Граф состояний. Марковские процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью так называемого графа состояний (рис. 2.1), где кружками обозначены состояния Si, S2,. .. системы S, а стрелками — возможные переходы из состояния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. Возможные задержки в прежнем состоянии изображают петлей , т. е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным). Пример графа состояний системы S представлен на рис.2.1. [c.42]
Марковский процесс с дискретными состояниями S0, S, S2,. .., Sn называется процессом гибели и размножения, если все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (Si, 2,. .., -i) может переходить только в соседние состояния, которые, в свою очередь, переходят обратно, а крайние состояния (50 и Sn) переходят только в соседние состояния (рис. 2.6). [c.55]
Вероятности состояний автомобиля Р0, Р, Р2,. ... Рр. .., Рп как функции пробега в случае марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем удовлетворяют определенного вида дифференциальным уравнениям (уравнениям Колмогорова), записываемым в виде [c.64]
При анализе марковских процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — графом состояний, который изображает возможные состояния системы и возможные переходы этой системы из одного состояния в другое, указываемые стрелками. Если на графе состояний у стрелок выписаны соответствующие переходные вероятности, то такой граф принято называть размеченным графом состояний. [c.148]
Так как для марковского процесса с дискретными состояниями и дискретным временем времена ti, ttl ..., tk,. .. фиксированы, то процесс можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента k (k=l, 2,. ..) — номера шага. В этом случае переходы системы из состояния в состояние представляют собой последовательность (цепочку) событий или состояний S< >, S >, Sf>, S >, 5f>,. .. Число в скобках обозначает номер шага, нижний индекс — номер состояния. [c.302]
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Для такого процесса моменты fj, /2,. .., когда система S может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время t, а номер шага 1, 2,. .., k,. .. Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний 5(0), S(l), 5(2),. .., S(k),. .., где 5(0) — начальное состояние системы (перед первым шагом) 5(1) - состояние системы после первого шага S(k) - состояние системы после Л-го шага... [c.43]
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова при условии, что переход системы из состояния в состояние происходит не в фиксированные, а в случайные моменты времени. [c.48]
При изучении марковских случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в графе состояний над стрелками, ведущими из состояния S, в Sp проставляют соответствующие интенсивности Ку. Такой граф состояний называют размеченным, [c.49]
Рассмотренный в гл. 2 марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания. [c.82]
При исследовании экономических и, в частности, производственных систем наибольшее применение имеют марковские случайные процессы с дискретными состояниями. [c.146]
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем обычно называют марковской цепью. Для такого процесса моменты времени г,, t2,. .., когда система S может менять свое состояние, удобно рассматривать, как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, рассматривать не время t, а номер шага 1, 2,. .., /с,. ... [c.147]
Марковские процессы могут быть не только с дискретным числом состояний, но и непрерывными. Простейший поток событий является частным случаем марковского случайного процесса с дискретными состояниями. Поскольку мы имеем дело с процессами рождения, выживания и развития новых экономических субъектов — индивидуальных предпринимателей, фермерских и крестьянских хозяйств, малых и средних предприятий, которые являются простейшими потоками событий, нам достаточно ограничиться законами распределения описывающими простейшие потоки. Этими законами являются законы Эрланга, приведенные выше (4.5). [c.158]
Поскольку потоки отказов и восстановлений, под воздействием которых происходят переходы системы S из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс, протекающий в системе S, является марковским, причем с дискретными состояниями и непрерывным временем. Тогда, обозначая вероятности состояний stt, sl2 s2l и s22 соответственно через ptt(t), pa(t), P21(f) и p22(t) (не путать с обозначениями переходных вероятностей, см. 2), мы можем составить для них либо по графу (рис. 8.1), либо по матрице (см. 4) систему дифференциальных уравнений Колмогорова (см. (4.4)) [c.128]
Случайный марковский процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы SL Sa,. .... 8 можно пронумеровать, а сам процесс состоит в том, что время от времени система 5 скачком (мгновенно) переходит из одного состояния в другое. Примером такого процесса является процесс. протекающий в техническом устройстве. Можно представить два состояния такой системы 5Х — система работает, S2 — система вышла из строя. [c.301]
Марковский случайный процесс с дискретным временем задается графом состояний элементов системы и матрицей вероятностей переходов элементов системы из состояния в состояние [9.1 1]. [c.339]
Допустим, что в системе S протекает марковский дискретный процесс с дискретным временем. Пусть s,,..., sn — возможные состояния системы S к tv tv..., te... — шаги, в которые система может перескакивать из состояния в состояние, т.е. имеем марковскую цепь. [c.37]
В данном параграфе обсуждаются основные понятия дискретного марковского процесса с непрерывным временем. Определяются вероятности состояний системы, в которой протекает такой процесс, и плотности вероятностей переходов системы из состояния в состояние. Для вычисления вероятностей состояний выводится система дифференциальных уравнений Колмогорова. [c.49]
Определите размеченный граф состояний системы, в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем. Сравните его с размеченным графом для процесса с дискретным временем. [c.66]
В данном параграфе устанавливается связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем. Показывается, как используется интенсивность пуассоновских стационарных потоков в качестве плотностей вероятностей переходов системы из состояния в состояние при анализе моделей конкретных ситуаций. [c.123]
Для того чтобы случайный процесс с непрерывным временем, протекающий в системе с дискретными состояниями, был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, были пуассоновскими (стационарными или нестационарными — безразлично). [c.125]
Система, в которой протекает дискретный марковский процесс с непрерывным временем, перескакивает из одного состояния х в другое xj не самопроизвольно, а под воздействием определенного события, которое мы можем отнести к событиям некоторого пуассоновского потока П.. и считать, таким образом, что переход системы из состояния х в состояние х происходит под воздействием всего потока /L. Привлечение всего потока П.. дает нам возможность рассматривать интенсивность А( ) этого потока. [c.138]
Пуассоновский поток дискретный марковский процесс с непрерывным временем плотность вероятности перехода системы из состояния в состояние переход системы из состояния в состояние под воздействием пуассоновского потока интенсивность пуассоновского потока пуассоновские системы. [c.138]
Как связаны между собой плотность вероятности перехода А..(0 из f-ro состояния в -е в момент времени t системы, в которой протекает дискретный марковский процесс с непрерывным временем, с интенсивностью А( ) в тот же момент времени t пуассоновского потока событий, под воздействием которого происходит этот переход [c.139]
Случайный марковский процесс называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени , /2,. .. В промежутки времени между этими моментами система S сохраняет свое состояние. [c.302]
Для соответствующего изложения предположим, что существует однородный марковский процесс X = (хп, п,Рх) с дискретным временем п = 0, 1, . . . , фазовым пространством состояний (Е,3ё) и семейством вероятностных мер Рх на 9- = V п Для каждого начального состояния х е Е (см., подробнее, [126], [441]). [c.176]
Марковский дискретный процесс с непрерывным временем считается изученным, если найдены все вероятности состояний pt(t), i=l,. .., п. [c.50]
Так как счетчик может менять свои состояния случайным образом в случайные моменты времени, а в каждый момент он пребывает в одном из состояний s,, s2, sy то процесс, протекающий в системе S, будет дискретным случайным процессом с непрерывным временем. Данный процесс можно считать марковским, поскольку состояние счетчика в будущем существенно зависит от его состояний в настоящий момент времени и несущественно — от его состояний в прошлом. Незначительные колебания плотностей вероятностей переходов с течением времени позволяют нам сделать допущение об однородности рассматриваемого процесса. [c.60]
Система S, в которой протекает марковский дискретный процесс с непрерывным временем, может перескакивать из состояния в состояние в любой случайный момент времени. [c.64]
Марковский дискретный процесс с непрерывным временем вероятностные функции состояний плотность вероятности переходов однородный дискретный процесс с непрерывным временем неоднородный дискретный процесс с непрерывным временем матрица плотностей вероятностей переходов система дифференциальных уравнений Колмогорова размеченный граф состояний системы, в котором протекает марковский дискретный процесс с непрерывным временем правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов нормальная форма Коши задача Коши. [c.65]
Дискретный процесс с непрерывным временем, протекающий в системе, является марковским тогда и только тогда, когда каждый из потоков, переводящих систему из состояния в состояние, является пуассоновским. [c.138]
Изучение любой системы, в которой протекает марковский дискретный процесс, следует начинать с четкого описания всех интересующих нас состояний, в которых может пребывать система, и построения графа этих состояний. [c.12]
Случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется марковским, если для любого момента времени t услов- [c.93]
Процесс с дискретным временем процесс с непрерывным временем случайная последовательность марковская цепь вероятности состояний переходные вероятности матрица переходных вероятностей вероятности задержки однородная марковская цепь стохастическая матрица двоякосто-хастическая матрица размеченный граф состояний вектор начального распределения вероятностей. [c.32]
Трудности, связанные с неэргодичностью природных явлений (неоднородностью процессов во времени), можно преодолеть путем усреднения не по времени, а по реализациям, в качестве которых, например, могут быть взяты многолетние значения гидрометеовеличин, относящиеся к стандартным срокам наблюдений. Поскольку реализации принадлежат разным годам, то их с достаточным основанием можно считать статистически независимыми. Необходимо отметить, что наблюдения на гидрометеопостах представляют собой дискретное множество состояний природной системы. В каждый момент времени система находится в одном из них и с течением времени переходит из одного состояния в другое. Последовательность таких случайных состояний можно рассматривать как марковский процесс без последействия (цепь Маркова). [c.111]