ML-оценка для 70 в нелинейной регрессионной модели (1) получается как решение векторного уравнения /(7) = 0. Информационная матрица имеет вид 7"п(7о) и асимптотическая матрица ковариаций ML-оценки для 7 равна [c.406]
Ясно, что разным весовым матрицам S соответствуют разные (состоятельные) оценки смм- Можно показать, что для получения асимптотически оптимальной оценки (т. е. имеющей минимальную асимптотическую матрицу ковариаций) в качестве S надо взять матрицу, обратную матрице ковариаций вектора моментов, которая (при отсутствии корреляции между наблюдениями) выглядит следующим образом [c.391]
Чтобы получить асимптотическую матрицу ковариаций, поступим следующим образом [c.279]
Основной результат, относящийся к асимптотической дисперсионной матрице оператора оценивания с помощью метода, инструментальных переменных, выведенный в параграфе 3 гл. 9, можно применить для получения асимптотической матрицы для оценок класса k. Например, применяя формулу (9.38) в случае, когда матрица [Y —kV Хг] играет роль инструментальной переменной для [Yj XJ, и заменив k [c.390]
Оценку асимптотической матрицы ковариаций даст обратная матриц содержащаяся в правой части (13.52). [c.397]
Объединим эти дисперсии и ковариации в асимптотическую матрицу ковариации вектора я [c.402]
Метод максимального правдоподобия интуитивно привлекателен и дает оценки с желаемыми асимптотическими свойствами. Оценки получаются в результате максимизации функции правдоподобия, и их асимптотическая точность измеряется с помощью обратной информационной матрицы. В связи с этим необходимо найти как первый, так и второй дифференциалы функции правдоподобия, что послужит прекрасной иллюстрацией применения нашей техники. [c.391]
Заметим, что информационная матрица вычисляется при истинном значении 7о- Асимптотическая информационная матрица для 7о определяется как [c.392]
Асимптотическая ковариационная матрица оценок максимального правдоподобия L и v(fl) имеет вид [c.397]
Асимптотической ковариационной матрицей (л и г (ft) будет [c.398]
Асимптотическая ковариационная матрица ML-оценок /З и имеет вид [c.408]
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИЦА (ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ) [c.424]
Тогда (2) следует из (7.4). Асимптотическая ковариационная матрица полу- [c.425]
Подсчет информационной матрицы в теореме 8 нужен только как промежуточный результат для получения асимптотической ковариационной матрицы, которая выводится в следующей теореме. [c.434]
Доказательство. Из теоремы 8 мы знаем, как выглядит информационная матрица. Асимптотическая информационная матрица F равна пределу (l/n)Fn при п —> оо. Поэтому [c.435]
Для того чтобы вычислить J-aa, которая является асимптотической ковариационной матрицей СУ, понадобятся некоторые промежуточные результаты [c.437]
Тогда асимптотическая ковариационная матрица будет равна Т, умноженному на оценки максимального правдоподобия [c.76]
Шаг 3. Получение оценок максимального правдоподобия. 1. Так как асимптотическая информационная матрица для описываемой модели равна [c.82]
В. Фабиан [278] указал достаточно общие условия, при которых многомерный процесс стохастической аппроксимации асимптотически нормален, и сформировал корреляционную матрицу соответствующего гауссовского случайного процесса. [c.363]
Конечно, на практике знание четырех моментов весьма проблематично. Но первые два пункта останутся справедливыми и без такой замены, хотя выражение для асимптотического значения дисперсионной матрицы примет при этом несколько более сложный вид. Интересно отметить, что в тех случаях, когда [c.240]
Асимптотическое значение ковариационной матрицы определяется матрицей [c.240]
С точностью до О (у4) данная матрица совпадает с матрицей Z (Э0), т. е. в рамках используемого приближения исходной задачи усложненная итерационная процедура (7.90) не приводит к оценкам асимптотически лучшим, чем (7.87). При неизвестных d и а2 можно без труда построить матрицу G (вв ag d0), имея в виду, что [c.241]
В условиях теоремы 7 показать, что асимптотическая матрица ковари-аций величины /3, обозначенная как avar(/3), имеет вид [c.408]
Шестая часть посвящена оценкам максимального правдоподобия, которые, конечно, являются идеальным объектом для демонстрации мощи развиваемой техники. В первых трех главах исследуется несколько моделей, среди которых есть многомерное нормальное распределение, модель с ошибками в переменных и нелинейная регрессионная модель. Рассматриваются методы работы с симметрией и положительной определенностью, специальное внимание уделено информационной матрице. Вторая глава этой части содержит обсуждение одновременных уравнений при условии нормальности ошибок. В ней рассматриваются проблемы оценивания и идентифицируемости параметров при различных (не)линейных ограничениях на параметры. В этой части рассматривается также метод максимального правдоподобия с полной информацией (FIML) и метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией (LIML), особое внимание уделено выводу асимптотических ковариационных матриц. Последняя глава посвящена различным проблемам и методам психометрики, в том числе методу главных компонент, мультимодальному компо- [c.16]
Теорема 5 говорит о виде информационной матрицы Fn FIML-оценки , в случае, когда В, Г и XI являются (нелинейными) функциями параметра в. Однако бывает интересна не столько Fn сама по себе, сколько обращение ее предела, известное как асимптотическая ковариационная матрица. Для дальнейшего рассмотрения понадобится предположить кое-что еще относительно функций В, Г и X, а именно предположим, что В и Г зависят от некоего параметра, скажем , функционально независимого от г>(Х). Отметим также, что если и на X есть ограничение, скажем X = Х(сг), где а и независимы, то результат будет менее изящным (см. упр. 3). [c.424]
Пусть Qn = (l/n)X X стремится к положительно определенной матрице Q при п — > оо (Рп при этом будет стремиться к неотрицательно определенной матрице Р). Тогда асимптотическая ковариционная матрица ML-оценок и v(S) равна [c.425]
Для частного случая теоремы 6, когда Го — известная матрица, состоящая из констант, и В = (С) показать, что асимптотическая ковариа- [c.427]
Предположим, что в дополнение к условиям теоремы 6, XI — диагональная матрица, а а — га х 1 вектор из ее диагональных элементов. Получить асимптотическую ковариационную матрицу оценок ( и <т). В частности, показать, что асимптотическая ковариационная матрица avar( ) оценки равна [c.427]
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ (LIML) АСИМПТОТИЧЕСКАЯ КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИЦА [c.434]
Предположим, в дополнение к условиям теоремы 7, что По2 имеет полный столбцовый ранг т и ( /п)Х X стремится к положительно определенной (ki + k