Решение. Легко убедиться в том, что все миноры 2-го [c.266]
Так как среди миноров 1-го порядка есть не равные нулю (например, 4 0 и т. д.), то r(A)=. [c.266]
Определитель А > 0, а значит, и все главные миноры мат- [c.273]
В ц — минор, составленный из первых ц строк и первых -(х столбцов расширенной матрицы системы (15 ) [c.18]
Пусть М —миноры m-ro порядка основной матрицы системы (15 ), получающиеся последовательным вычеркиванием л-й строки. [c.121]
Знаки миноров М и принадлежность вычеркиваемой строки определенной группе р в каждом из четырех случаев приведены в табл. 2. [c.121]
Данные табл. 2 показывают, что в каждом из рассмотренных случаев у соседних миноров одинаковый знак, если соответствующие им строки (уравнения) принадлежат к разным группам, и разные знаки в противном случае. [c.121]
Покажем, что это справедливо для любой пары последовательных миноров. [c.121]
Миноры знак Мп Р знак Мц Р знак Мм Р знак ЛГ Р [c.122]
Лемма 1. Миноры, полученные вычеркиванием произвольной строки основной матрицы, отличны от нуля. Причем у миноров, полученных при вычеркивании двух соседних строк, разные знаки, если эти строки принадлежат одной группе, и одинаковые знаки, если эти строки принадлежат разным группам. [c.122]
Доказательство леммы проведем методом индукции. Из рассмотренных выше случаев следует, что для любой матрицы миноры MI и MZ положительны. Но поскольку в первой группе всегда содержится только одно уравнение, поэтому второе уравнение всегда относится ко второй группе, то утверждение леммы относительно пары миноров Mi и М2 справедливо. [c.122]
Предположим, что это утверждение справедливо для первых р групп. Рассмотрим минор Мц0. получаемый вычеркиванием первой строки (р + 2)-й группы (строки ц0) в основной матрице системы (15 ) [c.122]
Знак минора равен знаку определителя [c.122]
Определитель m-го порядка М, получающийся из определителя п-го порядка D(m n), если из него вычеркнуть какие-либо п — т строк и какие-либо п — т столбцов, называется минором m-го порядка определителя D. Минор m-го порядка М и минор (п — т)-то порядка М определителя D, получающиеся, если из D вычеркнуть строки и столбцы, сохранившиеся в М, называются дополнительными минорами в частном случае пг=п, М —. Алгебраическое дополнение AM минора М в D по определению есть [c.254]
В случае, когда /м=1, минор Af=a,-j, определителя D, а алгебраическое дополнение Ам=Аы есть его дополнительный минор M —Mjk, взятый со знаком плюс или минус по формуле [c.254]
АУ iJ /г а > гДе Д>- =( 1) +J Мд— алгебраическое дополнение элемента btj матрицы ( - A), Mtj — минор этого элемента, а Е — А = А — определитель матрицы (Е - А). [c.261]
Определитель матрицы, в которой вычеркнуты произвольная строка (напр. i-я), и произвольный столбец (напр. у -й), называется минором. Он имеет (я - 1)-й порядок, т.е. порядок на 1 меньше, нежели исходный определитель. [c.242]
Минор элемента матрицы 16, 198, 242 [c.473]
Есть, однако, еще одно определение ранга, которое потребует вводимых позднее понятий определителя матрицы и минора ранг матрицы есть размер максимального ненулевого минора. Оказывается, что это определение также совпадает с определением через линейную независимость строк или столбцов. (Примеч. пер.) [c.28]
Подматрица матрицы Л есть прямоугольный массив, полученный из Л вычеркиванием некоторых строк и столбцов. Минором называется определитель квадратной подматрицы Л. Минором элемента а - называется определитель подматрицы Л, полученной вычеркиванием ее г-й строки и j-ro столбца. Алгебраическим дополнением а -, обозначаемым с -, называется произведение (— 1)г+-7 на минор aij. Матрица С = ( ij) называется матрицей алгебраических дополнений матрицы А. Транспонированная к С матрица называется присоединенной к Л и обозначается А . Имеем [c.30]
Для произвольной квадратной матрицы А ее главная подматрица получается вычеркиванием одинаковых (по номеру) строк и столбцов. Определитель главной подматрицы называется главным минором. [c.30]
Симметрическая матрица А порядка п является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры Ak (k = 1,. . . , п) положительны. [c.48]
Для того чтобы симметричная квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров [c.312]
Поскольку все главные миноры положительны, то квадратичная форма из примера 1 является положительно определенной. [c.313]
Два главных минора квадратичной формы из примера 2 удовлетворяют неравенствам [c.313]
При этом главные миноры соответствующей квадратичной формы [c.353]
Обозначим через DJ минор определителя D, соответствующий элементу roj. Тогда коэффициенты регрессии в натуральном масштабе будут равны [c.131]
Соотношения (1.4) и (1.6) определяют знаки главных миноров матрицы Гессе для нашей функции и тем самым являются достаточным условием неположительной определенности соответствующей квадратичной формы (1.3). Поэтому для вогнутости линейно однородных функций с двумя ресурсами условие (1.4) достаточно. [c.96]
Рангом матрицы А (обозначается rang А или г(А)) называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. [c.266]
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ [ o-fa tor] — понятие матричной алгебры применительно к элементу а квадратной матрицы А образуется путем умножения минора элемента а., на (-1) (обозначается Л..) [c.16]
РАНГ МАТРИЦЫ [rank of matrix] — наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы (см. Определитель матрицы, детерминант). Р.м. неизменен при ее простых преобразованиях. [c.299]