При принятии решений в условиях неопределенности чаще всего используют критерии типа минимакса (пессимизма) и максимакса (оптимизма). Здесь руководствуются следующей логикой рассуждений (см. табл. 15.11). Если мы выберем первую альтернативу, то наши возможные максимальные потери составят 20 000 руб. если мы выберем вторую альтернативу, то эти потери могут составить 40 000 руб. Выбираем первую альтернативу, минимизирующую наши возможные максимальные потери. Данный подход характеризует выбор осторожного человека, ориентирующегося в своем решении на самое неблагоприятное течение событий. [c.519]
В случае, если минимакс равен мак-симину, решения противников будут устойчивы, т.е. И. имеет седловую точку, кли равновесие. Устойчивость решений состоит в том, что при этом всякий отход от избранных стратегий будет невыгоден обоим противникам. Иное дело, когда минимакс не равен макси-мину. В этом случае решения обоих игроков, если они хоть как-то распознали выбор стратегии (намерения) противника, оказываются неустойчивыми. В теории И. доказывается, что при многократном массовом повторении И. и смешанных (разных в каждом розыгрыше) стратегиях седловая точка и устойчивые решения все же имеют место. Однако в этом случае в каждом ходе обеим сторонам рекомендуется выбирать стратегию просто по жребию, ибо иначе противник, обнаружив какие-то закономерности в решениях игрока, может предугадать ход и выиграть. [c.111]
Теорема 5.4 сводит, таким образом, решение задачи (5.1) к определению седловой точки функции U(x,y) и позволяет использовать для лексикографической оптимизации методы вычисления минимакса. [c.275]
Таким образом, разумной стратегией игрока 2 можно считать ту, при которой наибольшие его потери окажутся минимальными. Такой принцип оптимальности, основанный на минимизации максимальных потерь, называется принципом минимакса, а выбираемая в соответствии с этим принципом стратегия игрока 2 — его минимаксной стратегией. Заметим, что принимаемый игроком 2 принцип минимакса является таковым с точки зрения игрока 1 с собственной же точки зрения игрока 2, оценивающего свой выигрыш — Я, его следовало бы называть также принципом макси-мина. Поэтому часто говорят об использовании принципа максимина обоими игроками в антагонистической игре. После сделанной оговорки употребление этого оборота не должно будет приводить нас к недоразумениям. Минимаксные потери игрока 2 в игре Г будут равны [c.29]
Если в соотношении (3.5) имеет место равенство, то игрок 1 получает ровно столько, какой предел его устремлениям кладет игрок 2. В этом случае использование игроками соответственно принципов максимина и минимакса (а, как отмечалось в п. 2.6, в таких случаях принято говорить об использовании принципа максимина обоими игроками) приводит к полному определению значений выигрышей игроков в антагонистической игре. Такую игру принято называть вполне определенной, а принцип максимина применительно к ней - реализуемым. [c.31]
Если же неравенство (3.5) является строгим, то игрок 1 может обеспечить себе получение меньшей суммы (максимин), чем предел, граница его выигрыша, устанавливаемая игроком 2 (минимакс). Разность между минимаксом и максимином оказывается тем количеством, разумное (" оптимальное") разделение которого между игроками остается открытым. В этом случае использование игроками принципа максимина не приводит к определению значений выигрышей игроков и остается нереализуемым. [c.31]
СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ И МИНИМАКСЫ [c.38]
Теорема. Для того чтобы функция Н(х,у) на произведении хХу имела седловые точки, необходимо и достаточно, чтобы существовали (т.е. достигались) минимаксы [c.38]
Действительно, из (6.10), (6,11) и (6.12) вытекает, что значения функции в ее седловых точках равны общему значению ее минимаксов, которые в случае существования седловых точек достигаются. [c.40]
Таким образом, общее значение минимаксов функции выигрыша игры (если эти значения равны) равно значению игры. Поэтому исход игры, имеющей седловую точку, является предопределенным он не зависит от искусства или глубины психологического анализа игроков, а зависит единственно от условий игры, которые исчерпываются заданием функции выигрыша Я. Это дает основание называть игры, имеющие седловые точки [c.40]
В соответствии с теоремой п. 6.1 для существования в матричной игре седловых точек необходимо и достаточно, чтобы были равны мини-максы (7.1) max min я/у = min max л/у общее значение этих минимаксов [c.42]
Если же эти минимаксы различны и внешние экстремумы в них достигаются на некоторых / и / , то (ср. п. 6.6) [c.42]
Если полученные минимаксы различны, то в игре Г ситуаций равновесия нет. Если они равны, то все ситуации равновесия получаются как пары стратегий игроков, на которых в минимаксах достигаются внешние экстремумы. [c.43]
Связь е-седловых точек общих антагонистических игр с минимакса-ми есть обобщение описанной в п. 6.1 гл. 1 связи с ними седловых точек матричных игр. [c.94]
Обратим внимание на следующую особенность доказываемых фактов. Согласно части 1) теоремы, на компонентах е-седловых точек внешние экстремумы минимаксов достигаются не с точностью до 6, а лишь с точностью до 2 6. В свою очередь, согласно части 3) теоремы, погрешность в достижении внешних экстремумов минимаксов при оценке седловой точки также должна увеличиваться вдвое. [c.95]
Вышеописанное ограничение — найти искомую точку путем минимального количества измерений при условии того, что каждый раз необходимо совершать максимальную ошибку — называется условием минимакса . А полный алгоритм или, по-другому говоря, план работы, который должен быть найден, называется оптимальным планом поиска . [c.22]
Если считать, что между согласием и пониманием существует конфликт, то на основе принципа минимакса для матрицы В находим нижнюю цену игры а = 10, которая гарантирует наличие согласия 10 сотрудников и верхнюю цену игры /3=15, которая показывает, что в худшем случае 15 сотрудников неверно понимают миссию. Матрица Б имеет седловую точку а = /3 = 1 50, а это показывает, что согласие и верное понимание являются для данного опроса оптимальным. [c.154]
Если вместо матрицы полезности в качестве основы решения применяется матрица убытков (или матрица потерь ), то правило максимина превращается в правило минимакса, так как ищется альтернатива действия, которая реализовала бы минимум максимально возможных потерь. [c.183]
Нижняя цена игры равна максимину а = -2, верхняя цена игры равна минимаксу 3 = 2. Так как а р, то седловая точка игры отсутствует, задача должна решаться в смешанных стратегиях. [c.338]
Методика использования аппроксимирующих гипербол. С учетом свойства минимакса [187] нормализованные критерии при минимаксно-оптимальном управлении равны между собой, то есть точка, образованная сочетанием критериев при этом управлении, принадлежит биссектрисе [c.121]
Пусть gk(x)>0. Определим некую плотность р = р (х), для которой достигается min F(p), где max D 1(/ ),D 2(/ ) , то есть минимакс среднеквадратических погрешностей [c.102]
Третье направление моделей разработки решений основано на использовании теории игр. Данная условиях конфликтных ситуаций либо при принятии коллективных (совместных) решений. Основе выбор отправной точки (гарантирующего решения), с которой начинается совместная выработка лучш принцип этой теории - минимакс. Схема теории игр описывает принципы принятия решений практических ситуаций инновационного характера. Игра возможна с любым числом участников и р информированности. Формализации подвергаются лишь правила игры, а не поведение игроков. [c.50]
В теории игр Ст. (седловой элемент) — это наибольший элемент столбцалшт-рицы игры, который одновременно является наименьшим элементом соответствующей строки (в игре двух лиц с нулевой суммой). В этой точке, следовательно, максимин одного игрока равен минимаксу другого Ст. есть точка равновесия. [c.319]
Следствие i.B качестве компонент седловой точки могут быть независимо друг от друга взяты юбые х и у, на которых достигаются внешние экстремумы в минимаксах (6.1). [c.40]
Установленный факт означает, что если игра одноходовая, то есть партнеры играют один раз, выбирая по одной чистой стратегии, то в расчете на разумно играющего противника они должны придерживаться принципа минимакса, это гарантирует выигрыш F> а игроку А и проигрыш F< /3 игроку В. Следовательно, при применении минимаксных стратегий величина платежа V ограничена неравенством а < F< /3. [c.93]
В игре двух лиц с нулевой суммой игрок А, выбирая стратегию, учитывает, что игрок В может действовать наихудшим для игрока А способом. В этом случае игрок А при использовании каждой отдельной стратегии получит минимальный для этой стратегии выигрыш. Естественно поэтому считать оптимальной для игрока А такую его стратегию, в к-рой его минимальный выигрыш максимален. Такой выигрыш, представляющий максимум из минимумов, наз. м а к-с и м и н о м. С другой стороны, игрок В учитывает, что если игрок А действует наилучшим для себя способом, проигрыш игрока В будет максимальным. Поэтому он стремится найти такую стратегию, в к-рой его макс, проигрыш был бы минимальным, т. е. ищет минимум из максимумов, или м и н и м а к с. Во многих играх величина минимакса совпадает с величиной максимина при использовании только чистых стратегий. Такие игры наз. играми с седповой точкой. Максиминная стратегия для игрока А и минимаксная стратегия для игрока В являются для них оптимальными, причем, если игрок А отступит от максимиппой стратегии, уменьшится проигрыш игрока В, а если игрок В отступит от своей минимаксной стратегии, увеличится выигрыш игрока А. [c.154]
Как уже отмечалось, важнейшим в теории игр является вопрос об оптимальности решения (выбора стратегии) для каждого из игроков. Проанализируем с этой точки зрения некоторую матричную игру, для которой задана платежная матрица iK Lx/i Ри выб°Ре игроком I стратегии i его гарантированный доход независимо от действий игрока II составит пшш . Поскольку он может выбирать i самостоятельно, то целесообразно этот выбор сделать таким, чтобы он при любой стратегии противника максимизировал величину гарантированного дохода, т. е. обеспечивал получение max(mina/f/) e Такой принцип выбора стратегии получил название принцип максимина . С другой стороны, аналогичные рассуждения могут быть проведены по поводу действий второго игрока. Его наибольший проигрыш при выборе стратегии / составит mfxai,j, и, следовательно, ему следует выбирать стратегию так, чтобы минимизировать величину проигрыша при любых действиях соперника, т. е. обеспечить mjn(maxa/f/). В этом суть принципа минимакса. [c.189]
Другая особенность применения методов теории игр заключается в выборе решений, получаемых на основе анализа конфликтной ситуации. В теории игр доказывается теорема о том, что оптимальная стратегия для каждого из игроков является оптимальной и для другого. Так, если решение игры получено в чистых стратегиях (имеется седловая точка), то выбор решения однозначен. Например, если для парной антагонистической игры 3x4 составить матрицу, где элементами щ будут выигрыши (проиг-рыши) игроков, то седловая точка находится на пересечении максимина строк и минимакса столбцов. [c.26]