Сформулированное утверждение принято называть теоремой Куна — Таккера. [c.48]
По теореме Куна — Таккера, х будет решением задачи (4.22) — (4.24) только тогда, когда найдется вектор и = (г ,. .., vm) такой, что в х , v выполняются условия (4.19) — (4.21), которые в данном случае приобретают следующий вид [c.53]
По теореме Куна - Таккера [56J, в точке оптимума задачи (4.78) - (4.80) необходимо и достаточно выполняются условия [c.136]
Рассмотренные выше условия оптимальности составляют содержание теоремы Куна-Таккера. [c.335]
Достигает ли функция Лагранжа максимума в точке ж Условие (9.79) теоремы Куна-Таккера совпадает по форме с необходимым условием максимума функции Лагранжа R на множестве Vx. В связи с этим возникает желание заменить условие (9.79) условием [c.335]
Из теоремы Куна-Таккера для задачи НП вытекает, таким образом, что найдется вектор А-множителей Лагранжа, для которого функция R достигает абсолютного максимума по переменным xv E Vx и 7 Е V-y на элементе множества D допустимых решений задачи НП. Отсюда следует, что расширение Лагранжа для задачи НП эквивалентно. Как для любого эквивалентного параметрического расширения А-множители удовлетворяют условию [c.371]
Анализ задач, в которых существенны ограничения вида (19) или другие ограничения-неравенства, требует иных средств. Такие средства существуют — это теорема Куна—Таккера и связанные с ней методы анализа и решения экстремальных задач. О них пойдет речь в одном из последующих выпусков журнала. [c.268]
Теорема Куна-Таккера. Предположим, что выполняются следующие условия [c.75]
Указание. Согласно теореме Куна-Таккера решить систему 26, +0,402 +0,8в3 -1-0,804 +Л1 =° [c.286]
Теорема Куна—Таккера. Центральное место в теории нелинейного программирования занимает теорема Куна— Таккера, которая связывает решение ЗИП с наличием седловой точки у соответствующей функции Лагранжа. [c.103]
Значение теоремы Куна — Таккера состоит в том, что она позволяет связать процесс решения оптимизационной задачи с поиском седловых точек функции Лагранжа, т. е., грубо говоря, с максимизацией этой функции по х и минимизацией по и. [c.105]
Теорема Куна—Таккера. [c.107]
Сформулируйте необходимое и достаточное условия теоремы Куна—Таккера. Какое значение они имеют для решения задач нелинейного программирования [c.108]
Оптимальные выборы потребителя во многих случаях удобно характеризовать при помощи теоремы Куна — Таккера (это вариант теоремы Лагранжа для ограничений — неравенств). [c.11]
Прямая теорема Куна-Таккера и (необходимое условие оптимальности) в диф- [c.11]
Обратная теорема Куна-Таккера (достаточное условие оптимальности) при условиях вогнутости всех функций (.), (.) утверждает, что если в допустимой точке х нашлись множители Лагранжа удовлетворяющие требованиям прямой теоремы (условиям первого порядка), то точка х оптимальна. [c.12]
Для характеристики с помощью теоремы Куна —Таккера спроса участника г G / используем два условия. [c.12]
Решение этой задачи также можно характеризовать при помощи теоремы Куна-Таккера. Используем два предположения. [c.14]
Для применимости к задаче (27) теоремы Куна-Таккера нужно проверить, что все "активные" ограничения (т.е. выполняющиеся в точке х как равенства) линейно независимы. Это проводится проверкой ранга матрицы градиентов ограничений, [c.19]
Предполагая опять, что исследуемая нами точка (р, ж, а, у) внутренняя (0 < (ж, а)), пользуясь, как и ранее тем, что градиенты не равны нулю и, следовательно, теоремой Куна-Таккера — найдем дифференциальную характеристику оптимума [c.26]
Исключив из необходимых условий экстремума (проверив, что теорема Куна-Таккера применима) множители Лагранжа (не равные нулю, как и в теореме благосостояния), получим диф. характеристику оптимума [c.32]
I) Если выполнены предположения утверждения, то и к задаче оптимума (используем ненулевой градиент) и к задаче равновесия применима теорема Куна-Таккера, и можно проверить совпадение условий первого порядка. Диф. характеристика равновесия (x,y,p,q) будет иметь вид [c.34]
Рассмотрим теперь необходимые условия оптимальности в задаче потребителя. По теореме Куна-Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае эквивалентны тому, что не все цены равны нулю и доход строго положителен) существует множитель Лагранжа h = 0 такой, что в оптимуме [c.63]
Это свойство известно читателю из вводного курса микроэкономики и означает, что решение задачи потребителя характеризуется равенством предельной нормы замещения любых двух благ отношению цен этих благ. Так как Л > 0, то по условию дополняющей не-жесткости теоремы Куна-Таккера получаем, что бюджетное ограничение должно выходить на равенство px=R. Это второе условие первого порядка, которому должен удовлетворять оптимум рассматриваемой задачи. [c.64]
Так как Л,(р, х) — решение задачи взаимности, то по теореме Куна-Таккера существует множитель Лагранжа А, ограничения задачи такой, что [c.82]
По теореме Куна — Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае эквивалентны тому, что Vp(y) O) существует множитель Лагранжа к>0, такой что решение задачи, у, удовлетворяет условиям [c.132]
Условия первого порядка задают систему уравнений, любое решение которой по обратной теореме Куна — Таккера является решением задачи потребителя, если выполнено дополнительное условие, что функция д(-) вогнута. [c.132]
При дифференцируемости функций полезности можно охарактеризовать решение задачи потребителя, т.е. оптимальный для данного потребителя набор хг, при помощи теоремы Куна — Таккера в дифференциальной форме (см. Приложение). [c.157]
Условия первого порядка задают систему уравнений, любое (внутреннее) решение которой по обратной теореме Куна — Таккера является решением задачи потребителя, если выполнено дополнительное условие, состоящее в том, что множество Хг выпукло, а функция полезности иг(-) вогнута. [c.158]
Замечание На самом деле достаточно, чтобы данная функция полезности могла быть преобразована в вогнутую каким-либо монотонным (строго возрастающим) преобразованием. Монотонное преобразование функции полезности не меняет предпочтений потребителя. Так, например, функция ы(ж, у) =ху и ее логарифм 1п(ы(ж, у)) = 1п(ж) + 1п(у) задают одни и те же потребительские предпочтения, хотя первая не вогнута, а вторая вогнута и допускает поэтому применение теоремы Куна — Таккера. Следовательно, допускает его и первая, приводимая к вогнутой. [c.158]
Отдельного рассмотрения требует случай, когда решение задачи потребителя не является внутренним. Пусть, например, Хг = М+ и потребление некоторых благ в решении задачи потребителя может быть равно нулю. Для получения дифференциальной характеристики такого решения опять можно воспользоваться теоремой Куна — Таккера. Получаем, что оптимальный набор должен удовлетворять условиям [c.158]
Предположим, что в рассматриваемом состоянии (ж, у) градиенты всех функций полезности и производственных функций не равны нулю. Другими словами мы предполагаем, что для каждого потребителя г найдется благо k, такое что Эыг(жг)/Эжг/Ь 0, и что для каждого производителя j найдется благо k, такое что дд у /ду О. Это предположение гарантирует выполнение условий регулярности теоремы Куна—Таккера. [c.188]
Теорема Куна—Таккера утверждает, что можно выбрать множитель Лагранжа Хго равным 1. [c.188]
Между решением общей задачи нелинейного программирования и седловой точкой функции Лаг-ранжа существует тесная связь. Для известного оптимального вектора можно при некоторых естественных предположениях подобрать такой вектор А, чтобы пара векторов (г, А) являлась седловой точкой функции L (х, К). Этот факт утверждается известной теоремой Куна и Таккера вектор я является оптимальным вектором нелинейной задачи - тогда и только тогда, когда существует такой вектор А > О, что пара (я, А) есть седловая точка функции L (х, А). Значит, вместо того, чтобы специально решать задачу нелинейного программирования, можно (что зачастую проще) искать седловую точку функции, Лагранжа L (х, А). Зная ее, мы будем знать и решение задачи 1. Не будем утомлять читателей-экономистов доказатель- [c.106]
Точную формулировку можно найти у Маленво или в любом учебнике по мат.программированию. Двусторонняя теорема Куна—Таккера без условий дифференцируемости (необходимое и достаточное [c.11]
Очевидно, что матрица Н отрицательно определена. Таким образом, функция полезности и(х) является вогнутой. Также отметим, что и(х) - монотонна. Тем самым, мы подпадаем под условия теоремы Куна-Таккера и условия дополняющей нежесткости являются достаточными условиями оптимальности. [c.64]
Это одно из условий первого порядка, т.е. необходимое условие максимума. Поскольку, как мы предположили, градиент не равен нулю, то vz> 0, и по условию дополняющей нежесткости теоремы Куна — Таккера получаем, что бюджетное ограничение выходит на равенство [c.158]
При дифференцируемости функции (-) решение этой задачи также можно охарактеризовать при помощи теоремы Куна — Таккера в дифференциальной форме. Функция Лагран-жа для задачи производителя равна [c.159]