В интервале (0, +оо) выражение (Зж2 — 588)/ж2 всегда имеет смысл, значит, для функции Р(ж) нет точек, в которых ее производная бесконечна или не существует. Проверим, не обращается ли где-нибудь производная Р (х] в нуль. Для этого приравняем выражение (Зж2 — 588)/ж2 к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель обращается в нуль. Поэтому 3 ж2 — 588 = 0. Последнее уравнение имеет два решения ж = —14 и ж = 14. Значение ж = = —14 не входит в рассматриваемый интервал. Поэтому в интервале (0, +оо) у функции Р(ж) имеется лишь одна критическая точка ж = 14. [c.154]
Ее отличие от первого варианта связано со значением Х0=0, что приводит к существенной погрешности аппроксимации (6). Дело в том, что точность (6) предполагает наличие у функции непрерывной первой производной. В случае задачи с Х0 > 0 искомое решение, как известно, обладает необходимым запасом гладкости. Однако при Х0=0 оно имеет особенность при t=0 типа Jt, что дает в производной бесконечность типа t 4. Это приводит к полному искажению численного решения. В самом деле, рассмотрим сеточную функцию следующего вида [c.224]
Интегральный метод оценки факторных влияний. Дальнейшим логическим развитием метода дробления приращений факторных признаков стал интегральный метод факторного анализа. Этот метод основывается на суммировании приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках. При этом должны соблюдаться следующие условия [c.129]
Анализ чувствительности заключается в определении того, что будет, если один или несколько факторов изменят свою величину. Теоретически число сочетаний значений факторов бесконечно велико, поэтому анализ одновременного их изменения выполнить вручную технически исключительно сложно задача облегчается с привлечением компьютера. Рассмотрим логику и технику оценки чувствительности чистой прибыли на примере изменения лишь одного фактора, например объема продаж, при неизменности всех остальных. Значение производной по q имеет вид [c.143]
Всеобъемлющая связь явлений, процессов, глобально охватывая все сущее, создает через паутину отношений нечто целое, которое и является объектом исследования. Особо важно выявить здесь причинно-следственную связь, помня, что причина порождает следствие, которое вновь оборачивается причиной последующего события или ситуации, чего-либо нового и так до бесконечности. Известно, что причинно-следственные отношения подразделяются на функциональные (однозначные) и стохастические (вероятностные), но никогда не превращаются в беспричинность, в случайность. Сама случайность в философском смысле есть форма проявления необходимости, производная какой-либо причинности. Здесь мы сталкиваемся с понятиями детерминированной (функциональной) и стохастической зависимости. Если первая означает определенную жесткость связей между изучаемыми явлениями, то вторая характеризуется вероятностной (частичной) связью. Отсюда и методы экономи- [c.7]
Последний вариант представления предпочтительнее тем, что на рынке обычно присутствуют именно путы с низкими страйками и коллы с высокими страйками. Кроме того, стоимость пута и ее производная стремятся к нулю на отрицательной бесконечности, а стоимость колла и ее производная - на положительной. [c.10]
Если теперь учесть поведение опционов на бесконечности, а также предположив, что производная функции g(x) при х — > +вд ограничена, то оказывается, что оба проинтегрированных выражения в скобках при бесконечных значениях х обращаются в нуль. Применяя еще свойство (6) опционов, получаем [c.11]
Несмотря на кажущуюся необременительность условий, при которых получено последнее выражение, в теоретическом отношении для ряда интересных случаев они оказываются невыполнимыми. Это происходит, когда производная g (x) в точке х = v обращается в бесконечность. В частности, так обстоят дела с двусторонним экспоненциальным распределением, с которым мы уже встречались в примерах 2 и 3 из [2]. В одном варианте построения оптимального [c.11]
Для таких случаев окажется полезным следующее представление, учитывающее возможность бесконечности первой производной функции g в точке v (при его выводе с помощью интегрирования по частям образуются вспомогательные комбинации инструментов С(х) - (v) и Р(х) - P(v)), [c.12]
В этом случае производная функции g(x) в нуле бесконечна и представление (1 1) теряет смысл. Поэтому вместо него следует использовать представление (12) и учесть, что g(0) = g ( °°) = g (+oo) = 0. Имеем [c.18]
Ее решение может быть выражено математически, как та точка слева от пика (по всем осям), в которой вторые частные производные TWR (формула [4.04], при Т — количество периодов владения, для которого отыскивается точка перегиба) по каждому/в отдельности равны нулю. Это усложняется еще и тем, что такая точка, в которой вторые частные производные по всем /равны нулю, зависит от параметров самих сценарных спектров и величины Т и может не существовать вовсе. Если Т= 1, то TWR равна среднему геометрическому HPR, кривая которого является перевернутой параболой и не имеет ни одной точки перегиба Но когда Т стремится к бесконечности, точка (точки) [c.252]
Рис. 89 показывает сниженную цену для большего значения показателя степени следования за трендом, равного т=2,5. В данном случае, сниженная цена стремится к константе при t с бесконечным наклоном (сингулярность, таким образом, находится в производной, или "скорости"). Мы также можем наблюдать ускоряющиеся осцилляции, несколько напоминающие логопериодичность. Новой чертой является то, что осцилляции являются лишь преходящими, "освобождая место" окончательной чистой ускоряющей тенденции на конечном участке кривой при приближении к критическому времени t . [c.225]
Когда говорят о рынках факторов производства, часто различия между факторами производства и готовыми товарами видят в характере конечного использования. При этом часто теряется из виду принципиальное отличие факторов производства от сырья и материалов, которые также используются в производстве. Сделка по поводу купли и продажи этих товаров столь же проста, как и акт продажи потребительского блага, которое полностью переходит в собственность нового владельца. Факторы производства, будучи источником дохода своих собственников, лишь на время передаются в пользование покупателя (производственной фирмы), который выплачивает цену за пользование услугами этих факторов, но не приобретает их в полную собственность. Большинство фирм в рыночной экономике нанимают работников и пользуются чужим (позаимствованным) капиталом. Когда же предприниматель вкладывает и свой труд, и капитал в дело, экономическая логика диктует ему такие критерии эффективности использования факторов, которые складываются на рынке факторов. Существует бесконечно много различных видов ресурсов, которые можно объединить в группы, которые называются факторами производства. Спрос на производственные ресурсы является производным, поскольку он зависит от спроса на конечный продукт. [c.202]
Для непрерывной функции экстремум может иметь место только в тех точках, где производная или равна нулю (точки А, В), или не существует (в частности, обращается в бесконечность — точки Си/)). [c.424]
Иррациональные числа, а также возникшие по ходу развития математики такие понятия, как бесконечность, предел, явились следствием признания невозможности наглядно выразить кардинальные свойства фигуры большей размерности (например, прямоугольника) в понятиях фигуры меньшей размерности (например, отрезка), и желания, закодировав эту невозможность названиями, открыть путь к описанию и исследованию других последующих из доступных осознанию количественных свойств реальности. Свойство ее изменчивости (в частности, такое кардинальное для управленца понятие, как изменение во времени — движение) учитывается с помощью понятий переменная величина, функция, а также производная и интеграл, связывающие величину количества с характером его изменения в окрестности этой величины, дающих возможность получить аналитическое описание многих физических законов движения (например, в виде дифференциальных уравнений). Оценки более тонких количественных отношений реальности отражаются в таких разделах математики, как, например, вариационное исчисление, где независимой переменной является уже не число, а функция. Оценки качества количественных отношений — в таких понятиях, как явные и неявные зависимости, корректность, грубость и т.д. [c.261]
Если расширить класс рассматриваемых функций и допустить, что в отдельных точках производная равна бесконечности или вовсе не существует, то не исключена возможность того, что экстремум придется на какую-либо из таких точек. На рис. 9.5 изображены подобные возможности. Например, функция д(х ) = = ж2/3, очевидно, имеет строгий минимум при х — О (рис. 9.5), [c.145]
Для всех четырех функций точка ж = 0 является критической в первом и четвертом случаях производная в точке ж = 0 обращается в нуль, во втором — равна бесконечности, в третьем — не существует. Используя первое правило, исследовать критическую точку ж = 0 на экстремум. [c.148]
Чтобы найти все точки перегиба графика дифференцируемой функции у = /(ж), надо испытать все те значения ж, в которых вторая производная /"(ж) равна нулю, бесконечна или не существует (только в таких точках перегиб возможен). [c.163]
Вторая производная нигде не равна нулю и теряет смысл (обращается в бесконечность) в точке ж = 0. При ж < 0 имеем у" < О и кривая выпукла вверх, при ж > 0 имеем у" > 0 и кривая выпукла вниз. Вторая производная меняет знак при переходе через точку ж = 0. Поэтому точка О(0, 0) — точка перегиба. [c.163]
Заметим, что точки экстремума могут быть не только в тех точках, в которых частные производные функции равны нулю. Экстремум функции может быть и в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует или равна бесконечности. На рис. 15.2 изображена функция с конусообразным графиком. В вершине конуса — точке MI — находится максимальная точка функции, однако частные производные там не существуют (в соответствующей точке невозможно провести касательную плоскость). [c.307]
Эта функция имеет постоянную производную, но ее эластичность изменяется во всем диапазоне возможных значений когда цена стремится к нулю, эластичность также стремится к нулю, по мере приближения к цене Ро эластичность стремится к бесконечности. В середине этого интервала, то есть при Р = Ро/2, выполняется равенство ij = 1 (см. "ЭФ", упражнение 1), и суммарные затраты принимают наибольшее значение. На рис. 26 представлен график функции суммарных затрат R(P) и показано положение максимума. Читатель может самостоятельно, в качестве упражнения, представить функцию спроса в аналитической форме и после необходимых выкладок убедиться в том, что суммарные затраты будут максимальными в указанной на рисунке точке. [c.114]
Если в условиях предыдущего примера число работников несколько увеличится, так что затраты труда в месяц составят 26 тыс. ч, парк оборудования, затраты сырья, энергии и т. п. останутся прежними и при этом месячный выпуск продукции составит 5100 изделий, то предельный продукт равен приблизительно (5100-5000)/(26000-25000)=0.1 изд./ч (приблизительно, так как приращения не являются бесконечно малыми). Предельный продукт равен частной производной производственной функции по объему затрат соответствующего ресурса [c.51]
Отсюда следует, что минимум себестоимости планового выпуска совокупного продукта на новой технике обеспечивается при условии, что бесконечно малый прирост удельных капитальных вложений в создание новой техники вызывает во всех сферах производства одинаковое дополнительное снижение удельной себестоимости продукта, равное множителю Лагранжа при ресурсе капитальных вложений. Кроме того, из (1.1 а) видно, что себестоимость выпускаемых продуктов достигает минимума в том случае, когда первая производная так называ- [c.7]
Последнее следует пояснить. В модели при расположении ранее созданной техники в порядке возрастания удельных текущих издержек была задана непрерывная функция и (Ми роста текущих издержек годового выпуска продукции на ранее созданной технике от его величины. Первая производная этой функции в любой точке определяет размер бесконечно малого прироста этой функции в данной точке при бесконечно малом приросте годового объема производства. Следовательно, она определяет размер прироста годовых текущих издержек при росте объема производства на единицу продукции. А это и есть текущие издержки производства этой единицы продукции. При [c.11]
Для нахождение минимума этого выражения необходимо взять производные от -С по z/f и zt, затем эти производные приравнять нулю и вычислить эти переменные с учетом приведенного выше соотношения. Полученная система содержит Т- i уравнений с Т+ 1 неизвестными. Этот недостаток можно обойти, записывая начальное и конечные граничные условия (например, требуемый уровень запасов в Т-м периоде или устремляя Г к бесконечности). [c.221]
Что же такое эластичность В физике эластичность характеризует реакцию материала на действие внешних сил, направленных на растяжение (резина, например, адекватно реагирует на растяжение, она обладает высокой эластичностью). В экономике эластичность показывает, насколько резко изменится объем спроса при том или ином (четко фиксированном) изменении цены. Но почему именно какую-то эластичность следует использовать для этого Ведь уже известно, что объем спроса представляет собой функцию от цены (см. формулу (ГОЛ)). А степень влияния одной переменной на другую, находящуюся в функциональной зависимости от нее, обычно измеряют производной этой функции. Предположим, что АР — это изменение цены (увеличение или уменьшение), a AQ,— изменение объема спроса, вызванное этим изменением цены. Тогда значение производной, показывающее, насколько изменится объем спроса при единичном изменении цены в бесконечно малой окрестности исходного значения, можно рассчитать по следующей формуле (см. формулу (10.6)), хорошо известной каждому студенту из курса математического анализа [c.376]
Что касается объяснения природы эластичности, то здесь необходимо еще добавить, что производная (см. формулу (10.6)) не может дать сколько-нибудь приемлемого ответа на характер реакции спроса на изменение цены. Рассмотрим пример. Пусть повышение цены на 1 кг яблок на 10 ден. ед. снижает годовой объем спроса на 10 кг, т.е. ДР= 0,1 ден. ед. за кг, AQ =-10 кг/год. Если эти изменения принять бесконечно малыми, то производная приблизительно составит [c.378]
Будем искать щ в классе потенциальных векторов м, = V ,-. Потенциал считаем ограниченным на бесконечности вместе со своими первыми и вторыми производными. Уравнения (11.21) для потенциальных векторов перемещений сводятся к одному уравнению для. потенциала у [c.404]
При оперировании с опционами и другими производными финансовыми инструментами следует четко различать два случая первый, когда временной параметр t принадлежит конечному интервалу [О, Т], и второй, когда t принадлежит бесконечному интервалу [0, оо). Второй случай является, конечно, некоторой идеализацией, но значительно более простым для математического анализа, нежели первый, в котором принятие тех или иных решений в момент времени t существенно зависит от величины Т — t оставшегося времени до завершения действия контрактов. [c.436]
Замечание. Мы неоднократно использовали термин фактическая ставка. Так говорят о ставках за период, если он естественным образом связан с анализируемой моделью. Например, период может быть периодом кредитной станки или периодом начисления для модели накопительного счета и т.д. С данной ставкой за период можно связать бесконечное число эквивалентных ей (в простом или эффективном смысле) ставок, относящихся к другим периодам, в частности нормированные номинальную и эффективные ставки. В этом случае прилагательное фактическая противопоставляется производному (искусственному) характеру получающихся таким образом ставок. Производный характер последних означает, что непосредственно с базовым периодом (периодом приведения) явно не связаны какая-либо финансовая операция (сделка) или процесс, для которых нормированная ставка являлась бы фактической. Из этого не следует, что в частных случаях интерпретация нормированной ставки как фактической невозможна. Так, в непрерывной модели накопительного счета эффективная годовая ставка будет фактической ставкой накопления за годовой промежуток. Точно так же годовая эффективная ставка простой полугодовой кредитной сделки является фактической ставкой для сложной годовой сделки, состоящей в двукратной итерации исходной сделки (если это возможно) с полным реинвестированием инвестиционного дохода от первого шага. [c.328]
М0Т - касательная к графику функции у = Дх) в точке М0 с абсциссой х0 и ординатой уа. Являясь по сути скоростью изменения функции в точке х (точнее в бесконечно малом интервале вблизи точки х0), производная функции у = Дх) в точке х0 численно равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику этой функции в точке (х0 Дх0)). Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости (см. рис. 3.36). Этот вывод следует непосредственно из определения производной функции, [c.52]
Всеобъемлющая связь явлений, процессов, предметов, глобально охватывая все сущее, создает через паутину отношений нечто целое, которое и является объектом исследования. Особо важно выявить здесь причинно-следственную связь, памятуя, что причина порождает следствие, а последнее вновь оборачивается причиной последующего события или ситуации, нечто нового и так до бесконечности. Снова сталкиваемся здесь, следовательно, с процессом вечного движения, развития и саморазвития, с проявлениями коор-динационности и субкоординационности. Известно, что причинно-следственные отношения подразделяются на функциональные (однозначные) и стохастические (вероятностные), но никогда они не превращаются в беспричинность, в случайность. Сама случайность в философском смысле есть форма проявления необходимости, являясь производной какой-либо причинности (иногда и отдаленной). Здесь мы сталкиваемся с понятиями детерминированной и функциональной зависимости. Если первая означает определенную жесткость связей между изучаемыми явлениями, то вторая характеризуется вероятностной (частичной) связью. Отсюда и методы экономического анализа выступают как детерминированные, которым присуща линейная связь, или как методы стохастические, которые способствуют выявлению вероятностной зависимости. [c.12]
Если А, > 1, то платежная функция в нуле имеет непрерывную и равную нулю производную, каждая ее ветвь в окрестности нуля выпукла, а затем после точки перегиба и до бесконечности - вогнута. Такая функция больше напоминает платежную функцию комбинации двух стрэнглов, одного длинного и одного короткого. При этом страйки обоих стрэнглов расположены симметрично относительно нуля, а страйки длинного стрэнгла ближе к нулю, чем страйки короткого. Эти платежные функции свойственны более расположенным к риску инвесторам. [c.17]
В последнее время традиционные модели портфелей подвергаются серьезной критике, поскольку считается, что ценовые изменения лучше всего описываются распределением Парето с бесконечной (или неопределенной) дисперсией. Однако многие исследования доказывают, что рынки в последние годы стали ближе к нормальному распределению (т.е. к ограниченной дисперсии и независимости результатов), на чем и основаны критикуемые модели портфелей. В моделях портфелей используется распределение прибылей, а не распределение изменений цен. Несмотря на то что распределение прибылей является трансформированным распределением изменений цены (в результате закрытия проигрышных сделок и максимально долгого удержания выигрышных позиций), эти распределения, как правило, отличаются. Распределение прибылей не обязательно относится к классу распределений Парето, поэтому в главе 4 мы моделировали распределение P L с помощью регулируемого распределения. Более того, существуют производные инструменты, например, опционы, которые имеют ограниченную полудисперсию или дисперсию. Например вертикальный опционный спред в дебете гарантирует ограниченную дисперсию прибылей. Я не пытаюсь оспаривать разумную критику современных моделей портфелей. Модели следует использовать при условии, что мы осознаем их недостатки. Разумеется, необходимы более совершенные модели портфелей. Я не заявляю, что современные модели адекватны, а говорю лишь о том, что входные данные для моделей портфелей, нынешних или будущих, должны основываться на торговле одной единицей на оптимальном уровне — или на том уровне, который, как мы полагаем, будет оптимальным. Например, если мы применяем теорию Е — V (модель Марковица), входными данными являются ожидаемая прибыль, дисперсия прибылей и корреляции прибылей между рыночными системами. Входные данные должны определяться на основе торговли одной единицей по каждой рыночной системе на уровне оптимального Модели [c.245]
Замечание. Основываясь на своем ограниченном опыте, математики XVIII века не сомневались в том, что всякая непрерывная функция разлагается в бесконечный ряд Тейлора. Лишь позже в XIX веке Коши дал первый пример функции, которая хотя и является непрерывной и обладает в точке х = а всеми производными, но не разлагается в ряд по степеням (х — а]. Эта функция задается формулой /(ж) = е 1 х при добавочном условии /(0) = = 0 (при х = 0 формула теряет смысл). Функция /(ж) имеет в точке ж = 0 производные любого порядка. Все они равны нулю в этой точке, так что ряд Тейлора тождественно равен нулю. Однако /(ж) нигде, кроме точки ж = О, не обращается в нуль. [c.139]
В самом деле, незначительное изменение хь т. е. сдвиг точки MI в некоторое весьма близкое положение M i при неизменном положении сторон остальных прямоугольников приводит (см. рис. 40,6) к убыванию S на величину площади заштрихованного прямоугольника AiNi и одновременному увеличению S на величину площади заштрихованного прямоугольника /h+i t- Равенство нулю частной производной от S по Хг сводится, таким образом, к равенству площадей этих бесконечно узких прямоугольников. Такое равенство будет иметь место, если ширина этих прямоугольников по мере приближения NI к Ni со все большей точностью будет оказываться обратно пропорциональной длине тех же прямоугольников. Но это требование будет выполняться в том случае, когда касательная к кривой С в точке Ni будет параллельна отрезку AiAi+i- [c.172]
Следует, однако, учесть, что возрастание темпов роста Уд не может быть бесконечным. По мере включения в сферу разработки взаимодействий ОМФ с внешней средой, сложность их реализации возрастает, поскольку приходится включать в сферу деятельности задачи и процессы, требующие все более высоких инвестиционных затрат для реализации. Поэтому в некоторой точке И, соответствующей уровню актуализации У , будет достигнут максимальный темп роста, т.е. максимальный прирост уровня актуализации (ДУ) на единицу прироста инвестиций (затрат) — (A3). В точке И первая производная ф ункции У(3) принимает максимальное значение, т.е. на участке (Н — И) значение функции У =/(3) растет с ускорением. В этой точке вторая производная функции У(3) меняет знак с плюса на минус, что означает нулевое приращение темпов роста У. После прохождения точки И уровень актуализации возрастает с замедлением. На каждый следующий процент повышения уровня актуализации приходится все больший объем инвестиций. Таким образом, на участке (И -оо) зависимость У (3) имеет вид экспоненциальной кривой, стремящейся к асимптоте — прямой, имеющей вид функции У = 1. Эта прямая соответствует ги- [c.189]
Выведем аналогичное соотношение в случае, когда U - функция yab или I лг й- Для этого надо найти производные Э х Ьс / дх а. По определению х Ьс задаются условием, что дисторсию х а можно представить в виде симметричной нертрицательной матрицы х Ьс и ортогональной матрицы Х с х ь = х Ьс Х с. Вычислим бесконечно малые приращения, которые получают лг Ьс и Х с, когда х ь дается бесконечно малое приращение Ьх. Варьируя равенство х ь = х Ъс Х с, имеем [c.163]