Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее решения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функций нескольких переменных. При этом полагаем, что функции (10.2) и (10.3.) непрерывны вместе со своими первыми частными производными. [c.349]
Пример 10.3. Найти точку условного экстремума функции [c.350]
Естественным является следующий способ решения задачи (5 ,(6) на условный экстремум. Выразить из уравнения (6) переменную х2 через переменную х, и подставить полученное выражение Xj = 1 - х, в функцию (5). Тогда задача (5),(6) на условный экстремум функции (5) двух переменных сведется к задаче на безусловный экстремум функции у — 2х,2 - 2х, + 1 одной переменной х,. [c.123]
Решение примера 1.1 подсказывает следующий естественный на первый взгляд способ решения задачи (1),(2). С помощью уравнения (2) сначала выразить переменную х2 через переменную х, (или переменную х, через переменную xj. Затем полученное выражение х2 = А(х,) подставить в функцию (1), которая после этого станет функцией У(х,,Л(х,)) одной переменной х,, и эту функцию исследовать на (безусловный) экстремум. Из отсутствия точки (точек) экстремума у функции х1,Л(х1)) следует отсутствие точки (точек) условного экстремума у функции (1). Если х,° - точка экстремума функции у =Дх,, Л(х,)), то точка (х,°, х2в) = (х,°, Л(х,°)) - точка условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2). [c.124]
Необходимое условие локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) в аналитической форме имеет вид. [c.125]
Другими словами, если (двумерная) точка (х,0,х20) есть точка локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2), то (трехмерная) точка (х,0 0, 0) - критическая точка функции Лагранжа. Отсюда следует, что для нахождения точек (условного) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) следует прежде всего найти критические точки функции Лагранжа, т.е. найти все решения системы уравнений (8). Далее критические точки функции Лагранжа следует "укоротить", удалив из них последние координаты К. Затем каждую "укороченную" критическую точку необходимо проанализировать на предмет, является ли она в действительности точкой (условного) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) или не является. [c.125]
Достаточное условие локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) здесь не приводится. При анализе "укороченной" критической точки обычно используют наглядные геометрические или содержательные (экономические) соображения. [c.126]
В случае общей задачи (3),(4) на условный экстремум функция Лагранжа имеет вид 1(х,,..., хл, Я.,,..., Я. ) =У(, > > , ) + , ,(, , -, хя) +. .. + Я /х,,. .., х ), а система (8) переписывается в виде системы п + т уравнении с п + т неизвестными х,,..., хп, Я,.,..., Хт. [c.126]
Теорема 2.1. Если х является точкой условного экстремума функции (2.3) при ограничениях (2.4) и ранг матрицы первых частных производных функций [c.85]
Условные экстремумы функций нескольких переменных [c.145]
Точки условного локального мини мума и условного локального максимума функции / (М ) на множестве V называются точками условного экстремума функции f (M) на множестве V. [c.145]
Необходимое условие условного экстремума функции на множестве [c.146]
Предположим, что М0 — неособая точка условного экстремума функции /(Л ) на множестве V. Если функции f(M) и Ф/(М), i— 1, 2,. . . , k, k+1,. ..,/, дифференцируемы в точке Мв, то эта точка является условно стационарной точкой функции f(M) на множестве V. [c.146]
Зависимость отдельных составляющих целевой функции от числа пунктов разгрузки, включенных в какой-либо вариант внешнего транспортного обеспечения и условно рассматриваемых как непрерывные функции в области целочисленных величин числа пунктов разгрузки пгв, представлена на рис. 27. Как видно из рисунка, с увеличением числа пунктов разгрузки возрастают суммарные затраты на их организацию и уменьшаются транспортные расходы по доставке труб к месту работ. Следовательно, целевая функция как сумма указанных составляющих имеет экстремум при некотором значении числа пунктов разгрузки. Учитывая нелинейную зависимость функционала и его отдельных составляющих от числа вводимых пунктов разгрузки и искомых переменных, для решения поставленной задачи не могут быть применены классические методы математического программирования (например,. линейного). Как известно из курса высшей математики, математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. Само название программирование взято из линейного программирования, где оно обычно обозначает распределение наилучшим образом ограниченных ресурсов для достижения поставленных целей. Следовательно, термин программирование здесь можно заменить термином планирование . [c.145]
Фондоемкость на одну скважину эксплуатационного фонда характеризует отрицательное влияние этого показателя на уровень себестоимости. При помощи трансцендентной производственной функции можно определить для анализируемого периода и оптимальный уровень влияющих факторов. В предположении, что нет никаких ограничений на использование значений факторов, тогда эта задача решается посредством отыскания точки безусловного экстремума производственной функции (при наличии некоторых ограничений следует решить соответственную задачу на отыскание условного экстремума производственной функции). Свои экстремальные точки трансцендентная функция (47) имеет при bt g> ОД у/ > > 0 (максимум) и bt < 0,ДУг<Н 0 (минимум). В обоих случаях экстремум достигается при переменной величине, равной XW = [c.93]
Очевидно, что такая задача может быть решена методами условного экстремума. В этом случае строится функция Лагранжа [c.199]
Различают задачи об относительном Э.ф. (при наличии ограничений типа равенств), об условном экстремуме (при ограничениях типа неравенств и равенств) и о безусловном экстремуме (когда область изменения аргументов функции не ограничена). При решении таких задач широко применяются методы предельного анализа. [c.424]
Геометрически это означает, что кроме функции z — /(ж, у) задана еще некоторая линия L в плоскости хОу, и требуется функцию z исследовать на экстремум при условии, что экстремальные точки могут принадлежать только этой линии L. Эти точки называются точками условного экстремума, а уравнение, связывающее переменные х и у, — уравнением связи. [c.319]
Если из уравнения связи д(х, у) переменную у выразить явно через х и подставить в заданную функцию z = /(ж, у), то получим функцию от одной переменной х. Найдя те значения ж, при которых z достигает экстремума, мы подставим их в уравнение связи и определим соответствующие значения у. В результате будут получены точки условного экстремума. [c.319]
В результате решения системы будут получены точки, в которых функция может иметь условный экстремум, но может и не [c.319]
Следовательно, точка Ро( 15 3) — точка условного экстремума. В этой точке функция z(x, у) имеет минимум [c.320]
Эта теорема сводит задачу на условный экстремум к суперпозиции задач на безусловный экстремум. В самом деле, определим функцию R (g) [c.373]
В книге содержатся основы знаний по математике, необходимые для экономистов. Это методы построения графиков, исследования функций одной и нескольких переменных, нахождения безусловных и условных экстремумов. Все изложение материала в соответствующих главах ориентировано на задачи экономической теории, прежде всего - микроэкономики. [c.10]
Отметим, что в некоторых задачах на условный экстремум, которые появляются в экономической теории, обычно "укороченная" критическая точка функции Лагранжа является на самом деле точкой условного локального (в действительности и глобального) экстремума функции (I) при наличии ограничения (2). [c.126]
Пусть функции , j j, g(x,j 2) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным х, и х2 пусть (х,0, 0) - точка условного локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) и пусть [c.127]
Решение задач условной оптимизации методом Лагранжа. Одним из наиболее общих подходов к решению задачи поиска экстремума (локального максимума или минимума) функции при наличии связующих ограничений на ее переменные (или, как еще говорят, задачи условной оптимизации) является метод Лагранжа. Многим читателям он должен быть известен из курса дифференциального исчисления. Идея данного метода состоит в сведении задачи поиска условного экстремума целевой функции [c.84]
Неявные функции. Условный экстремум. [c.15]
В общем виде математическое программирование — это совокупность методов, позволяющих определять условный экстремум функции многих переменных при наличии ограничений, т.е. тогда, когда нет уверенности в возможности ис— полыювшшя классических методов. [c.143]
В [106—109] процедура типа стохастической аппроксимации, основанная на понятии стохастического квазиградиента, используется для вычисления условного экстремума функции регрессии некоторой случайной величины, зависящей от векторного параметра. В этих работах оптимизируемая функция предполагается выпуклой, но не обязательно всюду дифференцируемой. Кроме того, здесь принято, что значения целевого функционала в каждой точке наблюдаются без ошибок, [c.358]
Точка экстремума функции всегда является точкой условного экстремума. Если же точка условного- экстремума функции / (М) на множестве V яввляется внутренней точкой этого множества, то она — точка экстремума функции f(M). [c.145]
Не следует забывать, что Q задано нам отображением F (и), u U для образа U в этом отображении мы будем использовать обозначение Q=F (U). Разумеется, нас будет интересовать как значение X в решении задачи (11), которое обозначим Л, так и прообраз и точки Ле A.e=F (и ) (или один из этих прообразов, если задача (9) имеет неединственное решение). Задача (9) связана с определенным вектором е, однако в следующем ниже изложении можно будет считать вектор е произвольным разумеется, при этом задача (11) уже не будет соответствовать задаче (9). Целью дальнейшего является сведение задачи на условный экстремум (9) к задачам на безусловный экстремум для некоторых новых функций. Введем множество (т+1)-мерных векторов = oi i, ., gm , нормированных условием (g, e) = l. [c.373]
Задача (1), (2) называется задачей на условный локальный максимум (минимум). Термин условный здесь появляется в связи с тем, что независимые переменные х, и х2 удовлетворяют условию (ограничению) (2). Вместо двух терминов (максимум и минимум) используется обобщенный термин экстремум. В задаче (1), (2) на условный экстремум функциюДх , ) принято называть целевой, ибо ее максимизация (или минимизация) часто есть формальное выражение какой-то цели (например, максимизации объема производства при фиксированных затратах). Функцию g называют функцией, задающей ограничение, или функцией связи. [c.120]
Однако, к сожалению, выразить аналитически переменную х2 через переменную х, (или переменную х, через переменную х2) часто бывает сложнб, а то и невозможно. По этой причине только что описанная простая идея сведения задачи на условный экстремум для функции (1) двух переменных к задаче на безусловный экстремум для функции Дх,, А(х,)) одной переменной не может быть использована в качестве основы универсального метода решения задачи (1),(2) на условный экстремум. [c.124]
Необходимое условие (в том числе и геометрическое) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2), вообще говоря, не является достаточным, т.е. в случае касания в точке (хДх/) линий уровня функций УЦ.ХЗ) и g(xtrxj (что эквивалентно расположению на одной прямой градиентов grad J(xt°j °) и grad (x,e,x2°), исходящих из точки (х,0 0)), точка (хДх/) может и не быть точкой условного локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) (см. рис. 8.6). [c.128]
Таким образом, задача потребительского выбора может быть описана как в виде ЗМП (18)-(20), так и в виде задачи на условный экстремум (18),(21). С математической точки зрения это разные задачи, однако они имеют одно и то же решение (х,0,х,°) - потребительский набор, который максимизирует (глобально) функцию полезности м(дг,,х2) и удовлетворяет бюджетному ограничению/ х / /как равенству ptxt0+pjXf=I. На рис. 8.8 также показаны градиенты функции полезности м(х,, 2) и функции ограничения/>,х +/>2л 2-/ в точке (x,°, t20) grad(x,°,A20) и (pt,p2). Эти градиенты расположены на одной прямой, проходящей через точку (х,°,х20), что, как уже отмечалось, эквивалентно касанию линии безразличия и бюджетной прямой в точке (х,°,х2°). [c.132]
Критическая точка (x.0(Q,x,0(Q,A,°(Q) функции Лагранжа, удовлетворяющая системе (12) и взятая без последней координаты (множителя Лагранжа) X°(Q, т.е. точка (xta(Q,x2u( )), и есть решение задачи (7), ( 1 1 ) максимизации выпуска при данных фиксированных издержках производства С. Подставив точку (х,°(С),(.х20(С)Л0(О) в первые два уравнения системы (12), получим два тождества. Поделив почленно первое тождество на второе, получим, очевидно, выражение (3) (множитель Лагранжа Х°( С) сократится). Получили аналитическое обоснование того, что в точке (х,°(С),х20(С)) изокванта и изокоста касаются (см. рис. 1 1.6). Вообще говоря, критическая точка функции Лагранжа, взятая без последней координаты, не обязана быть решением задачи (7), (1 1) на условный максимум. В случае же производственной функции Л, ,, ), удовлетворяющей определенным требованиям гладкости и выпуклости, критическая точка функции Лагранжа (без последней координаты) есть решение задачи (7), (11) на условный экстремум. Отметим также, что в случае производственной функции Л, , ) х,°(С)>0, x2°( )>0, Х°(С)>0. [c.189]
Присутствие последнего (четвертого) этапа объясняется тем, что теорема (2.1) дает необходимое, но не достаточное условие экстремума. Положение дел с достаточными признаками условного экстремума обстоит гораздо сложнее. Вообще говоря, они существуют, но справедливы для гораздо более частных ситуаций (при весьма жестких предпосылках относительно функций / и g.) и, как правило, трудноприменимы на практике. [c.86]