Экстремум, отыскиваемый во всем пространстве, без каких-либо ограничивающих условий, носит название безусловного. Если целевая функция непрерывно дифференцируема, то, как известно из общего курса математического анализа, необходимое условие безусловного экстремума функции состоит в равенстве нулю всех ее частных производных [c.588]
Естественным является следующий способ решения задачи (5 ,(6) на условный экстремум. Выразить из уравнения (6) переменную х2 через переменную х, и подставить полученное выражение Xj = 1 - х, в функцию (5). Тогда задача (5),(6) на условный экстремум функции (5) двух переменных сведется к задаче на безусловный экстремум функции у — 2х,2 - 2х, + 1 одной переменной х,. [c.123]
Фондоемкость на одну скважину эксплуатационного фонда характеризует отрицательное влияние этого показателя на уровень себестоимости. При помощи трансцендентной производственной функции можно определить для анализируемого периода и оптимальный уровень влияющих факторов. В предположении, что нет никаких ограничений на использование значений факторов, тогда эта задача решается посредством отыскания точки безусловного экстремума производственной функции (при наличии некоторых ограничений следует решить соответственную задачу на отыскание условного экстремума производственной функции). Свои экстремальные точки трансцендентная функция (47) имеет при bt g> ОД у/ > > 0 (максимум) и bt < 0,ДУг<Н 0 (минимум). В обоих случаях экстремум достигается при переменной величине, равной XW = [c.93]
Различают задачи об относительном Э.ф. (при наличии ограничений типа равенств), об условном экстремуме (при ограничениях типа неравенств и равенств) и о безусловном экстремуме (когда область изменения аргументов функции не ограничена). При решении таких задач широко применяются методы предельного анализа. [c.424]
Эта теорема сводит задачу на условный экстремум к суперпозиции задач на безусловный экстремум. В самом деле, определим функцию R (g) [c.373]
Решение примера 1.1 подсказывает следующий естественный на первый взгляд способ решения задачи (1),(2). С помощью уравнения (2) сначала выразить переменную х2 через переменную х, (или переменную х, через переменную xj. Затем полученное выражение х2 = А(х,) подставить в функцию (1), которая после этого станет функцией У(х,,Л(х,)) одной переменной х,, и эту функцию исследовать на (безусловный) экстремум. Из отсутствия точки (точек) экстремума у функции х1,Л(х1)) следует отсутствие точки (точек) условного экстремума у функции (1). Если х,° - точка экстремума функции у =Дх,, Л(х,)), то точка (х,°, х2в) = (х,°, Л(х,°)) - точка условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2). [c.124]
Будем, как и ранее, считать, что неотрицательность переменных обеспечивается свойствами целевой функции и бюджетного ограничения. В этом случае можно записать функцию Лагранжа и исследовать ее на безусловный экстремум [c.145]
В указанном виде задача оптимизации (6.4.27-6.4.29) может быть решена, например, с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа[12]. Указанный приём позволяет свести задачу на условный экстремум целевой функции (6.4.27), при ограничениях (6.4.28-6.4.29), к задаче на безусловный экстремум. Однако, в этом случае некоторые из искомых переменных могут оказаться отрицательными, что означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги j-ro вида в количестве X., т.е. провести операцию продажа без покрытия . Если взятие в долг ценных бумаг невозможно, то дополнительно к условиям задачи (6.4.27-6.4.29) необходимо добавить условие неотрицательности искомых переменных, то есть [c.134]
Это задача на безусловный экстремум, поэтому решим её методом множителей Лагранжа. Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи [c.60]
Процесс оптимизации (выработки оптимального решения) можно трактовать как поиск и выбор наилучшего с некоторой точки зрения варианта среди множества допустимых. Оптимизация представляет процесс нахождения экстремума (максимума или минимума) функции при заданных ограничениях (условная оптимизация) или без ограничений (безусловная оптимизация). [c.207]
Теорема 6.1 сформулирована для поиска безусловного глобального минимума функции f(x). Некоторая модификация процесса гарантирует достижение глобального экстремума f(x) в ограниченной замкнутой области G, если заранее известно, что в лежит внутри G. [c.371]
Максимум в задаче безусловной оптимизации можно искать, например, применив сначала необходимое, а затем — достаточное условие существования экстремума. Согласно необходимому условию производная от функции по аргументу должна быть равна нулю. После несложных преобразований находим, что это условие выполняется для стационарной точки vl = 3,5. Достаточное условие для задачи на максимум состоит в отрицательности второй производной от функции по ее аргументу в стационарной точке. Это условие также выполняется. Следовательно, решением задачи (3.15), задающим компромиссное решение Нэша в биматричной игре с угрозами, будут значения v 3,5 v2= 1,5. Точка (ц,г>2) = (1,5 3,5) на эффективной границе области допустимых решений на рис. 3.7 отмечена кружком. [c.256]
В книге содержатся основы знаний по математике, необходимые для экономистов. Это методы построения графиков, исследования функций одной и нескольких переменных, нахождения безусловных и условных экстремумов. Все изложение материала в соответствующих главах ориентировано на задачи экономической теории, прежде всего - микроэкономики. [c.10]
Еще раз подчеркнем, что основное практическое значение метода Лагранжа заключается в том, что он позволяет перейти от условной оптимизации к безусловной и, соответственно, расширить арсенал доступных средств решения проблемы. Однако нетрудно заметить, что задача решения системы уравнений (2.7), к которой сводится данный метод, в общем случае не проще исходной проблемы поиска экстремума (2.3)-(2.4). Методы, подразумевающие такое решение, называются непрямыми. Они могут быть применены для весьма узкого класса задач, для которых удается получить линейную или сводящуюся к линейной систему уравнений (2.7). Их применение объясняется необходимостью получить решение экстремальной задачи в аналитической форме (допустим, для тех или иных теоретических выкладок). При решении конкретных практических задач обычно используются прямые методы, основанные на итеративных процессах вычисления и сравнения значений оптимизируемых функций. [c.86]
Градиентные методы решения задач безусловной оптимизации. Ведущее место среди прямых методов решения экстремальных задач занимает градиентный метод (точнее, семейство градиентных методов) поиска стационарных точек дифференцируемой функции. Напомним, что стационарной называется точка, в которой V/(jt) = 0 и которая в соответствии с необходимым условием оптимальности является подозрительной на наличие локального экстремума. Таким образом, применяя градиентный метод, находят множество то- [c.86]
Оптимизационные задачи для выпуклых функций. Общим недостатком рассмотренных выше методов безусловной оптимизации было, с одной стороны, то, что они позволяют отыскивать только точки, подозрительные на локальный экстремум, а с другой — то, что найденные решения могут существенно зависеть от начального приближения. Поиск глобального оптимума подразумевает перебор найденных точек, который, [c.89]
Однако, как показывает опыт, учащиеся МФТИ испытывают трудности отнюдь не с решением счётных задач по микроэкономике и не с пониманием экономических моделей. Это и понятно. Решение задач на условный или безусловный экстремум функции в экономической теории ничем не отличается от решения аналогичных задач в курсе математического анализа. И студенты МФТИ дифференцируют функцию полезности так же, как и любую другую математическую функцию, не задумываясь над экономическим смыслом первой или второй производной. Особую сложность для учащихся представляют те экономические проблемы, при решении которых нельзя воспользоваться математическим инструментарием. Но ведь микроэкономика не сводится к дифференциалам, интегралам и окаймлённым гессианам. Она имеет свой собственный предмет, который в первую очередь, и должен быть постигнут студентами на занятиях. [c.2]
Не следует забывать, что Q задано нам отображением F (и), u U для образа U в этом отображении мы будем использовать обозначение Q=F (U). Разумеется, нас будет интересовать как значение X в решении задачи (11), которое обозначим Л, так и прообраз и точки Ле A.e=F (и ) (или один из этих прообразов, если задача (9) имеет неединственное решение). Задача (9) связана с определенным вектором е, однако в следующем ниже изложении можно будет считать вектор е произвольным разумеется, при этом задача (11) уже не будет соответствовать задаче (9). Целью дальнейшего является сведение задачи на условный экстремум (9) к задачам на безусловный экстремум для некоторых новых функций. Введем множество (т+1)-мерных векторов = oi i, ., gm , нормированных условием (g, e) = l. [c.373]
В теории безусловного локального экстремума сравнивают частное значениеДх.°,х2°) функции у =д"х,,х2) в точке (х°х°) с частными значениями дх, ) этой функции во всех точках (х, ), близких к точке (x Xj0) (см. главу 7, раздел 7.4). Другими словами, в теории локального безусловного экстремума на независимые переменные х и х2 не накладываются никакие дополнительные условия, т.е. не требуется, чтобы переменные х] и х2 удовлетворяли некоторым дополнительным ограничениям. [c.120]
Для решения задачи на безусловный экстремум найдем первую производную/=4х,-2 функции y=2xlI-2xl+l и приравняем первую производную к нулю 4х,-2=0, откуда получим, что х,°=1/2. При переходе (слева направо) переменной х, через точку х,° первая производная / меняет знак с минуса на плюс, поэтому критическая точка х,0 есть точка локального минимума функции =2х,2-2х)+1. Очевидно, этот локальный минимум У=2(х°)2-2х10+1=1/2 является также глобальным (см. на рис. 8.3 линию а, которая есть график функции y=2xl2-2xl+l). Других локальных и глобальных экстремумов функция =2х.2-2х,+1 не имеет, ибо не существует точек, отличных от точки j ,", в которых бы производная j =4x,-2 обращалась в нуль. [c.123]
Однако, к сожалению, выразить аналитически переменную х2 через переменную х, (или переменную х, через переменную х2) часто бывает сложнб, а то и невозможно. По этой причине только что описанная простая идея сведения задачи на условный экстремум для функции (1) двух переменных к задаче на безусловный экстремум для функции Дх,, А(х,)) одной переменной не может быть использована в качестве основы универсального метода решения задачи (1),(2) на условный экстремум. [c.124]
Это задача на безусловный экстремум, поэтому решим её методом множителей Лагранжа. Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи (6.8) L — w x +... + wnxn — л (/(xi,...,xn) — у) —> mm [c.130]
Методы поиска оптимальной точки, рассмотренные в этом разделе, позволили решить многие задачи механики, а также наиболее простые экономические задачи. Необходимо, однако, заметить, что в случае достаточно сложных функций U(x) решение уравнений (4.11) и тем более (4.12) представляется крайне затруднительным. Поэтому даже для функций с единственным локальным максимумом проблему безусловной оптимизации нельзя считать решенной только на основе соотношений (4.11) и (4.12). Проблема еще более усложняется, если функция U(x) не является достаточно гладкой. f С появлением вычислительной техники широкое распространение получили так называемые градиентные методы, состоящие в определении направления наискорейшего роста функции U(x) и в переходе от некоторой исходной точки к другой, более предпочтительной. Затем новая точка берется за исходную и процесс повторяется. В настоящее время построены различные варианты градиентных методов и разработаны вычислительные системы, позволившие численно решить многие важные задачи безусловной оптимизации (см., например, [31]). Однако проблему многоэкстремальности (т. е. неединственности локального экстремума) до сих пор нельзя считать решенной. [c.45]