Такой выбор функции fn отражает сформулированное А. Вальдом представление о том, что принятие решения в условиях неопределенности разумно ориентировать на реализацию наименее благоприятной, минимизирующей альтернативы. Такой принцип оптимальности, основанный на максимизации минимального выигрыша, носит название принципа максимина, а выбираемая игроком 1 на его основе стратегия — максимин-ной стратегией. В соответствии с принципом максимина игрок 1 в игре Г может обеспечить себе максиминный выигрыш [c.28]
Стратегия St называется максиминной, т.е. при любом из условий конъюнктуры рынка результат будет не хуже, чем W — 1020 д.е. Поэтому такую величину называют нижней ценой игры, или максимином, а также принципом наибольшего гарантированного результата на основе критерия Валь-да, в соответствии с которым оптимальной стратегией при любом состоянии среды, позволяющем получить максимальный выигрыш в наихудших условиях, является максиминная стратегия. [c.335]
Максиминный критерий Вальда. Здесь выбирается решение торговой организации, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния природы ) [c.153]
Оптимальным решением в данном случае будет то, для которого выигрыш окажется максимальным из минимальных при различных вариантах обстановки (так называемый максиминный критерий Вальда). Из табл. 3.38 следует, что таким решением является Р,, при котором максимальный из минимальных результатов равен 0,25. [c.162]
Таким образом, разумной стратегией игрока 2 можно считать ту, при которой наибольшие его потери окажутся минимальными. Такой принцип оптимальности, основанный на минимизации максимальных потерь, называется принципом минимакса, а выбираемая в соответствии с этим принципом стратегия игрока 2 — его минимаксной стратегией. Заметим, что принимаемый игроком 2 принцип минимакса является таковым с точки зрения игрока 1 с собственной же точки зрения игрока 2, оценивающего свой выигрыш — Я, его следовало бы называть также принципом макси-мина. Поэтому часто говорят об использовании принципа максимина обоими игроками в антагонистической игре. После сделанной оговорки употребление этого оборота не должно будет приводить нас к недоразумениям. Минимаксные потери игрока 2 в игре Г будут равны [c.29]
Минимакс (2.6) можно понимать также как такой выигрыш игрока 1, что получению им большей суммы может воспрепятствовать игрок 2. Естественно считать, что максимин (2.5) не должен превосходить мини-макса (2.6). В следующем параграфе это предположение будет доказано. [c.29]
Если в соотношении (3.5) имеет место равенство, то игрок 1 получает ровно столько, какой предел его устремлениям кладет игрок 2. В этом случае использование игроками соответственно принципов максимина и минимакса (а, как отмечалось в п. 2.6, в таких случаях принято говорить об использовании принципа максимина обоими игроками) приводит к полному определению значений выигрышей игроков в антагонистической игре. Такую игру принято называть вполне определенной, а принцип максимина применительно к ней - реализуемым. [c.31]
Если же неравенство (3.5) является строгим, то игрок 1 может обеспечить себе получение меньшей суммы (максимин), чем предел, граница его выигрыша, устанавливаемая игроком 2 (минимакс). Разность между минимаксом и максимином оказывается тем количеством, разумное (" оптимальное") разделение которого между игроками остается открытым. В этом случае использование игроками принципа максимина не приводит к определению значений выигрышей игроков и остается нереализуемым. [c.31]
Рассмотрим игру Г с матрицей выигрышей -U 51 Максимин элементов [c.68]
Противоречие между осуществимостью ситуации, выражаемой в виде равновесности и ее выгодностью, которой соответствуют оптимальность по Парето, имеет по существу ту же природу, что и противоречие между максиминным и минимаксным выигрышами. Поэтому оно должно разрешаться при помощи аналогичных приемов, состоящих в расширении множеств уже имеющихся стратегий. Следующие два параграфа мы посвятим этому вопросу. [c.186]
В результате проведенных рассуждений вопрос о наибольшем гарантированном выигрыше коалиции К в игре Г из (1.1) превратился в вопрос о наибольшем гарантированном выигрыше игрока 1 в антагонистической игре Тк из (1.3). Но этот выигрыш есть, в соответствии с принятым принципом максимина, значение игры Г (разумеется, в предположении, что игра (1.3) имеет значение). Очевидно, значение игры Г зависит в конечном счете только от коалиции К (и еще, разумеется, от самой исходной бескоалиционной игры Г, которая, однако, в наших рассуждениях остается одной и той же), являясь ее функцией. Эта функция называется характеристической функцией бескоалиционной игры Г. Мы будем ее обозначать через 1>г. Подчеркнем, что характеристическая функция всякой бескоалиционной игры задана на семействе всех подмножеств множества [c.203]
Итак, если игрок А будет придерживаться максиминной стратегии, то ему при любом поведении игрока В гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньший ее. [c.92]
В частности, максиминный критерий Вальда обеспечивает максимизацию минимального выигрыша или, что то же самое, минимизацию максимальных потерь, которые могут быть при реализации одной из стратегий. Данный критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения. Величина, соответствующая максиминному критерию, называется нижней ценой игры, под которой следует подразумевать максимальный выигрыш, гарантируемый в игре с данным противником выбором одной из своих стратегий при минимальных результатах. [c.56]
Максиминный критерий Вальда используется в случаях, когда требуется гарантия, чтобы выигрыш в любых условиях оказывался не менее чем наибольший из возможных в худших условиях. [c.86]
В общем случае ситуация в максиминных стратегиях не всегда является равновесной. Это заставляет игроков адаптироваться друг к другу, выдвигать последовательно усложняющиеся гипотезы об ответных реакциях конкурента и собственных контрмерах. Такое поведение называют рефлексивным. Оно побуждает каждого игрока отклоняться от своей макси-минной (минимаксной) стратегии с целью улучшения значения выигрыша в свою пользу. В таком случае первый игрок может только предполагать, как поступит второй будет ли он придерживаться своей максиминной стратегии Ь или отклонится от нее. В значительной степени на решения игроков по-прежнему будут влиять их личностные качества, величина предполагаемого выигрыша v(a, b ), а также их искусство блефовать и рефлексировать. В конечном итоге выиграет тот, кто более искусно маскировал свои истинные намерения и удачнее предсказал намерения своего соперника. [c.243]
Кроме того, важно знать, что равновесный (по Нэшу) выигрыш для каждого из игроков не меньше по величине, чем выигрыш в максиминной ситуации равновесия, т. е. в общем случае [c.246]
Следовательно, если при анализе биматричной игры будет установлено, что равновесные выигрыши игроков существенно превосходят максиминные, то в таком случае игрокам стоит подумать о перспективах применения равновесных стратегий. С одной стороны, если они применят равновесные стратегии, они могут получить существенно более предпочтительные результаты. И следование такой идее может быть провозглашено как принцип групповой рациональности. Но ведь если один из игроков отклонится от равновесной ситуации, например применит максиминную, то его-то выигрыш не улучшится, а другому это может оказаться на руку. Таким образом, применение каким-то игроком его максиминной стратегии, его поведение в соответствии с принципом индивидуальной рациональности, гарантирует этому игроку пусть скромный, но "независимый", гарантированный результат. А вот следование равновесной (по Нэшу) стратегии хотя и обещает игрокам потенциальные преимущества в игре, но требует от них определенной смелости. То есть равновесные стратегии по своей сути более рискованные. [c.246]
Максиминные стратегии сторон остаются прежними (не идти на сокращение выпуска продукции). Равновесных по Нэшу ситуаций для данной игры две (1,1) и (2,2). Ситуация (2,2) доминирует над ситуацией (1,1). Выигрыш в ситуации (2,2) [c.249]
Эта игра похожа на ту, которую мы обсуждали в примере 1. Для этой игры имеются две ситуации равновесия по Нэшу, выигрыши в которых превосходят максиминный уровень. Эти ситуации принципиально отличаются по предпочтительности для каждой из сторон ситуация (1,1) более предпочтительна второму игроку, а ситуация (2,2) — первому. [c.253]
Если игра будет вестись как бескоалиционная, то, согласно принципу индивидуальной рациональности, игроки применят свои максиминные стратегии и получат реальные (а не гарантированные) результаты, соответствующие ситуации (1,1). Это, конечно, устроило бы второго игрока (его выигрыш стал бы равным 4), но никак не первого. В такой ситуации первый игрок хотел бы применить стратегию угроз, чтобы добиться для себя некоторых уступок от второго. Какие у него в таком случае стратегические возможности [c.254]
Если в исходной матрице по условию задачи результат Vjt представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий. [c.324]
Решение игры состоит в определении наилучшей стратегии каждым игроком. Выбор наилучшей стратегии одним игроком проводится при полном отсутствии информации о принимаемом решении вторым игроком. Следует отметить, что и первый, и второй игрок являются разумными противниками, которые находятся в состоянии конфликта. Поэтому для решения игры двух лиц с нулевой суммой используется очень пессимистичный критерий, так называемый критерий мини-макса-максимина. Этот критерий рассмотрен в подразд. 9.4. Основное отличие заключается в том, что ранее природа не рассматривалась как активный противник, тогда как в теории игр каждый игрок действует разумно и, следовательно, пытается активно помешать своему противнику. Так, если первый игрок применяет стратегию At, то второй будет стремиться к тому, чтобы выбором соответствующей стратегии Bj свести выигрыш первого игрока к минимуму, что равнозначно сведению своего проигрыша к минимуму. Величина этого минимума [c.329]
Величина а называется нижней ценой игры. Ей соответствует максиминная стратегия, придерживаясь которой первый игрок при любых стратегиях противника обеспечит себе выигрыш, не мень- [c.329]
Когда стратегии Р и gf оптимальны, то выполняется строгое равенство между максиминным ожидаемым выигрышем и минимаксным проигрышем, а результирующее значение равно оптимальному (ожидаемому) значению игры. [c.334]
В итоге, если Игрок 1 придерживается избранной стратегии (называемой максиминной стратегией), его выигрыш в любом случае [c.222]
Однако очевидный интерес представляет ситуация, при которой значение выигрыша (платежа), получаемого игроком Л при выборе им максиминной стратегии, равно платежу (проигрышу) П-го игрока при минимаксной стратегии [c.189]
В этом случае говорят, что игра имеет седловую точку. Совпадение значений гарантированных выигрышей игроков при максиминной и минимаксной стратегии означает возможность достижения в игре некоторого оптимального (стабильного, равновесного) состояния, от которого невыгодно отклоняться ни одному из участников. Понятие оптимальность здесь означает, что ни один разумный (осторожный) игрок не стремится изменить свою стратегию, так как его противник, в принципе, сможет выбрать такую стратегию, которая даст худший для пер- [c.189]
В данной матрице минимальные (гарантированные) выигрыши первого игрока по строкам равны 1, 5 и (-3). Следовательно, его максиминному выбору будет отвечать стратегия 2, гарантирующая выигрыш 5. Для второго игрока максимальные проигрыши по столбцам матрицы составят 8, 10, 5, 17, поэтому имеет смысл остановиться на стратегии 3, при которой он проиграет только 5. Таким образом, вторая стратегия первого игрока и третья стратегия второго образуют седловую точку со значением 5, т. е. для игры с матрицей (6.5) имеет решение (2 3 5). [c.190]
Смешанные стратегии. Дальнейшее развитие теории матричных игр основывается на исследовании игры как некоторого повторяющегося процесса. Действительно, вряд ли можно дать содержательные рекомендации по такому вопросу, как следует поступать участникам однократно проводимой игры, не имеющей седловой точки. В случае же ее многократных повторов естественной и плодотворной представляется идея рандомизации выбора стратегий игроками, т. е. внесение в процесс выбора элемента случайности. Действительно, систематическое отклонение, например, игрока I от максиминной стратегии с целью увеличения выигрыша может быть зафиксировано вторым игроком и наказано. В то же время абсолютно хаотичный выбор стратегий не принесет в среднем наилучшего результата. [c.190]
К поиску решения игры в смешанных стратегиях, так же как и в п. 6.1.3, могут быть применены критерии максимина-мини-макса. В соответствии с ними игрок I будет выбирать свою смешанную стратегию лс = (л 1, Xj,. .., хт) таким образом, чтобы максимизировать наименьший средний выигрыш [c.191]
Линии, изображенные на рис. 6.1, задают зависимости среднего выигрыша игрока I от значения вероятности х , с которой он выбирает свою первую стратегию, для случаев, когда его противник выбирает первую, вторую или третью чистую стратегию. Тогда значениям минимального гарантированного дохода первого игрока соответствует нижняя огибающая всех трех прямых. Согласно принципу максимина, оптимальному выбору игрока I будет соответствовать наивысшая точка, лежащая на данной огибающей, отмеченная на рисунке как (л ,, г). Зная ее, можно определить оптимальную смешанную стратегию первого игрока х = (х, 1-х 2) и цену игры, равную г. [c.195]
Теоретико гровой смысл доказанной теоремы весьма прозрачен. Первый игрок получает максимин выигрыша, если противник знает применяемую им чистую стратегию. Но если некоторая его чистая стратегия оптимальна, то это значит, что он может ее применением и ограничиться, а его противник может действовать с учетом этого обстоятельства. Выражаясь несколько вольно, можно утверждать, что наличие у игрока чистой оптимальной стратегии отражает некоторые неблагоприятные для него условия игры, не позволяющие ему "запутывать" противника. [c.57]
Величина б называется нижней ценой игры, максиминным выигрышем или максимином. Соответствующая стратегия называется мак-симинной стратегией. [c.163]
Следующий классический пример, связанный с повторяющимся взаимодействием участников — неявный сговор в олигополии. Он базируется на так называемой Folk Theorem ("народной теореме", "фольклорной теореме" — см. гл.2), которая утверждает, что любые выигрыши двух фирм, которые дают каждой из фирм больше максиминного выигрыша и в сумме меньше, чем монопольная прибыль (за период) может поддерживаться в равновесии, если будущее ценится фирмами достаточно высоко. Как и во многих случаях, здесь возникает неприятный момент множественности равновесия, который, увы, оказывается весьма существенным и вынуждает пытаться вводить различные модификации равновесия по Нэшу. [c.17]
МАКСИМИН [maximin] в теории решений, теории игр — наибольший из всех минимальных элементов строк платежной матрицы. Выбор игроком строки матрицы с максиминным элементом (т.е. выбор соответствующей стратегии) означает, что он решил довольствоваться гарантированным (хотя и не самым большим) выигрышем. Иначе говоря, правило М. — правило принятия осторожных решений. [c.181]
В игре двух лиц с нулевой суммой игрок А, выбирая стратегию, учитывает, что игрок В может действовать наихудшим для игрока А способом. В этом случае игрок А при использовании каждой отдельной стратегии получит минимальный для этой стратегии выигрыш. Естественно поэтому считать оптимальной для игрока А такую его стратегию, в к-рой его минимальный выигрыш максимален. Такой выигрыш, представляющий максимум из минимумов, наз. м а к-с и м и н о м. С другой стороны, игрок В учитывает, что если игрок А действует наилучшим для себя способом, проигрыш игрока В будет максимальным. Поэтому он стремится найти такую стратегию, в к-рой его макс, проигрыш был бы минимальным, т. е. ищет минимум из максимумов, или м и н и м а к с. Во многих играх величина минимакса совпадает с величиной максимина при использовании только чистых стратегий. Такие игры наз. играми с седповой точкой. Максиминная стратегия для игрока А и минимаксная стратегия для игрока В являются для них оптимальными, причем, если игрок А отступит от максимиппой стратегии, уменьшится проигрыш игрока В, а если игрок В отступит от своей минимаксной стратегии, увеличится выигрыш игрока А. [c.154]
Максиминные стратегии игроков приводят к ситуации (1,1), обеспечивающей им одинаковые максиминные результаты равные трем. В то же время игра имеет одну равновесную ситуацию (1,1), совпадающую с максиминной и дающую каждому из игроков выигрыш, равный максиминному. Кроме того, равновесная ситуация доминируется немакси-минной и неравновесной ситуацией (2,2). Таким образом, согласно сформулированным критериям рациональности игра имеет решение в максиминных чистых стратегиях. Содержательно это означает, что при отсутствии действенных мер контроля за соблюдением соглашения и санкций за допущенные нарушения ни одной из сторон невыгодно идти на сокращение выпуска продукции. [c.249]