ФРАКТАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Демиург создал не только фрактальное пространство, но и фрактальное время. Хотя наше основное внимание будет сосредоточено на фрактальном временном ряде, фрактальное пространство поможет нам понять фрактальное время. Мы увидим  [c.14]


В этой главе мы исследовали сигнал "фазового пространства", который мы идентифицировали как фрактал. Фрактал - это поведенческое изменение. Он должен оцениваться в соответствии с тем, что происходит на рынке вообще. Техническое определение фрактала Как минимум пять баров, стоящих в ряд. в которых самый высокий максимум выше двух предшествующих и двух последующих максимальных значений баров. Противоположное справедливо для фрактала на продажу. Наш первый вход по фрактальному сигналу в любой рынок всегда является пер  [c.53]

Применение единого временного масштаба для всех аналитических целей невозможно ввиду растяжимости самого понятия времени. Согласно теории относительности Эйнштейна, время не абсолютно, а относительно оно зависит от скорости перемещения наблюдателя в пространстве. В Теории Волн Эллиота (применительно к поведению рынков) время зависит от психологии толпы. Время растягивается и сжимается под влиянием настроений толпы, движимой массовыми надеждами и страхами финансового и экономического характера. На полу биржи это проявляется как соотношение сил спроса и предложения. Именно поэтому ввиду учетом Теории Эллиота динамической и фрактальной природы ценовых изменений невозможно для всех целей анализа пользоваться одним ценовым масштабом. Ценовые фигуры всех масштабов, большие и малые, формируются на рынке одновременно.  [c.46]


Давайте применим определение фрактальной размерности к двум иерархическим сетям Рис. 62 и Рис. 66. Для ромбовидной решетки Рис. 62 допустим, что отношение длины четырех связей, заменяющих одну связь к длине связи, равно г, скажем, 2/3. Тогда каждый раз разрешение умножается на множитель 1/г=3/2, наблюдается четыре новых связи. Другими словами, когда разрешение умножается на 3/2, число связей умножается на 4. По определению фрактальной размерности, 3/2, возведенные в степень d должны равняться 4. Это подразумевает, что d=Ln4/Ln3/2=3.42. Таким образом, данный объект имеет большую размерность, чем объект в знакомом нам пространстве. Тот факт, что многомерный объект может быть представлен в (двумерной) плоскости, не является проблемой это просто значит, что иерархическая конструкция очень много раз пересечет сама себя и, в  [c.192]

Возьмите простой объект - полый пластмассовый мячик с отверстиями. Он не является трехмерным, потому что в нем есть отверстия. Он также не является двумерным, потому что он обладает глубиной. Несмотря на то, что он находится в трехмерном пространстве, он меньше чем тело, но больше чем плоскость. Его размерность находится где-то между двойкой и тройкой. Это нецелое число, фрактальная размерность.  [c.25]

Фрактальная размерность характеризует то, как предмет заполняет пространство. Кроме того, она описывает структуру предмета при изменении коэффициента увеличения или при изменении масштаба предмета. Для физических (или геометрических) фракталов такой закон подобного преобразования имеет место в пространстве. Фрактальный временной ряд изменяет масштаб статистически, во времени.  [c.25]

Корреляционный интеграл - вероятность того, что любые две точки находятся на определенном расстоянии е друг от друга в фазовом пространстве. По мере того как мы увеличиваем е, вероятность изменяется согласно фрактальной размерности фазового пространства. Корреляционные интегралы рассчитываются согласно следующему уравнению  [c.235]


Фрактальная размерность определяется тем, как объект или временной ряд заполняет пространство. Фрактальный объект заполняет пространство неравномерно, поскольку его части зависимы, или коррелированы. Чтобы определить фрактальную размерность, мы должны определить, каким образом объект группируется в единое целое в своем пространстве.  [c.80]

Прежде всего, размерность аттрактора не изменяется, так как мы помещаем его в размерность более высокую, чем его собственная. Плоскость, выстроенная в трехмерном пространстве, остается двумерным объектом. Линия, выстроенная в двумерном или трехмерном пространстве, остается одномерной. Аттрактор, если мы действительно имеем дело с нелинейной динамической системой, сохраняет свою размерность при увеличении размерности вложения сверх фрактальной размерности. Почему Потому что его точки коррелируют и остаются сгруппированными вместе безотносительно к размерности. Применительно к действительно случайному блужданию точки не коррелируют и заполняют любое пространство вложения, поскольку они перемещаются случайным образом.  [c.181]

Восстановление фазового пространства становится относительно легким. Важно помнить, однако, что приведенное выше правило есть правило большого пальца , но отнюдь не закон. В экспериментах можно попытаться изменять это правило, наблюдая что происходит. Используя восстановленное фазовое пространство, мы можем вычислить фрактальную размерность и измерить чувствительность зависимости от начальных условий.  [c.182]

Фрактальная размерность фазового пространства мало отличается от фрактальной размерности временного ряда. Временной ряд будет иметь размерность между 1 и 2, поскольку мы имеем дело с единственной переменной. Фазовое пространство включает в себя все переменные системы. Его размерность зависит от сложности изучаемой системы.  [c.182]

Евклидова геометрия полезна только в качестве общего упрощения мира Демиурга. Фрактальная геометрия, напротив, характеризуется самоподобием и повышением сложности при увеличении. В качестве геометрии пространства она в основном применялась для создания реалистичных ландшафтов посредством компьютеров.  [c.14]

Ифа хаоса показывает, что локальная случайность и глобальный детерминизм могут сосуществовать, чтобы создать стабильную, самоподобную структуру, которую мы назвали фракталом. Предсказать фактическую последовательность точек невозможно. И, тем не менее, шансы расстановки каждой точки не равны. Вероятность заполнения пустых пространств в пределах каждого треугольника, составляет ноль процентов. Грани, очерчивающие каждый треугольник, имеют более высокую вероятность появления. Таким образом, локальная случайность не равна равной вероятности всех возможных решений. Она также не приравнивается к независимости. Положение следующей точки полностью зависит от текущей точки, которая сама зависит от предыдущих точек. Из этого мы можем заключить, что "фрактальная статистика" будет отличаться от ее гауссова аналога.  [c.21]

Почему теперь мы называем эти распределения не только устойчивыми, как называл их Леви, но еще и фрактальными Масштабный параметр с является ответом. Если характеристический показатель а и параметр асимметрии (3 остаются теми же самыми, изменение с просто приводит к изменению масштаба распределения. После внесения поправки на масштаб вероятности остаются одинаковыми во всех масштабах с равными значениями а и р. Таким образом, а и Р не зависят от масштаба, хотя с и 8 от него зависят. Это свойство делает устойчивые распределения самоподобными при изменениях в масштабе. Как только мы вносим поправку на масштабный параметр с, вероятности остаются теми же самыми. Ряды - и, следовательно, распределения - безгранично делимы. Эта самоподобная статистическая структура является причиной, по которой мы теперь говорим об устойчивых распределениях Леви как о фрактальных распределениях. Характеристический показатель а, который может принимать дробные значения между 1 и 2, является фрактальной размерностью пространства вероятностей. Подобно всем фрактальным размерностям, она представляет собой масштабное свойство процесса.  [c.200]

Фрактальная размерность пространства вероятностей таким образом связана с фрактальной размерностью временного ряда. Как это часто бывает, две фрактальных размерности будут иметь подобные значения, хотя они измеряют различные аспекты процесса. Н измеряет фрактальную размерность проекции прямой времени фрактальной размерностью 2 - Н, но оно также связано со статистическим самоподобием процесса через форму уравнения (14.10). Однако 1/Н измеряет фрактальную размерность пространства вероятностей.  [c.205]

Мы уже исследовали одно такое фазовое пространство, аттрактор Лоренца (Глава 6). Здесь фазовая диаграмма никогда не повторяется, хотя она ограничена формой "глаза совы". Они "притягивается" к этой форме, которую часто называют ее "точкой притяжения (аттрактором)". Если мы исследуем линии в пределах аттрактора, мы находим самоподобную структуру линий, вызванную повторным сворачиванием аттрактора. Непересекающаяся структура линий означает, что процесс никогда не заполнит свое пространство полностью. Его размерность, таким образом, является дробной. Фрактальная размерность аттрактора Лоренца составляет приблизительно 2,08. Это означает, что его структура немного больше, чем двумерная плоскость, но меньше чем трехмерное тело. Следовательно, он также является созданием Демиурга.  [c.229]

Функция Z рассчитывает, сколько точек находится на расстоянии е друг друга. Согласно теории, Ст должно увеличиваться со скоростью е°, где D - корреляционная размерность фазового пространства, которая близко связана с фрактальной размерностью. Вычисление корреляции требует от нас знания того, как выглядит фазовое пространство. В реальной жизни мы не только не знаем факторы, задействованные в системе, мы даже не знаем, сколько их Обычно у нас есть только одна наблюдаемая величина, например, изменения курса акций. К счастью, в теореме Такенса (Takens, 1981) говорится, что мы можем воссоздать фазовое пространство, задерживая один временной ряд, который мы имеем, для каждой размерности, которая, как мы думаем, существует. Если число "размерностей вложения" больше, чем фрактальная размерность, корреляционная размерность стабилизируется к одному значению. В моей предыдущей книге намечены процедуры выполнения этого вычисления на основании экспериментальных данных, взятых из работы Волфа и др. (Wolf et al., 1985).  [c.236]

Странный аттрактор. Аттрактор в фазовом пространстве, где точки никогда не повторяются, и орбиты никогда не пересекаются, но и те, и другие остаются в пределах одной области фазового пространства. В противоположность предельным циклам или точечным аттракторам странные аттракторы непериодичны и обычно имеют фрактальную размерность. См. аттрактор , хаос , предельный цикл , точечный аттрактор .  [c.290]

Фрактальная размерность. Число, которое количественно описывает то, как объект заполняет пространство. В евклидовой (плоской) геометрии объекты сплошны и непрерывны - они не имеют отверстий или промежутков. Как таковые они имеют целочисленные размерности. Фракталы грубы и часто прерывисты, подобно скомканному куску бумаги, и поэтому имеют дробную, или фрактальную размерность.  [c.291]

Одна из характеристик фрактальных объектов состоит в том, что они оставляют себе свою собственную размерность, будучи помещены в пространство размерности, больше чем их фрактальная размерность. Случайные распределения (белый шум) не имеют этой характеристики. Белый шум заполняет свое пространство подобно тому, как газ заполняет объем. Если определенное количество газа поместить в контейнер большего объема, газ просто растечется в большем пространстве, поскольку молекулы газа ничто не связывает между собой. С другой стороны, твердое тело имеет молекулы, сцепленные друг с другом. Аналогично этому во фрактальном временном ряде положения точек определены корреляциями, но таких корреляций не существует в случайном ряде. Во фрактале, подобном треугольнику Серпинского, каждая точка коррелирована с точкой, нанесенной до нее. Если мы увеличим размерность пространства вложения треугольника, то корреляции останутся неизменными и будут стягивать точки в группы. Размерность треугольника останется неизменной, так же как осталась бы неизменной размерность временного ряда.  [c.80]

Если 0 < а < 1, то тогда также не существует устойчивого среднего. Альфа редко лежит в этом диапазоне, но несколько позже мы столкнемся с одним таким примером. Однако при 1 < а < 2 имеется устойчивая средняя величина. Нецелые альфа в этом диапазоне соответствуют смещенным броуновским движениям, которые характеризуются долговременными корреляциями и статистическим самоподобием. Эти движения являются фракталами. В дополнение к этому а есть фрактальная размерность пространства вероятностей временного ряда и  [c.133]

Заметим, что, являясь фрактальной размерностью, а отличается от фрактальной размерности D в уравнении (7.7). D есть фрактальная размерность временного следа, в то время Как альфа есть фрактальная размерность пространства веро-ятностей. D измеряет зазубренность временного ряда, а — ЗДЩину хвостов в функции плотности вероятности.  [c.133]

Цикл от вершины до вершины качания характеризует собой орбиту. Поскольку маятник всякий раз не может завершить цикл, его фазовый портрет будет состоять из орбит, которые никогда не будут одинаковыми и не будут периодическими. Такой фазовый портрет выглядит случайным и хаотическим, но он ограничен определенными пределами (максимальной амплитудой маятника) и всегда будет вращаться по часовой стрелке, хотя размеры орбит и время их прохождения будут разными. Это хаотический, или странный, аттрактор . Поскольку хаотические аттракторы к тому лее имеют фрактальную размерность (как мы увидим позже), Мандельброт называет их фрактальные аттракторы — это название лучше нежели странные , но оно не привилось. Странный аттрактор заключает в себе все возможности. Равновесие становится областью в фазовом пространстве — ограниченной областью с бесконечным количеством решений, подобно тому как это имеет место в треугольнике Серпинского и снежинке Кох.  [c.167]

К счастью, Уолф дал несколько правил большого пальца для обработки экспериментальных данных. Во-первых, размерность вложгпи" должна бт.гтт. бгптлтто. ттг .т у фт пво-го пространства аттрактора — это не является неожиданным, учитывая вышеизложенное относительно фрактальных размерностей. Что ново, однако, так это то, что размерность вложения должна быть больше, чем следующее ближайшее целое число, поскольку грубая поверхность часто выглядит более гладкой в более высокой размерности. Эта размерность, однако, не должна быть слишком высокой, ибо данные становятся слишком редкими, когда мы восстанавливаем фазовое пространство. В результате оказывается слишком мало кандидатур на точки замены.  [c.186]

В физических моделях, подобных аттрактору Лоренца, существуют особые измеряемые переменные, которые определяют их состояние. Для многих нелинейных систем эти переменные включают такие понятия, как температура, давление или плотность. Такие факторы в сумме отражают реакцию изучаемой системы на другие, внешние силы. Температура, в конце-концов не появляется сама собой. Она является результатом воздействия других сил, продуцирующих тепло. Физические науки удачливы— они могут измерять воздействие внешних переменных. На рынках мы сталкиваемся с различными окружающими условиями. Рынки, в конечном счете, подвергаются влиянию плохо измеряемых сил. Так, три динамических переменных, подразумеваемых фрактальной размерностью 2.33 американского фондового рынка, не будут легко идентифицируемыми локальными факторами, такими, как например Р/Е (отношение цены акции к ее прибыли) или GNP (валовой национальный продукт). Вместо этого ведущие силы на рынках больше подходят под характеристику глобальных, выяснение которых может стать результатом совместных усилий фундаментальной и технической мысли. Мое собственное мнение состоит в том, что растяжение фазового пространства порождается рыночными эмоциями или техническими факторами. Образование складок, которое выносит цены обратно на аттрактор, порождается истинными ценностями, или фундамента ттьными факторами Таким образом, ожидание (или па-строение) определяет степень разогретости рынка, в то время как ценности определяют пределы аттрактора. Третьим фактором, который мог бы играть роль, аналогичную плотности жидкости, может выступить рыночная ликвидность. Ликвидность, в конце концов, и есть причина существования Рынка.  [c.213]

Изложенное позволяет понять, почему математики и физики считают, что фрактальная геометрия точнее и изящнее, нежели евклидова геометрия, описывает природные формы. Инвариантность по отношению к масштабу имеет примечательную параллель в современной теории хаоса, согласно которой многие явления, несмотря на то, что они следуют четким детерминистским правилам, в принципе оказываются непредсказуемыми. Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы или ритм сердечных сокращений у человека, проявляют сходные закономерности в вариациях в различных временных масштабах во многом подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, проявляют сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах. Соответствие между фракталами и хаосом не случайно. Скорее оно является симптомом их глубинной связи фрактальная геометрия - это геометрия хаоса [2. С. 36]. Таким образом, фрактал представляет собой нелинейную структуру, сохраняющую самоподобие или самоаффинность при неограниченном изменении масштаба. Ключевым здесь является сохраняющееся свойство нелинейности, причем существенно то, что фрактал способен организовать взаимодействие пространств разной природы и размерности [3. Гл. 2]. Нейронные сети человеческого мозга - это тоже фракталы и взаимодействие человека с окружающей средой, представляющей собой различного рода фракталы (динамические системы), имеющих иную размерность, нежели он сам, позволяет объяснить характер его связи с ними. В плане нашего исследования это означает, что взаимодействие человека и моря достаточно эффективно можно описывать методами нелинейной динамики, которые разработаны во фрактальном исчислении.  [c.147]

Корреляционная размерность ( orrelation dimension). Оценка фрактальной размерности, которая (1) является мерой вероятности того, что две случайным образом выбранные точки находятся на определенном расстоянии друг от друга, и (2) показывает, как эта вероятность изменяется с ростом расстояния. Зависимые системы будут удерживаться вместе своими корреляциями и сохранять свою размерность независимо от того, в пространство какой размерности они помещены, пока размерность пространства больше их фрактальной размерности. Белый шум будет заполнять свое пространство, поскольку его компоненты не коррелированны и его корреляционная размерность равна размерности любого пространства, в которое он помещается.  [c.307]

Странный аттрактор (Strange attra tor). Аттрактор в фазовом пространстве, в котором точки никогда не повторяются и орбиты никогда не пересекают друг друга, однако как точки, так и орбиты остаются внутри некоторой области в фазовом пространстве. В отличие от предельных циклов или точечных аттракторов странные аттракторы являются непериодическими и имеют, вообще говоря, фрактальную размерность. Они являются конфигурацией нелинейной хаотической системы. См. также Аттрактор, Хаос, Предельный цикл, Точечный аттрактор.  [c.313]