Задачи с уравнениями в частных производных

Задачи с уравнениями в частных производных  [c.102]

ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 105  [c.105]

Многие модели управляемых систем основаны на аппарате дифференциальных уравнений как в обыкновенных, так и в частных производных. При исследовании систем с распределенными параметрами, в зависимости от вида используемых дифференциальных уравнений в частных производных, выделяют такие типы задач оптимального управления, как параболические, эллиптические или гиперболические.  [c.199]


Возможность решения поставленной задачи в виде соотношений (6.22), где q, qz и q являются функциями только одной переменной z, означает, что систему дифференциальных уравнений в частных производных (6.7) — (6.9) с интегральным условием (6.10) и граничными условиями (6.11) можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими интегральным и граничными условиями для отыскания неизвестных функций q, q% и <7з- Для рассматриваемой задачи это означает, что она имеет автомодельное решение.  [c.141]

При исследовании задач оптимального управления, ввиду, как правило, разрывности управляющих воздействий, возникает необходимость рассматривать решения дифференциальных уравнений, определяющих допустимый процесс, в неклассическом или в обобщенном виде. Особенно остро эта проблема стоит для систем уравнений с частными производными, где зачастую невозможно построение не только гладкого, но и просто непрерывного решения, соответствующего допустимому управлению.  [c.335]


Рассмотрим задачу оптимального управления, в которой состояние объекта определяется решением уравнения с частными производными, а управление может входить в краевые (или начальные) данные, в правую часть или даже в выражения для Y. коэффициентов уравнения. Различ-  [c.102]

Физическое содержание задачи. Уравнения (1) описывают средние значения концентраций радиоактивных ксенона (ж1) и йода (ж2) в ядерном реакторе, причем используется простейшая точечная математическая модель. В действительности а 1 и ж2 — суть функции не только времени, но и трех пространственных координат, а уравнения (1) в более точной постановке задачи были бы заменены существенно более сложной системой уравнений с частными производными. Функция и (t) есть среднее значение потока нейтронов в реакторе. Это значение поддается регулированию и в данной постановке задачи играет роль управления. Ограничение и (t) 0 имеет очевидный физический смысл, ограничение и (t) 1 связано с техническими возможностями аппарата. А, В, С, D, А — некоторые заданные постоянные  [c.295]

Заметьте, что сейчас мы имеем функцию п + т переменных. Найдем п частных производных по переменным х, (замечание мы не определяем т частных производных для множителей Лагранжа, потому что частные производные по Я только лишь возвращают нас к уже имеющимся ограничениям в виде равенств). Затем попробуем найти x/S и AS, которые превращают эти частные производные в ноль и одновременно удовлетворяют ограничениям в виде равенств. Отсюда мы имеем систему п + т уравнений с п + т неизвестными. Так как число уравнений и неизвестных равно, мы можем найти решение через постановку и решение задачи, представленной системой уравнений.  [c.448]


Это, разумеется, не исключает интереса к нахождению точных (или близких к ним) решений, в связи с чем следует прежде всего остановиться на некоторых вопросах теории соответствующих задач об оптимальной остановке на конечных временных интервалах и, в частности, на одном весьма распространенном приеме, основанном на редукции таких задач к задачам Стефана, или, как еще говорят, к задачам с подвижными (свободными) границами для уравнений с частными производными.  [c.467]

Метод локальных вар наций и релаксационный метод. В [86 ] метод локальных вариаций был распространен на задачи минимизации функционалов от функций нескольких независимых переменных. Хорошо известно, что многие задачи математической физики (краевые задачи для уравнения Лапласа, для бигармонического уравнения и другие) могут быть сформулированы либо как задачи на минимум соответствующего функционала, либо как задачи с уравнениями в частных производных (эти уравнения — суть уравнения Эйлера для вариационной формулировки). Применительно к таким задачам метод локальных вариаций состоит из двух элементов.  [c.134]

Седьмая глава (математическое приложение) посвящено описанию нового подхода к решению задач оптимальной остановки многомерных диффузионных процессов. Этот подход основан на использовании связи между граничными задачами для диффузионных процессов и задачей Дирихле для уравнений в частных производных эллиптического типа. Решение задачи Дирихле рассматривается как функционал, зависящий от области продолжения наблюдений. Оптимизация этого функционала на множестве областей продолжения наблюдений проводится вариационными методами. Описанный подход применяется к задаче оптимальной остановки двумерного геометрического броуновского движения с функционалом, представимом в виде математического ожидания однородной функции (произвольной неотрицательной степени однородности) от указанного процесса в момент остановки. К задачам такого типа и сводится исследование задачи выбора оптимального момента инвестирования.  [c.14]

В основу понятия обобщенного решения могут быть положены самые различные подходы. Это интегральные законы сохранения, метод искусственной вязкости, способ предельного перехода в разностных аппроксимациях, аппарат теории обобщенных функций, понятие потенциала решения, а также другие схемы [Рождественский и др., 1978 Годунов, 1979]. Так, авторы [Васильев и др., 1987] при рассмотрении одномерного варианта (га = 1) задачи (4.4.3)-(4.4.7) для определения обобщенного решения использовали свойство эквивалентности на гладких (классических) решениях дифференциальной системы, построение которой базируется на использовании широко известного аппарата метода характеристик. Суть этого подхода заключается в диагонализации матрицы А системы (4.4.3) с помощью линейного невырожденного преобразования переменных х в инварианты Римана. После такого преобразования в каждом из уравнений системы участвуют частные производные по s и t лишь одной инварианты Римана, что позволяет рассматривать дифференциальный оператор инвариантной системы как п -мерный вектор обыкновенных производных вдоль соответствующих характеристик (аналог производной по направлению). К сожалению, возможности использования данного понятия обобщенного решения по существу  [c.335]

Для решения этой задачи существует два пути. Во-первых, может быть осуществлена непосредственная минимизация функции F с помощью методов нелинейной оптимизации, позволяющих находить экстремумы выпуклых линий. Это, например, метод наискорейшего спуска, при использовании которого в некоторой исходной точке определяется антиградиент (направление наиболее быстрого убывания) функции F. Далее находится минимум /"при движении в данном направлении, и в точке этого минимума снова определяется градиент. Процедура повторяется до тех пор, пока разница значений F на двух последовательных шагах не окажется меньше заданной малой величины. Другой путь состоит в решении системы нелинейных уравнений, которая получается из необходимых условий экстремума функции F. Эти условия - равенство нулю частных производных функции Fno каждому из параметров а., т.е.  [c.360]

Смотреть страницы где упоминается термин Задачи с уравнениями в частных производных

: [c.103]    [c.20]    [c.73]