Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, тт. е. [c.65]
Квадратная матрица U, для которой LT1 = UT, называется ортогональной матрицей. Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице сумма произведений элементов любого столбца ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы. [c.58]
Доказать, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. [c.30]
Поясним включение PD в Р и RS и S в Р0. В силу полноты этих классов достаточно установить, что М е PD => det (М) > 0 и М е RS( S) => det (M) > 0. Пусть, от противного, М е PD и det (М) < 0. Поскольку определитель произвольной матрицы равен произведению ее собственных значений, среди последних найдется А < 0 — вещественное и неположительное. Для соответствующего собственного вектора ж(А) 0 верно ж(А)тМж(А) = А ж(А) 2 < 0, что противоречит положительной определенности М. [c.11]
При вычислении определителя 3-го порядка АЗ использовали правило треугольников, согласно которому соответствующие произведения трех элементов матрицы берутся со знаками + и — [c.262]
Подматрица матрицы Л есть прямоугольный массив, полученный из Л вычеркиванием некоторых строк и столбцов. Минором называется определитель квадратной подматрицы Л. Минором элемента а - называется определитель подматрицы Л, полученной вычеркиванием ее г-й строки и j-ro столбца. Алгебраическим дополнением а -, обозначаемым с -, называется произведение (— 1)г+-7 на минор aij. Матрица С = ( ij) называется матрицей алгебраических дополнений матрицы А. Транспонированная к С матрица называется присоединенной к Л и обозначается А . Имеем [c.30]
У теоремы 1 есть несколько важных следствий. Во-первых, если А и В — положительно (неотрицательно) определенные матрицы, то матрица А В также положительно (неотрицательно) определена. Далее, поскольку определитель матрицы равен произведению ее собственных значений, то [c.56]
Как уже упоминалось в 1.9, алгебраическое дополнение ij произвольного элемента a j квадратной матрицы Л определяется как произведение (—1) +J на определитель подматрицы, полученной из А вычеркиванием строки г и столбца j. Матрица С = (с -) называется матрицей алгебраических дополнений матрицы Л. Матрица, транспонированная по отношению к (7, называется матрицей, присоединенной к Л, что будет обозначаться как [c.69]
Отметим, что определитель в (7) не равен нулю тогда и только тогда, когда собственное значение АО — простое. При этом он равен произведению п — 1 ненулевого собственного значения матрицы АО/П — XQ, умноженному на (—2) (см. теорему 3.5). [c.210]
Перейдем к обоснованию достаточности. Пусть М = (а ) — произвольная главная подматрица матрицы М, К — множество номеров входящих в нее строк и столбцов. Если ее определитель не положителен, М должна иметь хотя бы одно неположительное вещественное собственное значение и соответствующий ему ненулевой вещественный собственный вектор z (это следует из того, что определитель матрицы есть произведение всех ее собственных значений, причем комплексные значения образуют сопряженные пары). Если теперь дополнить вектор z до размерности п нулями в позициях вне К, мы получим вектор z, знак которого меняется над действием матрицы М. Полученное противоречие доказывает достаточность. [c.28]
Определение 17. Определителем матрицы А п ю порядка называется алгебраическая сумма произведении п-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого сто гбца данной матрицы. [c.28]
Любой квадратной матрице А можно сопоставить некоторое число, азываемое ее определителем и обозначаемое del А или А 1. Это число случается суммированием различных произведений элементов матри-,ы А. Например, определитель матрицы порядка 2x2 определяется ак [c.83]
Определителем матрицы А называется алгебраическая сумма всех правильных произведений этой матрицы, имеющих знак плюс или минусе в соответствии с m риведенным выше правилом. Определи итель матрицы А обозначают detЛ или А. [c.61]