Для решения матричного уравнения (4.5) относительно вектора оценок параметров Ь необходимо ввести еще одну предпосылку 6 (см. с. 61) для множественного регрессионного анализа матрица Х Х является неособенной, т. е. ее определитель не равен нулю. Следовательно, ранг матрицы X X равен ее порядку, т.е. г(Х Х)=р+. Из матричной алгебры известно (см. 11.4), что г(Х Х)=г(Х), значит, г(Х)=р+, т. е. ранг матрицы плана X равен числу ее столбцов. Это позволяет сформулировать предпосылку 6 множественного регрессионного анализа в следующем виде [c.86]
Векторы значений объясняющих переменных, или столбцы матрицы плана X, должны быть линейно независимыми, т. е. ранг матрицы X — максимальный (г (Х)=р+ ). [c.86]
Ранг матрицы и линейная зависимость ее строк (столбцов) [c.266]
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк (или столбцов). [c.267]
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы). [c.267]
Число п есть порядок определителя D, Число г называют рангом матрицы А, если найдется по крайней мере один определитель r-го порядка, полученный из этой матрицы при удалении некоторых строк и (или) столбцов, отличный от нуля, а все определители (г+1)-го порядка равны нулю. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых столбцов (или строк). [c.254]
Во втором столбце звездочками отмечены рынки, поднявшиеся в табели о рангах за истекшие пять месяцев. Эти рынки, улучшившие свои показатели за последние 25 дней, перечисляются далее в порядке убывания относительной силы пиломатериалы, платина, сахар, кофе, скот, какао, кукуруза, хлопок, соевое масло, серебро, медь. Трейдер, желающий сыграть на повышение, может использовать данный список в качестве отправной точки. Особое внимание следует уделить рынкам, занимающим более высокие места в рейтинге. [c.222]
Пример. В табл. 1.1 приведены данные ранжирования экспертом шести объектов Q путем оценки методом попарного сравнения. При выполнении оценки эксперт сравнивает пары объектов. Предпочтение одного объекта перед другим он обозначает 1, в противном случае он обозначает ситуацию как 0. В частности, эксперт, как это видно из первой строки табл. 1.1, предпочел первый объект второму и счел, что первый объект уступает третьему. Кроме того, эксперт предпочел первый объект четвертому, пятому и шестому. Поэтому в итоге он получил сумму рангов первого объекта, равную четырем. Сумма оценок каждого объекта по сравнению с каждым другим объектом, приведен-. ная в последнем столбце табл. 1.1, и является итогом измерения по шкале порядка. Ранжированный ряд имеет вид Q4 < Q5 < Q6 < Q2 = Q, < Q3. [c.19]
Для нашего случая ЕЕ а ц = 20. Ранги структурных элементов приведены в последнем столбце табл. 22. [c.106]
На втором этапе устанавливаются ранги целей в виде ряда натуральных чисел, определяемых путем вычисления суммы строк соответствующего столбца матрицы. [c.186]
Подсчитав сумму рангов по столбцам, определяем что упаковка В получила самый высокий ранг, равный 3, а самый низкий интегральный ранг получила упаковка Б. [c.135]
Sj — суммы рангов, расположенные в строках предпоследнего столбца табл. 7.6. [c.150]
В нашем случае т(п — 1)и> = 23,3, что превышает табличное значение х2— 11,1. Таким образом, экспертные оценки взаимно непротиворечивы, поэтому их можно усреднить по каждому из шести ранжируемых работников. Результаты усреднения приведены в последнем столбце табл. 7.7. Обобщая результаты, построим гистограмму средних рангов (рис. 7.1). [c.150]
Пусть А — матрица размера т х п. Рангом по столбцам А называется максимальное число линейно независимых столбцов матрицы. Рангом по строкам Л называется максимальное число линейно независимых строк матрицы. [c.27]
Можно показать, что ранг по столбцам матрицы А совпадает с ее рангом по строкам. Поэтому понятие ранга матрицы является корректным 1. Мы будем обозначать ранг А через [c.28]
Если г (Л) = 7П, будем говорить, что А имеет полный ранг по строкам. Если г (Л) = гг, будем говорить, что А имеет полный ранг по столбцам. Если г (Л) = О, то Л будет нулевой матрицей, и наоборот, если Л есть нулевая матрица, то г(Л) = 0. [c.28]
Есть, однако, еще одно определение ранга, которое потребует вводимых позднее понятий определителя матрицы и минора ранг матрицы есть размер максимального ненулевого минора. Оказывается, что это определение также совпадает с определением через линейную независимость строк или столбцов. (Примеч. пер.) [c.28]
Пусть Л — т х п матрица. Показать, что если Л имеет полный ранг по строкам, то ЛЛ+ = /т если Л имеет полный ранг по столбцам, то А+А = / . [c.62]
Решение системы Ах = 0 единственно тогда и только тогда, когда матрица Л имеет полный ранг по столбцам, так как в этом случае матрица А А является невырожденной и, следовательно, Л+Л = /. Этим единственным решением является, конечно же, х = 0. Если решение не единственно, то существует бесконечно много решений, задаваемых формулой (1). [c.65]
Система Ах = b совместна для любого b тогда и только тогда, когда матрица А имеет полный ранг по строкам (поскольку в этом случае ЛЛ+ = /). Если система совместна, то ее решение единственно тогда и только тогда, когда матрица А имеет полный ранг по столбцам. Очевидно, что если матрица А имеет полный ранг по строкам и полный ранг по столбцам, то А является невырожденной матрицей и единственное решение в этом случае есть A lb. [c.66]
Показать, что матричное уравнение АХ В = С совместно при любой матрице С тогда и только тогда, когда матрица А имеет полный ранг по строкам, а матрица В — по столбцам. [c.66]
Если решение уравнения АХ В = С существует, то оно единственно тогда и только тогда, когда матрица А имеет полный ранг по столбцам, а матрица В — по строкам. [c.67]
Показать, что если матрица А имеет полный ранг по столбцам, а матрица В — по строкам, то (АВ + = В+ А+. [c.67]
Пусть А = А и Dnv(A) = 0. Тогда ve А = 0, а значит, v(A) = 0. Поскольку симметричность А не накладывает ограничений на v(A), столбцы Dn линейно независимы, следовательно, Dn имеет полный ранг по столбцам п(п + 1), D nDn не вырождена, а МП-обратная матрица для Dn равна [c.80]
Поскольку матрица Dn — полного ранга по столбцам, v(A) является единственным решением (3), и мы имеем [c.80]
Пусть А — симметрическая матрица порядка п, а В — матрица размера т х п полного ранга по строкам га. Пусть Агг обозначает квадратную подматрицу порядка г в верхнем левом углу Л, а Вг — матрицу размера га х г, составленную из первых г столбцов В (г = 1,.. . , п). Будем считать, что Вт ф 0. Определим квадратные матрицы порядка га + г [c.85]
Уравнение (13) показывает, что последние п — т столбцов Е линейно выражаются через 7П первых. Значит, г(Е) га. Но так как Dig( ) — подматрица Е и ее ранг равен га, ранг самой Е не может быть меньше га. Таким образом, [c.181]
Показать, что d og X X = 2tr(X/X)-1X/dX, если X имеет полный ранг по столбцам. [c.200]
Уравнение (4.4), а также упражнение 5.15.1 утверждают, что у невырожденных матриц ранг локально постоянен. Вырожденные матрицы (точнее, матрицы с рангом, меньшим полного по строкам или столбцам) этим свойством не обладают. Рассмотрим, к примеру, матрицы [c.202]
Рассмотрим теперь (k — 1) х k матрицу В R. Так как ранг В R не превышает k — 1, ее k столбцов линейно зависимы. Таким образом, [c.265]
Замечание. В частном случае, когда матрица А имеет по столбцам полный ранг /с, получаем Л+ = (A1 A) lAf, и, значит, существует единственный вектор ж, который минимизирует (Ах — d) (Ax — d) по всем ж, а именно [c.295]
Пусть А есть т х п матрица полного ранга (по столбцам), а г — га х 1 вектор из единиц. Предположим, что г является первым столбцом матрицы А. Тогда [c.301]
Ограничение АХ = W означает, что r(W) К О- Так как это должно выполняться для любой матрицы VK, X должна иметь полный ранг по столбцам (/с). [c.328]
Замечание. Утверждение 2 верно, независимо от ранга V. Если X есть матрица полного ранга по столбцам (/с), тогда ol(VK ) С o (Xf) для всех VK, в частности и для W = Ik- Если г(Х) < , то ol(VK ) С ol(X ), вообще говоря, не будет верно для каждой матрицы VK, в частности, это заведомо не выполняется, если [c.332]
Пусть г(Х) = г < k. Тогда существует k x (k — г) матрица (7, имеющая полный ранг по столбцам, такая, что ХС = 0. Показать, что W(3 является оцениваемой тогда и только тогда, когда W = 0. [c.333]
Мы уже видели, что если X не является матрицей полного ранга по столбцам, то не все компоненты вектора (3 можно оценить только компоненты Х(3 (и, следовательно, их линейные комбинации) являются оцениваемыми. Утверждение 3 показывает, что эта ситуация может быть улучшена при добавлении [c.340]
Представленные таким образом результаты сравнения легче обработать. В матрице 3 можно провести суммирование рангов по каждой упаковке. Повкольку ранг формально характеризует предпочтение одного из сравниваемых объектов другому, то сумма рангов по столбцу показывает интегральную оценку предпочтения для каждого объекта. [c.134]
Неравенство Бергстрема, матричный аналог). Пусть А и В положительно определены, а X имеет полный ранг по столбцам. Тогда [c.303]
Рассмотрим последовательно каждую из этих проблем. В этом и в следующем параграфах мы будем считать, что матрица V не вырождена и никакого априорного знания в виде ограничений R/3 = г нет, но X не является матрицей полного ранга по столбцам. Эта проблема (когда столбцы матрицы X линейно зависимы) называется мулътиколлинеарностъю. [c.329]
В этом параграфе рассмотривается частный случай, когда o (Rf) С ol(X ) общее решение будет дано в 9. Фактически это означает, что мы налагаем ограничения не на /3, а на Х/3. Конечно, условие со (Я ) С со (Х ) автоматически выполняется, когда матрица X имеет полный ранг по столбцам. [c.334]
Замечание. Если X есть матрица полного ранга по столбцам, то o (Rf) С со (Х ) для всех Я, olfW ) С со (Х ) для всех W (в частности, для W = / ) и матрица X V 1X не вырождена. Если, кроме того, R имеет полный ранг по строкам, то система R/3 = г всегда совместна и R(X V lX) l R является невырожденной матрицей. [c.334]