Следует подчеркнуть, что при данном определении стохастических интегралов /(/) = (/t(/))t o °т простых функций вовсе нет никакой необходимости предполагать, что X - это семимартингал, поскольку выражение (4) имеет смысл для любого процесса X = (Xt)t o- [c.358]
Однако, здесь проблема аппроксимации становится более сложной, и на функции / приходится накладывать некоторые ограничения, "согласованные" со свойствами семимартингал а X. [c.359]
В случае дискретного времени разложение Дуба обладало свойством единственности (см. 1Ь, гл. II). Точно так же, если для специального семимартингала есть два представления (4) с предсказуемыми процессами ограниченной вариации, то эти представления совпадают. [c.366]
Определение 2. Квадратической вариацией семимартингала X называется процесс [Х,Х] = ([X,X]t, t)t o с [c.367]
Поэтому всякий семимартингал X может быть представлен в виде [c.371]
Весьма замечательно, что непрерывная мартингальная составляющая Мс для семимартингала X определяется однозначным образом (это - следствие разложения Дуба-Мейера подробнее см. [250 гл. 1, 4. 18 и 4.27]), что объясняет общепринятое для нее обозначение Xе. [c.371]
Доказывается ([250 гл. 1, 4.52]), что если X - семимартингал, то [c.371]
Триплет предсказуемых характеристик семимартингала 828 [c.486]
Пусть X = (X1,..., Xd) - d-мерный семимартингал с (некоторым) разложением [c.300]
Не ясна также инвариантность данного определения интегралов относительно редукции исходного потока ст-алгебр F = ( t)t o- А именно, пусть F-семимартингал Х оказался таким, что Xt - -измеримы, где G = ( t)t o поток сг-алгебр, удовлетворяющий обычным условиям ( 5а, гл. III) и t С , t > 0. Как хорошо известно (см., например, [249] и [250]), F-семимартингал Х будет тогда и G-семимартингалом. Поэтому естественно ожидать, что если процесс тг является G-согласованным, то [c.302]
V xt / сразу полагать X = 1, считая, тем самым, что исходный семимартингал [c.313]
Напомним, что если существует вероятностная мера Р на (П, т) такая, что Р Р, и относительно этой меры семимартингал X является [c.320]
Пусть X — (, Х1,.. . , Xd) - семимартингал. Тогда, как показывается [c.327]
В каноническом представлении (20) есть две "предсказуемые" компоненты В(д) и VH. Третьей важной характеристикой семимартингала Н является "угловая скобка" (Яс), являющаяся (предсказуемым) компенсатором непрерывного локально квадратично интегрируемого мартингала Яс. [c.338]
Определение 5. Пусть Я = (Ht, t)t 0 - семимартингал и д = д(х) - некоторая функция урезания. Обозначим В = В(д), С — (Нс), v — VH. Набор [c.338]
Приведем некоторые свойства семимартингалов, выражаемые в терминах предсказуемых характеристик В, С и v. а) Если Я - семимартингал, то [c.338]
Семимартингал Н является локально квадратично интегрируемым семимартингалом в том и только в том случае, когда [c.339]
Пусть X - специальный семимартингал и [c.358]
Если S = (St, t)t o — семимартингал, то, согласно определению, [c.364]
Пусть Н - специальный семимартингал с каноническим разложением [c.370]
Теорема 2. Если Н - специальный семимартингал с каноническим [c.371]
Пусть Р - вероятностная мера на (0, ), Р = P t, t 0, и Н = (Ht, t)t o некоторый семимартингал с триплетом предсказуемых характеристик (В, С, v). Для простоты рассуждений будем предполагать, [c.373]
Во многих отношениях таким классом является класс семимартинга-лов, т.е. таких случайных процессов X = (X t o, которые представимы (быть может, и неоднозначно) в виде [c.356]
В случае, когда вместо броуновского движения рассматривается произвольный семимартингал, конструкция стохастического интеграла It(f) также основана наидее аппроксимации /простыми функциями (/ , n 1), для которых интегралы It(fn) определены, с последующим предельным переходом при п — оо. [c.359]
По определению, семимартингал X есть пропесс, представимый в виде (1), где А = (At, t)t o - процесс ограниченной вариации, т.е. J dAs(ш) < оо, > О, ш 6 П, и М = (Mt, t) — локальный мартингал. [c.362]
Это обстоятельство послужило основанием к выделению в классе се-мимартингалов X = (Xt, t)t o подкласса специальных семимартинга-лов, для которых существует представление (4) с предсказуемым процессом А = (At, t). [c.366]
Пример 1 (уравнением, стохастическая экспонента Долеан). Пусть X — (Xi, t)f o заданный семимартингал. Рассматривается вопрос об отыскании в классе adlag-процессов (с непрерывными справа и имеющими пределы слева траекториями) решения У = (У , t)t 0i уравнения Долеан [c.372]
Определение 4. Пусть X = (Xf, t, Р) о семимартингал. Говорят, что X является локально мартингальным преобразованием порядка d (X G Tjg ), если найдутся локальный мартингал М = (М1,. . . , Md) и предсказуемый процесс тг — (тг1,. . . , Trd) L O (M) такие, что имеет место представление (28). [c.308]
Определение 2. Если существует мера Р Р, относительно которой семимартингал X является сг-мартингалом, то говорят, что Р является а-мартингальной мерой и выполнено свойство ЕаММ. [c.325]
Замечание 1. Бесконечная сумма в формуле (10) абсолютно сходится (Р-п.н.), поскольку длявсякого семимартингала Н существует лишь конечное число моментов времени s t, для которых [c.366]
Теорема 1. Пусть на каноническом фильтрованном вероятностном пространстве (fi, , ( t)t o, Р) задан семимартингал Н — (Ht, t)t 0, HO = onst, с триплетом (B, ,v), причем мера Р является единственной в следующем смысле если Р - другая [c.374]
Смотреть страницы где упоминается термин Семимартингал
: [c.107] [c.362] [c.363] [c.369] [c.371] [c.482] [c.485] [c.485] [c.71] [c.308] [c.324] [c.338] [c.338] [c.339] [c.339] [c.339] [c.340] [c.358] [c.366]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.356 ]