На рисунке 2.5 мы видели, что валютный курс иена/доллар имел знакомое нам теперь распределение с толстыми хвостами. Рисунки 2.9(а) - (с) показывают схожие частотные распределения для валютных курсов марка/доллар, фунт/доллар и иена/фунт. Во всех случаях мы имеем распределение схожей формы. Фактически, частотное распределение валютных прибылей имеет более высокие пики и более толстые хвосты, чем американские акции или облигации. Рисунки 2.10(а) - (с) показывают временную структуру волатильности для трех обменных курсов, а в Таблице 2.5 приведены результаты регрессии в двойном логарифмическом масштабе. Во всех случаях наклон - и, следовательно, масштабирование стандартного отклонения - увеличивается более быстрым темпом, чем американские акции или облигации, и они не являются ограниченными. [c.42]
Что, если независимый процесс отличается от гауссова процесса Как мы видели в таблице 5.2, независимое распределение с толстыми хвостами и высоким пиком действительно обнаруживает средние значения, как они были предсказаны в уравнении (5.6). Тем не менее, дисперсия все-таки отличается. К сожалению, дисперсия для распределений, которые не являются нормально распределенными, отличается на индивидуальном основании. Поэтому наш доверительный интервал [c.80]
Однако имеют место ситуации, в которых закон больших чисел не действует. В частности существуют случаи, когда усиление происходит при экстремальных значениях. Это явление будет часто приводить к распределению с толстыми хвостами. [c.192]
Наконец, мы подошли к отношениям между фрактальной статистикой и шумовым хаосом. Может ли шумовой хаос быть причиной распределений с толстыми хвостами и высокими пиками, которые так распространены на финансовых рынках, так же как и в других естественных временных радах Мы узнаем это в Главе 17. [c.239]
Теперь было бы интересно изучить последовательную статистику хаотических систем. Имеют ли они также бесконечную дисперсию и конечное среднее Они проявляют распределения с толстыми хвостами при добавлении шума, но одного этого факта недостаточно для объяснения рыночного анализа, который мы уже провели. [c.247]
Заключительный вопрос касается отношений между шумовым хаосом и устойчивыми, или фрактальными, распределениями. Могут ли эмпирически наблюдаемые распределения с высокими пиками и толстыми хвостами, а также перемежающееся динамическое поведение также быть связаны с шумовым хаосом В этой главе мы исследуем этот вопрос. В качестве возможного объяснения можно предложить шумовой хаос, но мы найдем, что многое остается необъяснимым. [c.240]
Для генерирования показателя Херста, равного 0,70, было добавлено достаточно шума, как показано в Главе 16. Частотное распределение теперь представляет собой знакомое распределение с высоким пиком и толстыми хвостами. На Рисунках 17.3(а)-17.3(с) показаны различия между этими распределениями и нормальным распределением. Системы с шумом напоминают графики индекса Доу-Джонса на Рисунках 2.4(а)-2.4(е), но графики без шума выглядят совсем по-другому. Почему [c.242]
На рисунке хорошо видны как высокий пик в окрестности среднего значения доходности, так и толстые хвосты функции плотности распределения. С точки зрения гауссова распределения вероятность появления событий, значительно уклоняющихся от средних значений, — так называемых выбросов — экспоненциально уменьшается и практически равна нулю на всех масштабах. Тем не менее рынки демонстрируют нам такие события на всех масштабах, и не учитывать их — значит существенно недооценивать риски. [c.203]
Во-первых, более толстые хвосты распределения Стьюдента с 5 степенями свободы дадут более высокую справедливую стоимость колл-опциона. Вообще, чем толще хвосты распределения, тем больше получается цена колл-опциона. Если бы мы использовали 4 степени свободы, то получили бы еще большую цену колл-опциона. [c.163]
На Рис. 23 было выполнено стандартное преобразование, при котором сжимались или растягивались абсцисса и ордината для каждой кривой таким образом, чтобы все три кривые совпали друг с другом. Если такое преобразование окажется успешным, то это будет означать, по определению, что эти три распределения идентичны. Этот факт очень полезен для понимания лежащего в основе механизма, а также для использования в будущем при оценивании риска и управлении им. Наивно было бы ожидать, что одинаковая физика применима в каждом из сферических слоев и что, как следствие, распределения должны быть одинаковыми, если не изменять единицу длины различных масштабов, существующих в каждом слое. Здесь, мы наблюдаем, что три кривые действительно замечательно совпадают, но только для маленьких флуктуации скорости, в то время как большие колебания описываются очень разными толстыми хвостами. В противном случае, если попытаться свести кривые в области больших колебаний скорости, тогда части кривых, близких к началу (в области малых скоростей) не сходятся вообще и очень различны. Отсюда можно сделать заключение -распределения приращений скорости, по-видимому, состоят из двух областей области, так называемых "нормального масштабирования" и области экстремальных событий. [c.69]
Необходимо отметить еще один пример реализации данной концепции цены на опционы содержат информацию относительно колебаний цены их базовых активов. Несмотря на тот факт, что эти цены не следуют геометрическому броуновскому движению, присутствие которого является необходимым условием для большинства ценовых моделей опционов, трейдеры, несомненно, приспособились к обобщенной информации относительно распределения ценовых изменений, полученной опытным путем, и имеющего толстые хвосты [337]. В этом случае и в отличие от крахов, у трейдеров есть время адаптироваться. Возможно, причина заключается в том, что на протяжении десятилетий трейдеры занимаются торговлей опционами, где характеристическая временная шкала для жизни одного опциона составляет от месяца до года. Этого достаточно, чтобы возник обширный процесс накопления опыта. В противовес этому, за всю жизнь трейдер столкнется всего с несколькими великими крахами, что не дает возможности трейдерам научиться приспосабливаться к ним. Ситуацию можно сравнить с экологией некоторых биологических видов, которые все время борются за адаптацию. Под влиянием эволюции, им, как правило, удается выжить, адаптируясь в условиях медленно меняющегося давления. Напротив, в жизни могут случиться массовые уничтожения или резкий рост популяции, что, вероятно, связано с поразительно [c.274]
Существует важная проблема с обеими моделями как "реальными" моделями волатильности. Ни один из процессов не генерирует распределение частот с высоким пиком и толстыми хвостами, которое характерно для систем с 0 < Н < 0,50, как мы увидим в Главе 14. Кроме того, мы все еще не способны объяснить, почему перемежаемость и процессы релаксации должны быть связаны с волатильностью, которая, в конце концов, представляет собой побочный продукт динамики рыночных цен. Существует правдоподобная связь, но прежде чем мы сможем ее обсудить, мы должны рассмотреть процессы черного шума. [c.177]
Такой нелинейный процесс может быть вызван зависящей от времени дисперсией (AR H) или процессом с долговременной памятью, называемым процессом "Парето-Леви". В свое время мы обсудим оба случая. В данный момент мы можем просто сказать, что распределения с толстыми хвостами часто являются симптомами нелинейного стохастического процесса. [c.36]
В Главе 2 мы обсуждали некоторые из статистических характеристик рынков. Для акций, облигаций и валют мы обнаружили, что частотное распределение прибылей является распределением с толстыми хвостами и высоким пиком, которое существует на многих различных инвестиционных горизонтах. Таблица 3.1 содержи данные для 5-минутных, 30-минутных и 60-мипутных прибылей для периода с 1989 по 1990 гг. Сравните их с частотными распределениями, показанными в Главе 2. Между ними мало разницы, и они определенно не являются нормально распределенными. Новой рыночной гипотезе пришлось бы дать объяснение этому наблюдаемому свойству рынков. [c.52]
Для удобства f0 = 1 и f = 0,50 считаются типичными значениями. Мы можем видеть, что модель AR H схожа с моделями AR, рассмотренными ранее наблюдаемое значение С снова является результатом ненаблюдаемого ряда е, который зависит от своих прошлых реализаций. Однако модель AR H нелинейна. Небольшие изменения, вероятно, будут сопровождаться другими небольшими изменениями, а большие изменения - другими большими изменениями, но знак будет непредсказуем. Кроме того, поскольку AR H нелинейна, большие изменения расширятся, а небольшие изменения сократятся. Это приводит к распределению с толстыми хвостами и высоким пиком. [c.88]
Этот метод критиковал Кутнер ( ootner, 1964), который заявил, что одни толстые хвосты не являются неоспоримым доказательством того, что устойчивое распределение является единственным выбором. Эта критика еще более непреодолима в наши дни с появлением моделей AR H и других распределений с толстыми хвостами. Следовательно, графический метод должен использоваться в сочетании с другими испытаниями. [c.204]
Многочисленные исследования показывают, что доходности действительно не подчиняются гауссовому распределению, а описываются так называемыми распределениями с толстыми хвостами и высокими пиками. Общий класс этих распределений называется распределениями Псрето — Леей. Эти распределения реализуются на любых масштабах. Высокий пик распределения свидетельствует о наличии памяти- на рынке (и, следовательно, говорит о применимости технического анализа, см. часть IV). С другой стороны, толстые хвосты распредел ими определяют высокую вероятность появления на рынке событий от 4о" до бет, т.е. событий, отклоняющихся от средних на величину от 4 до б среднеквадратичных отклонении. Эти события легко могут быть найдены на любом масштабе. Так называемые крахи (или катастрофы, а также спекулятивные пузыри) на дневных или недельных графиках представляют собой именно такие события. Существенные провалы и всплески котировок, вызванные спекулятивным сбросом или скупкой бумаг (как говорят трейдеры, проливами и выносками ), достаточно часто встречаются на внутридневных графиках и на своем масштабе также являются событиями с большими сигма. На рис. 19.4 показано реальное распределение дневных доходностей индекса РТС и аппроксимирующее его нормальное распределение. [c.202]
Кроме того, существует возможность того, что результаты вызваны смещением, происходящим в генераторе псевдослучайных чисел, которое не уменьшается при двойном перемешивании. Возможно, объем выборки 300 все еще недостаточен. Для проверки смещения выборки использовался независимый ряд чисел. Этот ряд составляли 500 ежемесячных изменений индекса S P 500, нормализованных к нулевому среднему и единичной дисперсии. Перед началом эксперимента эти числа перемешивались 10 раз. Затем они беспорядочно перемешивались 300 раз, и вычислялись значения R/S, как и прежде. Результаты приведены в таблице 5.2. Они фактически неотличимы от гауссова генерированного ряда. Результаты еще более замечательны, когда мы полагаем, что рыночные прибыли не являются обычно распределенными они имеют толстые хвосты и высокий пик в среднем значении, даже после перемешивания. Судя по этим результатам, мы можем сказать, что в формуле Эниса и Ллойда чего-то не хватает для значений п меньше 20. Чего в ней не хватает - неизвестно. Тем не менее, опытным путем я смог вывести поправку к формуле Эниса и Ллойда. Эта поправка умножает (5.4) и (5.5) с поправочным коэффициентом и дает [c.78]
Форма этих фрактальных распределений в сравнении с нормальным распределением характеризуется высоким пиком и толстыми хвостами. Толстые хвосты имеют место, поскольку крупное событие происходит в результате процесса усиления. Тот же самый процесс вызывает бесконечную дисперсию. Хвосты никогда не стремятся к асимптоте у = 0,0, даже в бесконечности. Кроме того, когда происходят большие события, они имеют тенденцию быть резкими и прерывистыми. Таким образом, фрактальные распределения имеют еще одну фрактальную характеристику прерывистость. Тенденция к "катастрофам" была названа Мандельбротом [c.260]
Любое частотное распределение, которое включает октябрь 1987 г., будет иметь отрицательный скос и толстый ОтРицательный хвост. Однако и более ранние исследования сталкиваются с тем же явлением. В своем недавнем анализе квартальных прибылей по данным S Р с 1946 по 1988 гг. Ридман и Лейбсон (Friedman, Laibson, 1989) указывают, что [c.47]
Как было отмечено выше, Мандельброт (1964) говорил о том, что прибыли на рынках капитала следуют семейству распределений, которое он назвал устойчивым паретианом. Это распределение имеет высокий пик на среднем значении и толстые хвосты, во многом сходные с теми, что наблюдаются [c.56]
Существует вариант метода Монте-Карло, согласно которому можно не задавать какое-либо конкретное распределение для моделирования цен, а использовать непосредственно исторические данные. Подобно методу исторического моделирования, на основе ретроспективы моделируются гипотетические цены, но их последовательность не является единственной и не ограничена глубиной периода ретроспективы, поскольку выборка производится с воз-вращением, т. е. возмущение из исторических данных выбирается случайным образом, и каждый раз в выборе участвуют все данные. Эта загрузка (bootstrap) историческими данными позволяет учесть эффект толстых хвостов и скачки цен, не строя предположений о виде распределения. Это несомненные достоинства метода, который, в отличие от метода исторического моделирования, позволяет рассмотреть не какую-либо одну траекторию цен (сценарий), а сколь угодно много, что, как правило, повышает точность оценок. Недостатками загрузки является низкая точность при малых объемах выборки и использование предположения о независимости доходностей во времени. [c.271]