Дальнейшее развитие численных методов было связано со стремлением учесть как ограничения u U, так и дополнительные условия F1=.. =Fm=Q (обычно они имели форму условий на правом конце траектории Ф( [х(Т)]=0). Кроме того, предметом особых усилий были ограничения в фазовом пространстве (Ф [х (t)] 0 при всех t) и ограничения общего вида (Ф [х (t), и (f)] 0). Именно связанные с учетом таких условий трудности стимулировали развитие методов вариаций в фазовом пространстве ( 15, 16 см. также [55], [56]). Эти методы настолько успешно справлялись с ограничениями в фазовом пространстве, что возникающие на этом пути серьезные трудности (отсутствие сходимости в методе локальных вариаций, медленная сходимость, ненадежные и неточные результаты, учет условий u U) в какой-то мере выпали из поля зрения. К тому же на основании спорных оценок числа операций был сделан вывод о преимуществе метода локальных вариаций перед другими итерационными методами (метод трубки, см. 16), и эта форма вариаций в фазовом пространстве стала, видимо, основным вычислительным инструментом. [c.112]
Простые геометрические ограничения и (t) U превращаются в ограничения в фазовом пространстве, т. е. в ограничения в терминах функционала типа (1) они учитываются так, как это было описано выше, что увеличивает размерность задачи линейного программирования (15, 19). Правда, соответствующие элементы h n матрицы этой задачи вычисляются просто А = ( я—tn ) левее соответствующей точки аппроксимации, / =0 — правее ее. В целом замена (15) оказывается оправданной и позволяет эффективно решать прикладные задачи с хорошей точностью. [c.185]
В [77] решается задача быстродействия при ограничении в фазовом пространстве max xl (t) хс. Это условие, так же как и ог- [c.309]
Второе направление связано с построением минимизирующей последовательности траекторий, причем в качестве независимого аргумента берется не управление, а фазовая траектория (метод вариаций в фазовом пространстве). При таком подходе легко учитываются фазовые ограничения, однако возникают другие трудности. Этому направлению также уделено сравнительно небольшое место, так как имеются монографии [57], [86], посвященные, в основном, именно этому подходу. [c.109]
Вычисление показателей Ляпунова требует больших затрат времени. Теоретически показатели Ляпунова остаются постоянными, независимо от того, какие параметры выбираются для их измерения. Увы, реальная жизнь вносит некоторую неясность в эту проблему. Экономический временной ряд включает в себя все фазы системы, а не только хаотические. Наши параметры должны выбираться для максимизации измерения растяжения точек в фазовом пространстве и в то же время минимизации складывания , или ограничений, которые могут иметь место, когда рыночная активность действительно случайна или когда она низка. [c.203]
Перейдем к вопросам сходимости в вычислительной схеме Н. Н. Моисеева. Основное осложнение связано с тем, что теперь в разностной задаче (7) точки х могут принимать лишь дискретные значения а ., принадлежащие сетке 5. Поэтому в принципе может оказаться, что ни для какой пары точек из соседних сеток я., ж +1 не удастся построить соединяющей их траектории (1) на малом интервале [tt, t +1]. В этом случае разностная задача просто не имеет решения. Чтобы избежать этой опасности, следует наложить определенные ограничения на /г-шаг сетки по фазовым координатам. Кроме того, нужно гарантировать разрешимость элементарной операции. Эти вопросы исследовались в работах [56], [37]. Разрешимость разностной задачи и сходимости численного решения к решению задачи (1)—(5) была доказана в предположении некоторых свойств непрерывности функции Беллмана решаемой задачи. Однако для практики вычислений более существенным является другое условие шаги сетки hr по r-й компоненте фазового пространства должны быть связаны с шагом сетки по времени т соотношением ftr=T1+P>-, где рг 1 — некоторые числа, зависящие от строения области достижимости за малое время т для системы (1). Напомним, что областью достижимости D (Z, t) называется совокупность правых концов траекторий системы x=f (х, и), х (0)=z при произвольных измеримых и (t), и ( ) U, О t т. В работе автора [93] те же вопросы были решены только с одним предположением h—0 (t2). При этом под элементарной операцией следует понимать решение следующей простой геометрической задачи, являющейся аппроксимацией дифференциальной на малом интервале времени. Для расширенной системы (1) (пополненной уравнением x°=f(x, u), х° (0)=0) строится в каждой точке х область x- -tf (х, U) (если / (х, U) не выпукла, следует заменить ее выпуклой оболочкой). Далее эта область расширяется присоединением всех сфер радиуса ft2 с центрами в ж+т/ (x1U), Полученную область в пространстве х°, х1,.. ., хп обозначим DT (х), а ее проекцию на гиперплоскость х1, а 2,. ... . ., х" — jD (х). Если шаги сеток А=ста, то при определенном соотношении между с и С можно утверждать, что для любой точки xlj 5" найдется хотя бы одна точка xj.+i 5 41 такая, что [c.125]
Если рассматривать самолет как точку, движущуюся в пространстве, то это простой объект. В каждый данный момент можно определить его положение в пространстве допустим, широту, долготу и высоту над уровнем моря эти три величины в данном случае его фазовые координаты. Те или иные углы поворота рулей самолета, которыми определяется направление его полета, — управляющие параметры. Совокупность этих параметров (ограниченных определенной областью управления) называется собственно управлением, траектория полета — фазовой траекторией. Задача оптимального управления состоит в том, чтобы выбрать такие из названных величин, которые обеспечат наиболее быстрый прилет самолета на место (впрочем, могут быть и другие критерии, тогда решения задачи будут иными, напр. перелет с наименьшим расходом горючего). [c.185]
Q (t) — заданное в пространстве R" замкнутое ограниченное множество. В качестве цели, стоящей перед объектом (1.67), будем рассматривать такую, которая может быть достигнута при выполнении тех или иных фазовых ограничений вида [c.47]
Вместо простого условия 0 u(i) l появляются гораздо более сдожные ограничения в фазовом пространстве [c.297]
УПРАВЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ (или управления) [ ontrol parameters] — понятиелга-тематической теории оптимальных процессов, динамического программирования переменные величины (функции времени), определяющие направление и скорость движения управляемой системы в фазовом пространстве. У.п. характеризуют решения, которые надо осуществлять в каждый данный момент времени из интервала между начальным и конечным состояниями системы. Допустимые управления удовлетворяют ограничениям задачи. Оптимальное управление (см.) обеспечивает достижение наибольшей эффективности управляемого процесса, т.е. максимального (при задаче максимизации) или минимального (при минимизации) значения целевой функции. [c.371]
Метод локальных вариаций. Метод, разработанный Ф. Л. Чер-ноусько, представляет собой, видимо, наиболее широко используемую форму метода вариаций в фазовом пространстве. Метод носит итерационный характер, каждая итерация является переходом от некоторой траектории к близкой к ней, лучшей по величине минимизируемого функционала. Пусть х (t) — некоторая траектория системы я=/, удовлетворяющая краевым условиям х (0) = =Х0, х (Т)=Хг и фазовым ограничениям. Эту траекторию можно представить последовательностью точек на временнбй сетке [c.127]
Отметим основное отличие данной реализации метода динамического программирования от схемы вычислений 15. Оно связано с использованием интерполяции функции Беллмана F (х1, х ) с узлов сетки. Этим снимается ограничение на шаг сетки в фазовом пространстве типа h=o (t), необходимое в схеме метода Н. Н. Моисеева. Вместе с тем интерполяция является источником определенных ошибок, тем более, что сетки приходится брать сравнительно грубые. Кроме того, используя интерполяцию, неявно предполагают наличие у функции Беллмана таких свойств гладкости, которых может и не быть. Известны простые примеры задач, в которых функция Беллмана разрывна, а наличие разрывов производной может считаться почти общим явлением. Схема вычислений 15 может быть (при h=0 (t2)) обоснована без всяких предположений о свойствах функции Беллмана. Что касается реализации алгоритма на ЭВМ, то в данном случае наибольшие ограничения связаны с ресурсом памяти. Вычисления в [4] тре= буют N таблиц по 30x30 величин, однако при вычислении очередной функции Fn (х1, х2-) в оперативной памяти нужно иметь только две такие таблицы. [c.307]
Цикл от вершины до вершины качания характеризует собой орбиту. Поскольку маятник всякий раз не может завершить цикл, его фазовый портрет будет состоять из орбит, которые никогда не будут одинаковыми и не будут периодическими. Такой фазовый портрет выглядит случайным и хаотическим, но он ограничен определенными пределами (максимальной амплитудой маятника) и всегда будет вращаться по часовой стрелке, хотя размеры орбит и время их прохождения будут разными. Это хаотический, или странный, аттрактор . Поскольку хаотические аттракторы к тому лее имеют фрактальную размерность (как мы увидим позже), Мандельброт называет их фрактальные аттракторы — это название лучше нежели странные , но оно не привилось. Странный аттрактор заключает в себе все возможности. Равновесие становится областью в фазовом пространстве — ограниченной областью с бесконечным количеством решений, подобно тому как это имеет место в треугольнике Серпинского и снежинке Кох. [c.167]
В фазовом пространстве (NPV, G) выделим прямоугольник, ограниченный левыми и правыми точками NPV и G. Этот прямоугольник представляет собой поле равновозможных событий, характеризующих результат инвестиционного процесса. На рис. 3.6 [4] показана заштрихованная зона неэффективных инвестиций, ограниченная прямыми G = GI, G = 62, NPV = NPVi, NPV = NPV2 и биссектрисой координатного угла G = NPV. Взаимные соотношения параметров Gi,2 и NPVi,2 дают следующий расчет для площади заштрихованной плоской фигуры (к сожалению, в [4] соответствующая формула записана с ошибкой, т.к. упущен один из возможных случаев соотношения NPV и G) [c.62]