Равновесие Нэша в смешанных стратегиях (NEm). Игра "Монетки" и NEm. Способ решения и геометрия игры функции или отображения отклика. Теорема Нэша о существовании (доказательство) и следствие существование NEm. Теорема Брауна-Джексон о сходимости NEt к NEm, как способ вычисления NEm. Седло (Sad) как пересечение NE и ММ, его существование в антагонистической матричной игре. [c.93]
Воспользуйтесь теоремой Нэша. [c.524]
Сформулируйте и докажите существование равновесия в модели с дифференцированными продуктами. (Предположите, что для каждого из олигополистов вне зависимости от цен остальных олигополистов существует цена выше которой спрос равен нулю. Остальные условия сходны с условиями использованными при доказательстве существования в модели Курно. Воспользуйтесь теоремой Нэша.) [c.569]
Теорема Нэша). Равновесие Нэша в смешанных стратегиях существует в любой конечной игре. [c.644]
Из анализа всевозможных ситуаций видно, что биматричная игра всегда имеет по меньшей мере одну точку равновесия по Нэшу, что является наглядной иллюстрацией теоремы Нэша о существовании равновесия. Отметим при этом несколько качественных особенностей, существующих равновесий. [c.75]
Теорема 1. Все равновесия Нэша (в смысле замечания 1), в [c.58]
В ряде работ Нэш доказал теоремы существования равновесия и для других игр. Им же были предложены и другие понятия оптимальности, уточняющие понятие ситуации равновесия, но для них общих теорем существования нет. [c.374]
Дж. Нэшем было доказано существование ситуации равновесия в смешанных стратегиях для любой конечной бескоалиционной игры. Теорема. В каждой бескоалиционной игре [c.171]
Заметим, кстати, что эта теорема также была доказана Дж.Нэшем. [c.176]
Теорема 1 (Нэш, 1951) Пусть для всех (г е /) все Xi компактны и выпуклы, все щ(.) непрерывны и вогнуты по xif тогда множество NE 0, компактно. [c.7]
Теорема о плохом колхозе ) Пусть доход уЕ артели ( колхоза ) есть простая сумма результатов уг 0, создаваемых усилиями отдельных участников г = 1,. ..,п. Доход распределяется поровну. Функция полезности иг(гг,уг) каждого участника возрастает по его доходу гг = у- /п, и убывает по его усилиям уг. Показать, что если хотя бы один участник в равновесии Нэша осуществляет усилия (Зг уг>0), то оно не Парето-оптимально. Предложите Парето-улучшение. [c.344]
Если использовать только что введенные обозначения, то Теорема 1 утверждает, что если х — равновесие Нэша в исходной игре G, то на любом шаге t выполнено [c.646]
Х[ = ж , Vie/, Vt = l,. .., t. Теорема утверждает, что ж является единственным равновесием Нэша исходной игры. [c.647]
Поскольку, согласно доказанной только что теореме, ни одно из равновесий Нэша не может быть отброшено, нам остается только доказать, что указанный набор стратегий ж является равновесием Нэша. Предположим, что это не так. Это означает, что существует стратегия хг некоторого игрока г, такая что [c.647]
В Таблице 16 подчеркнуты оптимальные отклики игроков на стратегии, выбранные партнером. Из таблицы видно, что в рассматриваемой игре есть 3 равновесия Нэша. Только одно из этих равновесий совпадает с решением, полученным обратной индукцией. Указанная ситуация является типичной, т.е. решение, полученное методом обратной индукции всегда является равновесием по Нэшу, что показывает следующая теорема. [c.659]
Теорема 2.1. Управление в иерархической корпоративной подсистеме является вертикально согласованным тогда и только тогда, когда устанавливается равновесие Нэша. [c.93]
Теорема 2.3. Управление в неиерархической поликорпоративной системе является горизонтально-согласованным тогда и только тогда, когда устанавливается равновесие Нэша. [c.99]
Теорема 2.4. Равновесие взаимодействий по Нэшу в поликорпоративной системе устанавливается тогда и только тогда, когда совокупные потери всех АЭ системы от взаимодействий не превышают совокупный эффект взаимодействий [c.100]
Докажем достаточность соблюдения условия (2.21) для выполнения условия (2.20). Предположим, что условие (2.20) выполняется, то есть сочетание индикаторов yk является равновесием Нэша согласно теореме 2.1 [c.104]
Для доказательства теоремы достаточно показать, что мы можем так изменить (TI(X) и (TI(X) в точке х, что новая система реализуема, является равновесием Нэша и выигрыши центров при этом не уменьшатся (АЭ должен получить не меньше, так как иначе ему будет невыгодно выбирать х ). [c.98]
Существование БН-равновесия немедленно следует из теоремы существования равновесия по Нэшу. [c.127]
Таким образом, задача поиска равновесия по Нэшу весьма естественно формулируется в терминах теории вариационных неравенств. Существование и единственность равновесия по Нэшу может быть установлена при помощи результатов раздела 2. В частности, наиболее известный результат для бескоалиционных игр является простым следствием теоремы 2.1. [c.64]
Заметим, что принципиальная важность теоремы Нэша ограничивается вопросом существования лпуации равновесия. Непосредственно применять ее для нахождения i. ui x ситуаций не удается, так как сама [c.173]
Док аз ательство. Возьмем отображение ф из доказательства теоремы Нэша (см. п. 9.1) и покажем, что оно преобразует множество всех симметричных ситуаций в себя. [c.175]
Таким образом, мы имеем дело с непрерывным отображением компакта симметричных ситуаций в себя. По теореме Брауэра это отображение имеет неподвижную точку, которая, как это было выяснено в ходе теоремы Нэша, является ситуацией равновесия. П [c.176]
Существенно проще с технической точки зрения оказывается доказательство теоремы Нэша, если вместо сравнительно элементарной теоремы о неподвижной точке Брауэра воспользоваться более тонкой теоремой Каку-тани. [c.264]
Связь матричных игр с линейным программированием и нахождение NEm. Доказательство Сл. 1.1 для антагонистических (матричных) игр двух лиц можно проводить и независимо от теоремы Нэша, через линейное программирование, что дает также способ поиска NEm для этих игр. Для этого задачу 1-го игрока записывают в форме максимизации (неизвестной ему заранее) цены игры //0 по переменным //о,/А при ограничениях ц, > О, Sf li/ = lr fJ-ak > ц0 (k = 1,...,п2), где ak e Rni — столбцы матрицы платежей (а ) = (MI(X ,X )). Здесь ограничения типа > выражают гипотезу 1-го о неблагоприятном поведении противника (максимин). Легко проверить, что задача противника есть двойственная к описанной задаче. Таким образом симплекс методом можно найти седловую пару в игре Gm, она является и Нэшевской парой. Для случая биматричной игры 2x2 также легко найти NEm графически, строя функции (или отображения) NRi(x i) отклика игроков на действия партнеров. [c.7]
Заметим, что если выполнены условия теоремы существования (Теорема 3), то при одинаковости функций издержек всегда существует симметричное равновесие. В силу симметричности задач олигополистов мы имеем одинаковые отображения отклика Н(уъ. .., ун, ум, уп). Предположим, что yk = ys, где k, s Ф г и рассмотрим отображение R(y,. .., у, у, у). Оно по теореме Какутани (с помощью которой доказывается теорема Нэша) имеет неподвижную точку, что и доказывает существование симметричного равновесия. [c.527]
Терема Нэша доказывается на основании теоремы Какутани следующим образом. [c.265]
Совершенное в подыграх равновесие (SPE). Игра "Пилот и террорист". Обратная индукция (алгоритм Куна) для нахождения SPE. Связь между развернутой и нормальной формами игры. Примеры повестки дня при голосовании, игра в спички, "пираты", конечные и бесконечные процедуры торга по Нэшу в игре "дележ пирога с дисконтированием". Отношение SPE к NE, к SE. Теоремы существования SPE, SE, и единственность при "неповторимости исходов". [c.94]
Условия данной теоремы гарантируют нам существование равновесия Нэша-Курно в чистых стратегиях. Если мы откажемся от предположений 3)-4), то, применяя теорему Гликсберга [c.523]
С другой стороны, набор О IBM и ( IBM, Ma ) является равновесием по Нэшу в полной игре и соответствует равновесиям по Нэшу в каждой из собственных подыгр. Поэтому данный набор стратегий является совершенным в подыграх равновесием. Видим, что он совпал с тем решением, которое мы раньше получили, применив обратную индукцию. Это совпадение не является случайным, как показывает следующая теорема. [c.661]
Существует теорема (в англоязычной литературе она известна под названием Folk Theorem, что на русский можно перевести как Народная теорема ), утверждающая, что в бесконечно повторяющейся конечной статической игре с полной информацией любой разумный вектор выигрышей может возникнуть в некотором совершенном в подыграх равновесии, если дисконтирующие множители достаточно близки к единице. Под разумным вектором выигрышей мы понимаем такой вектор выигрышей, который является выпуклой комбинацией выигрышей исходной игры (с точностью до множителей 1 - 5г, необходимых для того, чтобы сделать выигрыши сопоставимыми), и кроме того, в нем каждый элемент должен быть не меньше некоторой пороговой величины. В разных вариантах теоремы пороговая величина разная это либо выигрыш в каком-либо равновесии Нэша исходной [c.691]
Как следствие предыдущей теоремы верен следующий результат Лемма 4.1.2.. Пусть ((сгДж)),ж ) — некоторое равновесие Нэша. Тогда для любого р существует такая n-пиковая функция стимулирования <тр(ж), что 66 [c.66]
Следующий классический пример, связанный с повторяющимся взаимодействием участников — неявный сговор в олигополии. Он базируется на так называемой Folk Theorem ("народной теореме", "фольклорной теореме" — см. гл.2), которая утверждает, что любые выигрыши двух фирм, которые дают каждой из фирм больше максиминного выигрыша и в сумме меньше, чем монопольная прибыль (за период) может поддерживаться в равновесии, если будущее ценится фирмами достаточно высоко. Как и во многих случаях, здесь возникает неприятный момент множественности равновесия, который, увы, оказывается весьма существенным и вынуждает пытаться вводить различные модификации равновесия по Нэшу. [c.17]
Теорема 1.7.2 (Gli ksberg (1952)). Если в игре Г множества Si стратегий игроков являются непустыми компактными подмножествами метрического пространства, а функции выигрышей ъц непрерывны, то существует равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях. [c.48]
Теорема 2.1.1 (Kuhn, 1953)7. В конечной игре с совершенной информацией существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях. [c.89]
Теорема 2.5.1 (Friedman, 1971). Пусть G конечная, статическая игра с полной информацией. Пусть (ei,...,en) выигрыши в состоянии равновесия по Нэшу, и пусть (zi,...,zn) — любой достижимый вектор выигрышей в G. Если Xi > ег-для любого i и 5 — достаточно близко к 1, то существует СПРН в игре G (oo, 5], дающее (zi,...,zn) в качестве среднего выигрыша. [c.114]