Рассмотрим схему Гаусса-Маркова (у, Xf3, <т2/), где r(X) = k. В 3 мы получили наилучшую аффинную несмещенную оценку для /3, /3 = (Х Х) 1Х у (оценка Гаусса-Маркова), минимизируя квадратичную форму (след ковариационной матрицы оценки) при линейном ограничении (несмещенность). В 4 мы показали, что оценка Гаусса— Маркова может быть также получена минимизацией (у — Х(3) (у — Х/3) по всем /3 из R. Тот факт, что метод наименьших квадратов (который является методом аппроксимации, а не оценивания) приводит к наилучшим аффинным оценкам, является довольно неожиданным и, конечно, не тривиальным. [c.355]
Тогда случайные величины ь 2 -м Sn также имеют нормальное распределение с теми же параметрами, что и т]ь и связаны в цепь Маркова. Их корреляционная матрица имеет вид [c.143]
Рассмотрим теперь задачу о нахождении при известном графе структуры зависимостей G перестановки координат а, позволяющей представить распределение X в виде (4.5). Положим а (0) = О и возьмем произвольную простую цепь, начинающуюся в 0. Будем двигаться вдоль нее от нуля, считывая номера проходимых координат и приравнивая их а (1), а (2),. .. Затем берем следующую простую цепь, начинающуюся в одной из уже пройденных вершин или в 0, и двигаемся вдоль нее, продолжая считывание, и т. д. до тех пор, пока не будут исчерпаны все вершины графа и тем самым определена полностью перестановка а. Поскольку координаты, лежащие вдоль простой цепи, образуют цепь Маркова (см. п. 2, 3 схемы доказательства теоремы 4.2), из построения а сразу же следует возможность представления распределения X в виде (4.5). В отдельных случаях перед построением а может оказаться удобным в графе G изменить некоторые несущественные связи, соответствующие независимым координатам (ср. с теоремой 4.2). 4.2.3. Нормальное распределение с ДСЗ. Пусть X имеет невырожденное р-мерное распределение с вектором средних М и ковариационной матрицей 2 — №и с известной структурой зависимостей, заданной функцией /(/). Вопросы, связанные с нахождением / (/), обсуждаются в следующем параграфе. Наша ближайшая цель — найти общий вид плотности X. [c.150]
Распределения с ДСЗ обобщают совместное распределение последовательных членов в дискретных цепях Маркова. Если двигаться вдоль ветвей графа-дерева структуры зависимостей, то последовательно проходимые вершины графа (координаты вектора наблюдений) образуют цепь Маркова. Этот факт позволил доказать единственность в нормальном случае графа — дерева структуры зависимостей, предложить простой алгоритм его оценки по выборочной корреляционной матрице и, наконец, показать, как, зная дерево структуры зависимостей, получить исходное распределение. [c.156]
Как известно, цепь Маркова полностью определяется начальным состоянием - вектор-строкой Р(0) - и матрицей переходных вероятностей Р. Состояние на п-м шаге Р " представляется в виде [c.118]
В связи с постоянной изменчивостью рынка перед фирмой неизбежно возникает вопрос каким образом менять свою стратегию, чтобы не попасть в кризисную ситуацию В процессе количественного прогнозирования положения на рынке целесообразно воспользоваться аппаратом цепей Маркова [52]. Применение этого аппарата позволяет заранее принять решение при изменении рыночного состояния. В процессе прогнозирования используется переходная вероятность из одного состояния в другое. Переходная вероятность есть элемент матрицы перехода (Р) [c.184]
К экстраполяционным относится и метод, получивший название цепи Маркова . В основе прогноза, построенного на основе простых цепей Маркова, лежит вычисление матрицы перехода, элементами которой являются вероятности перехода прогнозируемых параметров из одного состояния в другое, от [c.161]
Известно, что процесс, порождающий данные (истинная модель), описывается классической линейной моделью регрессии у = Х(3 + е. Оценка /Зй получается регрессией у на X (МНК-оценка) при ограничении Hf3 = г. Найдите матрицу ковариаций V(/3R) и сравните ее с матрицей ковариаций V(/3) — МНК-оценки в регрессии без ограничений. Как полученный вами результат соотносится с теоремой Гаусса-Маркова [c.99]
Нетрудно также доказать соответствующий вариант теоремы Гаусса-Маркова, а именно, что среди всех линейных условно несмещенных оценок вектора /3 его МНК-оценка обладает наименьшей условной ковариационной матрицей. Итак, при выполнении условий 1), 2), 3) МНК-оценка в модели со стохастическими регрессорами обладает свойствами, аналогичными свойствам МНК-оценки в классической модели. [c.151]
Если для однородной цепи Маркова заданы начальное распределение вероятностей и матрица перехода, то вероятности состояний системы (P,(k), (г = 1, 2,. .., п) могут быть определены по рекуррентной формуле [c.151]
Для зависимых случайных величин также имеют место законы больших чисел. Пусть YI, у2, . .., последовательность случайных состояний стационарной цепи Маркова с переходной матрицей Р. [c.74]
Невырожденные р-мерные нормальные распределения с ДСЗ имеют очень простой вид матрицы 2J-1, где S — ковариационная матрица координат вектора. В S-1 над главной диагональю стоит не более р — 1 отличных от нуля элементов. Эта малопараметричность описания ковариационной матрицы в сочетании с большим разнообразием описываемых классов зависимостей, включающим, в частности, все ковариационные матрицы цепей Маркова, делает распределения с ДСЗ одним из основных инструментов в многомерном анализе. [c.162]
Работы Дункана и Ладани получили дальнейшее развитие в [135]. Авторы исследовали модель разладки, в которой имеется определенное число состояний разлаженного процесса, образующих вместе с состоянием налаженного процесса, цепь Маркова с известной матрицей переходных вероятностей. Каждому состоянию соответствует определенный уровень дефектности продукции. [c.136]