнение касательной плоскости в этой точке имеет вид [c.307]
Основные типы множества допустимых вариаций представлены на рис. 1—2 (на рисунках стрелки — допустимые вариации). На рис. 1 элемент и — внутренняя точка множества Мл множество допустимых вариаций -подпространство (касательная плоскость к.Л ).На РИС. 2 элемент и — "угло-вая"точка J , такие точки, как правило, имеются у множеств, задаваемых несколькими ограничениями. На рис. 3 элемент и - граничная точка множества <М. [c.12]
Здесь Тае = Т k r%rf -поверхностный тензор, Tf = Т" г% п,, Г = = Tkl nkrf — поверхностные векторы, совпадающие в случае симметричного тензора Т", T=T l ninl- — скаляр. Первый член суммы (3.103) "лежит в касательной плоскости" в том смысле, что ортогонален вектору нормали по обоим индексам, второй член суммы ортогонален вектору нормали по индексу /, третий — по индексу /, четвертый "ортогонален поверхности" (его свертка с касательными векторами равна нулю). [c.55]
ОПОРНАЯ ГИПЕРПЛОСКОСТЬ [hyperplane of support] — гиперплоскость, имеющая общую точку или ряд общих точек с границей рассматриваемого множества (области), причем такая, что вся эта область лежит по одну сторону от нее. Это в каком-то смысле перенесение геометрического понятия касательной к выпуклой фигуре на плоскости на многомерное пространство. [c.241]
Кривые затрат предприятия возникают, конечно, из поперечных разрезов данной плоскости, так что один фактор удерживается фиксированным. Таким образом, если фактор В представляет собой предприятие, а фактор А является переменным, то касательная кривой предприятия к огибающей кривой в точке Р2 будет получаться (как на рис. 6) из комбинации цен фактора с физическими данными, задаваемыми тропинкой на плоскости, представленной линией, проходящей через Р2 параллельно О А (не показанной на рисунке). Если бы А было постоянным, а В переменным, то линия была бы параллельна ОВ. Профиль таких линий, как видно на примере О А или ОВ, обычно разделенный на величину переменного фактора для каждого объема производства, является кривой, представляющей фиксированный и переменный факторы, так же как кривая падающей отдачи факторов. От любой точки таких тропинок (за исключением точек пересечения с SL) было бы выгодно двигаться или вдоль кривой безразличия, или вдоль линии постоянных затрат на рис. 6, пока не будет достигнута SL. [c.277]
А зиму т а л ъные проекции- поверхность земного шара (эллипсоида) переносится на касательную или секущую плоскость. Если плоскость перпендикулярна к оси вращения Земли, то получается нормальная (полярная) азимутальная проекция. Параллели в ней являются концентрическими окружностями, а меридианы -радиусами этих окружностей. В этой проекции всегда картографируют полярные области Земли и других планет. [c.214]
Проведем через точку и какую-нибудь двумерную плоскость Р, не касательную к поверхностиЗДи) -46й в точке и . Представим картину линий уровня энергии и энтропии на плоскости Р. Линия уровня энтропии <5>(и) = S а не может пересекать линию уровня энергии U(u) = 16а. Действительно, в этом случае реализуется картина линий уровней, изображенная на рис. 7. Сплошные линии изображают линии уровня энергии, штриховые - линии уровня энтропии. При этом использовано, что Э /Эы и д 1ди не обращаются в нуль в окрестности точки ы . Очевидно, что при таком расположении линий уровня энтропия не может иметь максимума на линии уровня f(u) = = 1ia. Поэтому остается случай, изображенный на рис. 8. В силу гладкости< Р(и) и kl(u) линии уровней (ч) = < и 1t(u) =1ta касаются в точке и . [c.27]
Геометрический смысл дифференциала. Пусть у = Дх) - дифференцируемая в точке х0 функция, график которой изображен на рис. 3.4а, МйТ- касательная к графику функции у = Дх) в точке Af0 с абсциссой Хд. Рассмотрим ординату этой касательной, соответствующую абсциссе х + Дх. Из прямоугольного треугольника ДАО/Т находим NT= A Mga, но M0N= Дх и tga = /(х.). Поэтому NT = /(х0)Дх = df xj. Таким образом, дифференциал функции у = Дх) в точке х0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке (х0 Дх0)), соответствующему приращению ее абсциссы х0 на Дх. Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости (см. рис. 3.46). [c.55]