В этой главе X всегда будет обозначать матрицу (обычно квадратную) вещественных переменных, a Z — матрицу комплексных переменных. Мы рассмотрим дифференциалы скалярных функций X (собственные значения, определитель), векторных функций X (собственные векторы), а также матричных функций X (обратная, МП-обратная, сопряженная матрицы). [c.196]
Мы будем рассматривать скалярные функции 0, векторные функции / и матричные функции F. Каждая из них может зависеть от одной вещественной переменной , вектора вещественных переменных х или матрицы вещественных переменных X. Таким образом, мы получаем классификацию функций и переменных, представленную в табл. 1. [c.223]
Безусловно, определение 2 имеет некоторые достоинства. Во-первых, если F является матричной функцией только одной переменной , то dF( )/д имеет тот же размер, что и F( ). Во-вторых, если ф — скалярная функция матрицы X, то размер дф(Х /дХ снова совпадает с размером X. В частности, если ф — скалярная функция вектор-столбца ж, то дф/дх — вектор-столбец, а дф/дх — вектор-строка. Кроме того, это определение предлагает четыре способа для упорядочения тп частных производных векторной функции f(x) размера т х 1, где х — вектор переменных размера п х 1 df/dx (матрица размера га х n), df /dx (матрица размера п х га), df/dx (тп х 1 вектор) и df /dx ( 1 х ran вектор). [c.225]
Если / есть 7п х 1 векторная функция от ж, то производная (или матрица [c.226]
Будем искать матрицу Якоби функции не путем вычисления каждой частной производной, а с помощью определения дифференциала. Для дифференцируемой векторной функции /(ж), согласно первой теореме об идентификации (теорема 5.6),существует взаимно-однозначное соответствие между дифференциалом функции of / и ее матрицей Якоби. А именно из равенства [c.228]
В этой таблице ф — скалярная функция, / — векторная функция размера 7П х 1 и F — матричная функция размерности т х р — скаляр, х — п х 1 вектор и X — матрица размера п х q а — скаляр, а — вектор-столбец и А — матрица, которая может быть функцией от X, х или . [c.230]
Показать, что матрица Якоби для векторной функции f(x) = Ag(x) равна 0/(ж) = ADg(x), и обобщить этот результат на случай, когда А — матричная функция от х. [c.236]
Показать, что матрица Якоби для векторной функции f(X) = X а равна D/pO = 7 а. [c.237]
В этой таблице ф есть скалярная функция, / — векторная функция размера т х 1 и F — матричная функция размера т х р — скаляр, ж — n x 1 вектор и X — n x g матрица /3 — скаляр, b — вектор-столбец и В — матрица, которые могут зависеть от X, х или . В случае векторной функции / имеем [c.247]
Дифференциальное уравнение в частных производных для матрицы ковариационных функций (ковариационная функция векторного случайного процесса) [c.174]
Производной векторной (т х 1) функции f(x) от векторного (я><1) аргумента х = (х, х ,..., х ) называется тп-матрица [c.276]
Основным инструментом в этой главе будет первая теорема об идентификации (теорема 5.11), которая говорит, как получить производную (матрицу Якоби) из дифференциала. На основании этой теоремы мы действуем следующим образом (i) вычисляем дифференциал матричной функции F(X), (ii) представляем в векторной форме, получая соотношение d ve F(X) = A(X)d ve X, и (iii) заключаем, что DF(X] = A(X). Простота и изящность этого подхода будет продемонстрирована на многих примерах. [c.223]
Сначала найдем информационную матрицу для общего случая, когда каждый элемент В, Г и S является известной функцией некоторого векторного параметра 0. [c.422]
Обобщение дифференциального исчисления векторных функций на функции матричные проводится непосредственно. Рассмотрим матричную функцию F S — > Rmxp, определенную на множестве S С Rnxgr. Иными словами, F отображает матрицу X из S размера п х q в т х р матрицу F(X). [c.134]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Ранее мы определили матрицу, которая содержит все частные производные первого порядка. Это была матрица Якоби. Теперь определим матрицу (называемую матрицей Гессе), которая содержит все частные производные второго порядка. Дадим определение этой матрицы сначала для вещественных, а затем для векторных функций. [c.141]
Пусть / S —> Rm, S С Rn есть векторная функция, а с есть точка из , в которой существуют ran2 частных производных второго порядка Dj ./ ). Тогда ran x n матрица Гессе Н/(с) определяется как [c.142]
Первая матрица является симметрической, вторая — нет. Достаточные условия для симметричности матрицы Гессе вещественной функции выведены в 7. Матрица Гессе векторной функции / не может, конечно, быть симметрической, если га 2. Мы будем говорить, что Н/(с) симметрична по столбцам, если матрица Гессе каждой из ее компонент / (г = 1,.. . , га) является симметрической в точке с. [c.142]
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай га = 1 (почему ), при котором векторная функция / превращается в вещественную функцию ф. Пусть М = (rriij) — симметрическая матрица порядка п, зависящая от с и и, такая что [c.151]
Пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка п. Пусть UQ — нормированный собственный вектор, соответствующий ее простому собственному значению AQ. Тогда существуют вещественная функция А и векторная функция и, определенные для всех X из некоторой окрестности N(XQ) С Rnxn матрицы XQ, такие что [c.209]
Таким образом, выполнены условия теоремы о неявной функции (теорема А.З из приложения к гл. 7). Значит, существуют окрестность N(X ) С Rnxn матрицы XQ, единственная вещественная функция А N(XQ) — > R и единственная (с точностью до знака) векторная функция и N(X0) — > Rn, такие что [c.210]
Пусть АО — простое собственное значение (возможно, комплексное) матрицы ZQ G Спхп (множество комплексных матриц размера п х п), и пусть UQ — соответствующий ему собственный вектор, т.е. ZQUQ = XQUQ. Тогда существуют комплексная функция А и (комплексная) векторная функция и, определенные [c.212]
Мы начнем эту главу с некоторых вопросов, касающихся обозначений. Будем обозначать частные производные матричной функции F(X) как dfst(X)/dxij, что позволит рассматривать матрицу Якоби матричной функции по аналогии с матрицей Якоби векторной функции. [c.223]
Так как в определении 1 матрицы F(X) и X присутствуют в векторной форме (ve F и ve X), изучение матричных функций матричных аргументов сводится к изучению векторных функций от векторных аргументов. В результате не требуется иметь дело с такими неприятными выражениями, как [c.227]
Найти матрицу Якоби для векторной функции f(x) = V
Для векторной функции / Rn —> Rm определим матрицу Гессе как блочную матрицу [c.244]
Вторая теорема об идентификации для векторных функций (теорема 6.7) позволяет найти матрицу Гессе векторной функции /(ж) размера т х 1. Если BI, В<2,. . . , Вт — квадратные матрицы и [c.246]
Третья часть является прикладным ядром книги. Она содержит правила работы с дифференциалами, список дифференциалов от важных скалярных, векторных и матричных функций (включая собственные числа, собственные векторы и обратные матрицы Мура—Пенроуза). Также приведены таблицы идентификации для матриц Гессе и Якоби. [c.16]