Пусть величина у зависит от величины х, и эта зависимость описывается функцией у = f(x). Главный вопрос анализа зависимостей — это выяснение того, как изменится зависимая переменная у вследствие изменения аргумента х. Основное понятие дифференциального исчисления — производная — определяется как предел отношения абсолютных приращений переменных [c.563]
Метод дифференциального исчисления предполагает, что общее приращение результирующего показателя разлагается на слагаемые, где значение каждого из них определяется как произведение соответствующей частной производной на приращение переменной, по которой вычислена данная производная. Так называемый неразложимый остаток интерпретируется как логическая ошибка метода дифференцирования и просто отбрасывается. [c.87]
Для применения интегрального метода требуются знание основ дифференциального исчисления, техники интегрирования и умение находить производные различных функций. Вместе с тем в теории анализа хозяйственной деятельности для практических приложений разработаны конечные рабочие формулы интегрального метода для наиболее распространенных видов факторных зависимостей, что делает этот метод доступным для каждого аналитика. Приведем некоторые из них. [c.276]
В методе дифференциального исчисления предполагается, что общее приращение функций (результирующего показателя) различается на слагаемые, где значение каждого из них определяется как произведение соответствующей частной производной на приращение переменной, по которой вычислена данная производная. Рассмотрим задачу нахождения влияния факторов на изменение результирующего показателя методом дифференциального исчисления на примере функции от двух переменных. [c.117]
Дальнейшим развитием метода дифференциального исчисления явился метод дробления приращений факторных признаков, при котором следует вести дробление приращения каждой из переменных на достаточно малые отрезки и осуществлять пересчет значений частных производных при. каждом (уже достаточно малом) перемещении в пространстве. Степень дробления принимается такой, чтобы суммарная ошибка не влияла на точность экономических расчетов. [c.128]
Дифференциальное исчисление — метод поиска оптимального решения через вычисление производных оптимизируемой функции. Для отыскания экстремума (максимума, минимума) функции одной переменной J(x) необходимо найти решение уравнения [c.119]
Следующий этап связан с использованием высших производных (формула Тейлора), и завершается этот этап обзором метода в целом.Далее рассматриваются некоторые вопросы численной характеристики функций — численных методов (приложение дифференциального исчисления к приближенным вычислениям). На этом этапе устанавливается погрешность уклонения ломаных из секущих, ломаной из касательной, кусочных кривых из парабол Тейлора более высоких степеней от данной функции в зависимости от ее дифференциальных свойств, и сравнивается погрешность. Для простоты рассматривается случай равноотстоящих узлов. Тем самым, устанавливаются границы применимости метода дифференциального исчисления. В качестве дальнейшего развития этого этапа можно рассматривать и другие приближающие модели, конструирование их, руководствуясь, например, следующей схемой 1.Какие узлы мы мы будем использовать 2. Какой класс приближающих функции будем использовать 3. Какой критерий согласия мы применим 4. Какую точность мы хотим [c.12]
Прежде чем мы продвинемся дальше в изучении теории дифференциалов, введем важное понятие многомерного дифференциального исчисления — частные производные. [c.123]
Определение предельных величин с помощью понятия производной позволяет использовать математический аппарат для доказательства экономических законов. Рассмотрим некоторые применения дифференциального исчисления в экономической теории. [c.183]
Более формально, точка перегиба — это точка, в которой скорость роста достигает максимального значения. Точка перегиба находится решением уравнения f (/) = 0, где / — вторая производная по / кривой f. Читатель," знакомый с дифференциальным исчислением, может проверить, что для S-образной кривой точка перегиба действительно равна / == —Ь/2.—Примеч. пер. [c.100]
Уравнения, приведенные для определения графика производства, обеспечивающего максимальную прибыль или общественную ценность, являются необходимыми, но недостаточными условиями для получения наибольших значений, подобно исчезновению первой производной в дифференциальных исчислениях. Мы должны также рассмотреть более определенные критерии. [c.287]
Тогда методами, известными из дифференциального исчисления, можно найти совокупность значений х, х%, х3,. .., х , обращающих в минимум величину приведенных затрат. Для этого надо найти частные производные функции F = F +EF2 по каждому из переменных xt, приравнять эти производные нулю и решить систему полученных уравнений. [c.147]
Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции y=f(x) - это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных). [c.43]
Напомним, что основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем дана функция Р(х), требуется найти ее производную (например, найти предельные издержки, зная суммарные издержки). При этом, если производная существует в каждой точке х некоторого промежутка X, то это также некоторая функция Дх) на X, такая, что Дх) = F (x). Однако часто приходится решать и обратную задачу дана функция Дх), требуется найти функцию F(x) такую, что F x) =Дх) (например, найти суммарные издержки, зная предельные издержки). Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. [c.56]
Иррациональные числа, а также возникшие по ходу развития математики такие понятия, как бесконечность, предел, явились следствием признания невозможности наглядно выразить кардинальные свойства фигуры большей размерности (например, прямоугольника) в понятиях фигуры меньшей размерности (например, отрезка), и желания, закодировав эту невозможность названиями, открыть путь к описанию и исследованию других последующих из доступных осознанию количественных свойств реальности. Свойство ее изменчивости (в частности, такое кардинальное для управленца понятие, как изменение во времени — движение) учитывается с помощью понятий переменная величина, функция, а также производная и интеграл, связывающие величину количества с характером его изменения в окрестности этой величины, дающих возможность получить аналитическое описание многих физических законов движения (например, в виде дифференциальных уравнений). Оценки более тонких количественных отношений реальности отражаются в таких разделах математики, как, например, вариационное исчисление, где независимой переменной является уже не число, а функция. Оценки качества количественных отношений — в таких понятиях, как явные и неявные зависимости, корректность, грубость и т.д. [c.261]
Тот, кто хорошо знаком с дифференциальным и интегральным исчислением, может получить выражение спроса на деньги путем минимизации по М выражения совокупных издержек. Взяв производную ТС по Л/ и приравнивая это выражение к нулю, получим [c.269]
Экономический смысл предельных величин состоит в том, что их можно использовать для принятия оптимальных решений с помощью методов дифференциального исчисления. Тогда, в частности, нахождение оптимума основывается на элементарных правилах если при анализе функции первая производная равна нулю, это означает экстремум функции и, следовательно, возможный ее оптимум. Требуется, однако, дополнительный анализ для выяснения единственности данной экстремальной точки, а также характера ее экстремальности является она максимумом или минимумом функции. Кроме того, оптимум совпадает с экстремальной точкой не во всех случаях. В частности, указанное правило не пригодно, когда точка оптимума находится на границе области допустимых решений (см. рис. О. 9 к ст. "Оптимум, оптимальность"). [c.276]
Изложение матричного дифференциального исчисления в данной книге основано на понятии дифференциала, что отличает ее от других книг по этой тематике. По нашему мнению, подход, основанный на дифференциалах, имеет целый ряд преимуществ. Главное из них мы видим в том, что он больше подходит для функций нескольких переменных в том виде, в каком они возникают в эконометрике, математической статистике или психометрике, чем подход, использующий производные, хотя с теоретической точки зрения оба подхода эквивалентны. В том случае, когда возникает потребность в производных, мы выводим их из дифференциалов. [c.15]
В экономике широко используются средние величины средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т-Д- Но часто требуется узнать, на какую, величину вырастет результат, есл ,б,удут увеличены затраты или. наоб рот, насколько,. уменьшится, результат, ес л и затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно, В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисления - нахождение производной в случае функции одной переменной и частных производных, если функция зависит от нескольких аргументов. [c.43]
Показатель предельного эффекта в оптимизационных моделях применяется для нахождения оптимального объема производства при заданных ресурсах, а также для определения оптимального распределения ограниченных ресурсов по различным направлениям их использования. Если максимизируемый показатель (например, прибыль) есть разность результата и издержек (в данном случае результат представлен выручкой), то в оптимальной точке предельная выручка должна равняться предельным издержкам. Такое равенство должно выполняться по каждому из факторов, определяющих выручку и издержки, что вытекает из необходимости равенства нулю частных производных прибыли по всем этим факторам. Необходимые и достаточные условия оптимума во многих экономических задачах записываются с помощью частных производных и дифференциалов. Так, если решается задача на максимум выпуска, описываемого с помощью приведенной выше производственной функции, при наличии ограничения по общему расходу денежных средств на используемые в производстве ресурсы, то в оптимальной точке должны быть равны между собой отношения предельных произво-дительностей ресурсов pt и их цен. Иными словами, для всех ресурсов должен быть одинаков предельный эффект в расчете на единицу дополнительно расходуемых на эти ресурсы денежных средств. В задаче потребительского выбора отношение предельных полезнос-тей благ должно быть равно отношению их цен. Иначе товеря, предельная полезность в расчете на одну денежную единицу должна быть в оптимальной точке одинакова по всем благам в противном случае бюджет потребителя мог бы быть перераспределен с увеличением его благосостояния. Таким образом, методы дифференциального исчисления позволяют не только решить различные экономические задачи, но и записать необходимые или достаточные условия оптимума в этих задачах, которые позволяют дать ответ на те или иные конкретные вопросы. [c.44]
Теория пределов составляет основу математического анализа. Именно с помощью предела принято определять такие важнейшие понятия как производная, дифференциал, ряд, определенный и несобственный интегралы. Поэтому первый раздел книги посвящен теории пределов. Такой порядок изложения в книге связан с современными требованиями математической строгости. Исторически же порядок был как раз обратным. Дифференциальное и интегральное исчисление зародилось в XVII в. и развивалось в XVIII, находя многочисленные и важные приложения а его база — теория пределов — была разработана французским ученым О. Коши в начале XIX в. [c.13]
Смотреть страницы где упоминается термин Дифференциальное исчисление Производная
: [c.391] [c.64] [c.361] [c.43]Смотреть главы в:
Математика для социологов и экономистов Учебное пособие -> Дифференциальное исчисление Производная