Пусть yi, у<2, . . . , уп — случайная выборка из га-мерного нормального распределения со средним IJL и положительно определенной ковариационной матрицей Л, a Y = (i/i, г/2 Уп)1 Тогда наилучшей квадратичной несмещенной оценкой Л является [c.372]
Если х имеет р-мерное нормальное распределение, тогда S является оценкой максимального правдоподобия для матрицы 7. Если к тому же все собственные значения 1 различны, то ML-оценки для Л и ti равны / и q соответственно [c.448]
В важном частном случае невырожденного р-мерного нормального распределения условие (4.8 ) выполняется всегда. [c.149]
Однако в жестких теоретических рамках модельных допущений о типе распределения исследуемого вектора показателей ( (1), (2),---, (р) Л) может быть получен общий вид функции регрессии /(X) = Е (т = X) (здесь, как и ранее, = = ( < >,. .., <">) и X - (х<1 . .., < > ). Так, например, если предположить, что исследуемый вектор переменных ( т]) подчиняется (р + 1)-мерному нормальному распределению с вектором средних значений [c.166]
В предыдущей главе (см. п. 5.1) уже упоминалось, что если анализируемые переменные ( (1), (2),. .., (/7) т]) подчиняются (р + 1)-мерному нормальному закону распределения, то истинная функция / (X) регрессии т] по (1),..., (/7) принадлежит классу линейных (по x(k k = 1,2,..., р) функций (6.4). Однако статистическая проверка многомерной нормальности изучаемой векторной случайной величины относится к задачам, до сих пор плохо оснащенным достаточно эффективным инструментарием для их решения (см. сноску к с. 152 [14]). К тому же возможны ситуации, когда анализируемый многомерный признак (Ц1),..., < >> т]) не является нормальным, но в то же время регрессия г по ( (1),..., (р)) линейна. [c.180]
Средний квадрат ошибки предсказания СКОП. Этот критерий предлагается в [24] (см. также [164, 42, 52]). При введении этого критерия предполагается, что переменные (у, х(1),. .., Х(Р>) являются случайными величинами и имеют в совокупности (р + 1) -мерное распределение. Таким образом, матрица данных (X, Y) представляет собой выборку объема п из (р + 1)-мерного нормального распределения. [c.283]
Действительно, поскольку В = Y (см. (11.9)), а У в силу (11.2 ) и (11.4) подчиняется n-мерному нормальному распределению, то утверждение (11.13) следует непосредственно из того, что линейные комбинации нормально распределенных величин также распределены нормально [20, теорема 2.4.11. Утверждение (11.14) является прямым следствием (11.11) и теоремы 3.3.3 из [201. Статистическая независимость оценок В и [c.341]
N k (M, 2) — -мерный нормальный закон распределения вероятностей [c.455]
Ряд xt, t = 1,. .., п, называется гауссовским, если совместное распределение случайных величин Х, . .., Х является и-мерным нормальным распределением. Для гауссовского ряда понятия стационарности в узком и в широком смысле совпадают. [c.14]
Следует заметить, что даже если векторы ut =(utl,...,utg), i = 1,..., n, взаимно независимы и имеют одинаковое g -мерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей Е = О"2/, где / - единичная матрица, векторы [c.136]
При этих предположениях и при фиксированной матрице X оценка 9 имеет (,/V + l) -мерное нормальное распределение, причем [c.238]
Нормальный закон распределения n-мерной случайной величины (n-мерного случайного вектора) X = (Х, Х ,..., Х ) характеризуется параметрами, задаваемыми вектором средних а = (a, ai,...,a и ковариационной матрицей X = (°у )пхп гДе < = M[(Xt - a, )(Xj - а,)]. [c.40]
Рассмотрим -мерный случайный нормально распределенный вектор [c.239]
Пусть й-мерный случайный вектор = , составляющие которого являются случайными элементами набора (А, Ь, с), распределен нормально, т. е. плотность распределения , [c.296]
Рассмотрим теперь задачу о нахождении при известном графе структуры зависимостей G перестановки координат а, позволяющей представить распределение X в виде (4.5). Положим а (0) = О и возьмем произвольную простую цепь, начинающуюся в 0. Будем двигаться вдоль нее от нуля, считывая номера проходимых координат и приравнивая их а (1), а (2),. .. Затем берем следующую простую цепь, начинающуюся в одной из уже пройденных вершин или в 0, и двигаемся вдоль нее, продолжая считывание, и т. д. до тех пор, пока не будут исчерпаны все вершины графа и тем самым определена полностью перестановка а. Поскольку координаты, лежащие вдоль простой цепи, образуют цепь Маркова (см. п. 2, 3 схемы доказательства теоремы 4.2), из построения а сразу же следует возможность представления распределения X в виде (4.5). В отдельных случаях перед построением а может оказаться удобным в графе G изменить некоторые несущественные связи, соответствующие независимым координатам (ср. с теоремой 4.2). 4.2.3. Нормальное распределение с ДСЗ. Пусть X имеет невырожденное р-мерное распределение с вектором средних М и ковариационной матрицей 2 — №и с известной структурой зависимостей, заданной функцией /(/). Вопросы, связанные с нахождением / (/), обсуждаются в следующем параграфе. Наша ближайшая цель — найти общий вид плотности X. [c.150]
Предполагая, что наблюдаемая п — мерная случайная величина х = (хг,. .., хп) подчинена нормальному распределению. /V (О, С) с нулевым средним и ковариационной матрицей С = (Су), i = 1,. .., п, j = 1,. .., п, [c.265]
Для нормального Марковского процесса формула (6.1) дает Гауссово -мерное распределение с условным средним значением [c.67]
Можно, однако, показать (см., например, [20, 651), что если исследуемые случайные переменные (х(0), х(1 . .., х(р)) подчиняются многомерному нормальному закону (см. [14, п. 6.1.51), то указанные неудобства автоматически исчезают, так как в этом случае частные коэффициенты корреляции не зависят от уровней мешающих переменных х, определяющих условие в соответствующем условном распределении. В частности, имеет место следующая формула (при условии невырожденности (р + 1)-мерного нормального закона) [c.83]
Невырожденные р-мерные нормальные распределения с ДСЗ имеют очень простой вид матрицы 2J-1, где S — ковариационная матрица координат вектора. В S-1 над главной диагональю стоит не более р — 1 отличных от нуля элементов. Эта малопараметричность описания ковариационной матрицы в сочетании с большим разнообразием описываемых классов зависимостей, включающим, в частности, все ковариационные матрицы цепей Маркова, делает распределения с ДСЗ одним из основных инструментов в многомерном анализе. [c.162]
Для описания многомерного распределения предлагается распределение части координат (Х(1)) аппроксимировать стандартной нормальной моделью или считать таким, как оно получилось в выборке, а распределение остальных координат (Х<2)) заменить на надлежащим образом подобранный (р—5)-мерный нормальный закон со средним, линейно зависящим от Х(1), и ковариационной матрицей V условного распределения Х(2> при фиксированном значении Х(1), от Х(1) не зависящей. Но это и есть модель линейной многомерной регрессии, в которой Х(1)играет роль предикторной точки-наблю-дений (X), Х(2> — роль многомерного результирующего показателя (У), Е (Х(2) Х(1>) — многомерная регрессия Х(2> на Х(1), а Х(2) — Е(Х(2) Х >) — регрессионные остатки с ковариационной матрицей V. [c.234]