Условия (18.4) называются начальными условиями, а задача отыскания решения уравнения (18.3) по заданным начальным условиям (18.4) называется задачей Коши. [c.370]
Задача Коши для нормальной системы (19.1) ставится так найти решение (19.2), удовлетворяющее начальным условиям [c.404]
В приложениях часто встречается функционал F[u(.)]= Ф[х(Т)](Т (х)=0 в этом случае обычно суть данные Коши в точке =0 х (0) = Х0). Используя описанную выше схему вычисления его производной, получим в правой части уравнения (8) 8-функцию на конце интервала это, как известно, приводит к неоднородности краевых условий. Однако проще прямо получить необходимый результат. Исходя из равенства [c.33]
Если условия Г (х)=0 — суть данные Копта х (0) — Х0=0 (а это наиболее часто встречающийся в приложениях случай), то Г ф=0 — данные Коши для ф (Т), и численное интегрирование краевой задачи для ф (t) не встречает никаких затруднений. Форма записи условий скачка (14) в этом случае особенно удобна, так как определяет в явном виде переход от ф ( +0) к ф (t — 0) при интегрировании справа налево. [c.71]
В качестве данных Коши задается условие ) [c.73]
Имея теперь данные Коши для П-системы при t=t, интегрируем ее, определяя и (t) из уравнения Н [х (t), ф (t), и (t)]=0 до момента t , он определяется дополнительным условием задачи х1 ( ) =0,2 (таким образом, для t имеем дополнительное ограничение t 0,8/0,04) нетрудно видеть, что я1 (t) монотонно убывает вдоль траектории х (t) (если и > 0, что и выполняется при 0 < t < t ). [c.237]
J- и 2) At и в том, и в другом случае и1 (t) л —х1 (0)/ (см. рис. 6, 7 в [41]). В целом, как это видно из табл. 1, этот вариант задачи был довольно легким для численного решения. Вторая задача оказалась сложнее. Она была решена в несколько измененной по сравнению с [41 ] форме во-первых, Г=0, 1, а не 1, как в [41], и в качестве исходной траектории бралось решение задачи Коши (1) с и ( )лЮ (условия х1 (У) = 0, разумеется, выполнены не были). Причины, побудившие к этим изменениям, будут ниже разъяснены. Табл. 2 дает представление о том, как происходит поиск v — номер итерации, значение функционала F0, значения х1 (Т), предсказанные на предшествующей итерации на основе формул линейной теории возмущений, использующих функциональные производные дх (T)jdu(-), и значения х (Т), фактически полученные после интегрирования системы (1 ). Процесс решения задачи заслуживает комментария. Расчет проводился при 7V=100, вариации ]Bz/ , ц были ограничены числами 2 0,5 0,5 для i = i, 23. [c.281]
Пример 8. Рассмотрим термодинамические потенциалы идеального сжимаемого газа. Модель идеального сжимаемого нетеплопроводного газа задается плотностью внутренней энергии U(p, S). Будем считать, что задача Коши для системы уравнений идеального сжимаемого газа корректна. Для выполнения этого требования достаточно, чтобы система уравнений была гиперболической. Нетрудно проверить, что условие гиперболичности сводится к условию возрастания давления р = рг dU(p, S)/dp с ростом плотности. Таким образом, плотность внутренней энергии должна удовлетворять ограничению [c.98]
I аь Pi -Pij компоненты тензора напряжений Коши, равенства (2.62) есть условия симметрии тензора напряжений Коши и представляют, таким образом, уравнение моментов количества движения. [c.175]
Здесь pah - сопутствующие компоненты тензора напряжений Коши На лицевых поверхностях оболочки выполняются условия [c.295]
Если ряд является стационарным в широком смысле, то он не обязательно является строго стационарным. В то же время, и строго стационарный ряд может не быть стационарным в широком смысле просто потому, что у него могут не существовать математическое ожидание и/или дисперсия. (В отношении последнего примером может служить случайная выборка из распределения Коши.) Кроме того, возможны ситуации, когда указанные три условия выполняются, но, например, Е(Х ) зависит от t. [c.14]
Задача Коши для системы (7.6) заключается в определении ее решения yt = <р (х), у2 = <р (х),. .., / = Ф (лг> г удовлетворяющего начальным условиям yi(x0) = y .f Уг ( о) = У1. .... Уп (х ) = У л, где yl, у, . . . , у°п— задан ные= числа. [c.164]
Особенно широко этот метод исследования стал распространяться в последнее десятилетие, коша на товарах появились штрих-кодовые ярлыки, а в магазинах — кассовые сканеры, считывающие информацию с этих ярлыков. В этих условиях информацию о динамике покупок можно можно получать с любой детализацией и высокой частотой (практически ежедневно). [c.261]
Выявим условия, при которых гарантируется существование опорного функционала в виде оптимальной функции Ляпунова и единственность решения задачи Кош и (16)-(17). Ключевой вопрос, на который здесь предстоит ответить, сводится к следующему при каких условиях скалярная функция, удовлетворяющая определенным условиям оптимальности, совпадает с ценой (значениями опорного функционала в произвольный текущий момент времени из заданного отрезка) или, другими словами, в каких случаях локально-оптимальное управление является оптимальным в указанном смысле [c.102]
Из вида матрицы Ф следует, что она не удовлетворяет условию причинности соответствующего ей оператора (1, с. 80, 81]. Это означает, что решение задачи Коши для изучаемой системы не порождает причинного оператора. Поэтому введем в рассмотрение краевую задачу [c.218]
Замечание. Основываясь на своем ограниченном опыте, математики XVIII века не сомневались в том, что всякая непрерывная функция разлагается в бесконечный ряд Тейлора. Лишь позже в XIX веке Коши дал первый пример функции, которая хотя и является непрерывной и обладает в точке х = а всеми производными, но не разлагается в ряд по степеням (х — а]. Эта функция задается формулой /(ж) = е 1 х при добавочном условии /(0) = = 0 (при х = 0 формула теряет смысл). Функция /(ж) имеет в точке ж = 0 производные любого порядка. Все они равны нулю в этой точке, так что ряд Тейлора тождественно равен нулю. Однако /(ж) нигде, кроме точки ж = О, не обращается в нуль. [c.139]
Для задачи Коши в уравнение (уравнения) eqns нужно включить также начальные условия. [c.401]
Если, например, условие Г (z)=0 имеет вид х (0)— =0 (данные Коши), то Гя8г=0 есть условие вида Ьх (0 =0. [c.30]
Характерным обстоятельством, определяющим выбор численного алгоритма и возникающие вычислительные трудности, является величина коэффициентов я и Ъ в задаче о защите a(u) 6(u) i .30 — 40. Если формально ввести условие с параметром xz (0)=a, а х2 (1)=0 отнести к дополнительным условиям задачи типа F 1и ( )]—(), ограничивающим возможные функции и ( ), то внешне простая и бесхитростная задача Коши практически не поддается численному решению на современных ЭВМ дело в том, что общее решение этой системы состоит из двух качественно совершенно разных компонент одна из них — типа сильно растущей экспоненты е40, вторая — типа сильно убывающей е 4°. Поэтому попытка подбором а попасть в правое краевое условие сопря- [c.66]
Нарушение единственности решения задачи Коши связано с тем, что определяемая уравнением принципа максимума (6) зависимость V (х, ф, g) при некоторых значениях аргументов не удовлетворяет условию Липшица (с показателем 1), обеспечивающему применение стандартной теоремы единственности. Типичным является, например, наличие разрывов в V (х, ф, g) при особых значениях аргументов. И хотя почти для всех х, ф, g зависимость V (х, ф, g) непрерывна и дифференцируема, упомянутых разрывов часто оказывается достаточно для того чтобы лишить описанную выше формальную процедуру решения краевой задачи для П-системы всяких шансов на успех. [c.117]
Итак, решение задачи оптимального управления найдено по схеме, формально совпадающей с той, с которой все началось строится двухпараметрическое семейство решений П-системы, и значения параметров определяются из дополнительного условия и условия максимума ж2 (Т). Однако разница, и очень существенная, состоит в том, что в качестве этих параметров не удается взять данные Коши ф (0). Реализация же всей программы потребовала привлечения достаточно подробных предварительных сведений о качественном характере искомого решения. [c.238]
Вернемся к доказательству достаточности условий (1.6) для ограниченности снизу функционала (1.2), (1.3). Согласно неравенству Коши — Бу-няковского [c.77]
Итеграл Коши— Лагранжа можно рассматривать как условие максимальности по р функции [c.235]
Определение ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами признак сравнения, признак сходимости Даламбера, признак сходимости Коши, интегральный признак сходимости ряда. Понятие о функциональном ряде. Равномерная и поточечная сходимость последовательности функций. Теорема Вейерштрасса об абсолютной и равномерной сходимости функционального ряда. [c.15]
Задача Коши (9 16), KOI да, согласно теореме 9.2, в одной точке х0 задаются шачения искомой функция и ее производной два начальных условия (9 16). [c.179]
Анализ финансового состояния предприятия является важней- м условием успешного управления его финансами. Финансовое ггояние предприятия характеризуется совокупностью показате-i, отражающих процесс формирования и использования его фи-псовых средств. В рыночной экономике финансовое состояние гдприятия отражает конечные результаты его деятельности, коше интересуют не только работников предприятия, но и его этнеров по экономической деятельности, государственные, фи--(совые и налоговые органы. [c.55]
Следует отметить, что известные достаточные условия оптимальности [7,9] приближенного синтеза управлений сформулированы в терминах произвольной вспомогательной функции со свойствами функции Ляпунова. Развиваемый же нами подход основан на введении опорного функционала со свойствами функции Беллмана (задача Коши (4), (5)) и линеаризации системы (1) относительно заранее неизвестной вектор-функции ОУ. Функционал качества (13) также оказывается полуопределенным и относится к неклассическим в том смысле, что содержит вектор ит. [c.100]
Традиционный путь исследования вырожденных задач ОУ, состоящий в получении более тонких, но и несоизмеримо более сложных необходимых условий оптимальности [10], не снимает проблему существования и единственности решения задачи синтеза. Однако имеется большой класс задач (названных в свое время задачами АКОР), в которых эта проблема разрешима путем замены задачи Коши (4)-(5) на более простое достаточное условие оптимальности в форме уравнения Ляпунова с граничным условием, равным терминальному члену функционала (2). Формально такая замена достигается через определенную модернизацию исходной постановки задачи синтеза путем введения в функционал (2) дополнительного изопериметрического условия, имеющего энергетический смысл [11]. [c.101]
Формулировка вырожденной задачи АКОР заключается в определении такой структуры функции L(t,u,uoa), для которой, с одной стороны, вместо задачи Коши (4)-(5) используется более простое достаточное условие оптимальности в форме уравнения Ляпунова [c.101]